高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练教学提纲

1、2022 年 高 考 理 科 数 学 解 三 角 形 题 型 归纳 与 训 练精品资料【题型归纳】2022 年高考理科数学解三角形题型归纳与训练题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例 1C ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b , c ,已知sinA8sin2B21求 cos B2如ac6,ABC 面积为 2,求 b B41 cos B 【答案】 （1）cos B15（2）b217【解析】 由题设及 ABC得sinB8sin2B,故 sin2上式两边平方,整理得2 17cosB32cosB150,4 17ac 解得 cosB1（舍去）,cosB15.17（2）由cos B1

2、5得sinB8,故SABC1acsinB17172又SABC2,就ac17c22ac1cosB2由余弦定理及ac6得b2a2c22accosBa362171154217所以b2【易错点】 二倍角公式的应用不娴熟,正余弦定理不确定何时运用【思维点拨】 利用正弦定理列出等式直接求出仅供学习与沟通,如有侵权请联系网站删除 感谢2 精品资料例 2 ABC的内角A B C 的对边分别为a b c ,如 2 cosBacos CccosA ,就B . 【答案】 3BcosBsinAcosCsinCcosAsinACsinBcosB1B. 【解析】2sin32【易错点】 不会把边角互换,特别三角恒等变化时,

3、留意符号；【思维点拨】 边角互换时,一般遵循求角时,把边换成角；求边时,把角转换成边；2例 3 在 ABC中, a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,如 b1,c3,C3,就 S ABC_.3【答案】4b c 1 3【解析】 由于 cb,所以 BC,所以由正弦定理得 sin Bsin C,即 sin B22,即 sin sin 31 2 1 1 1 3B2,所以 B 6,所以 A 63 6.所以 SABC2bc sin A2324 .【易错点】 大边对大角,应留意角的取值范畴【思维点拨】 求面积选取公式时留意,一般选取已知角的公式,然后再求取边长；题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的外

4、形例 1 在 ABC中,角 A B C 的对边分别为 a b c ,且 A B C 成等差数列1如 b 2 3, c 2,求 ABC的面积2如 sin A ,sin B ,sin C 成等比数列,试判定 ABC的外形【答案】 1 2 3 2等边三角形【解析】 1由 A,B,C 成等差数列,有 2BAC1 由于 A,B,C 为 ABC 的内角,所以 ABC2 得 Bb 2a 2c 22accosB3 3 ,仅供学习与沟通,如有侵权请联系网站删除 感谢3 精品资料所以232a244acos3解得a4或a2舍去 所以 s ABC 1 ac sin B 1 4 2 sin 2 32 2 32由 a,b

5、,c 成等比数列,有 b 2ac4 由余弦定理及 3,可得 b 2a 2c 22accosBa 2c 2ac再由 4,得 a 2c 2acac,即ac由235,得 ABC3所以 ABC 为等边三角形【易错点】 等差数列,等比数列简洁混淆20；因此 ac 从而 AC5 【思维点拨】 在三角形中,三边和三角都是实数,三个数很简洁联想到数列的三项,所以,三角函数与数列的结合也是较为常见的问题,解答中留意几个常见结论,此类问题就不难解 答了 . 例 2 在 ABC 中,已知2abc ,sin2AsinBsinC ,试判定 ABC 的外形；【答案】 等边三角形【解析】2 sinAsinBsinCa2bc

6、,又2abc ,所以4 a2bc2,所以4bcbc2,即bc20,因而 bb ；所以 ac ；由2abc 得 abc, ABC 为等边三角形；【易错点】 条件的转化运用【思维点拨】 判定三角形外形时,一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边,走代数变形之路,通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角,走三角变形之路 题型三与三角形中有关的不等式问题仅供学习与沟通,如有侵权请联系网站删除 感谢4 .通常是运用正弦定理精品资料例 1 ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 ABC的面积为a2A. 3sin（1）求sinB sinC; （2）如 6cos Bcos C=1

7、,a=3,求 ABC 的周长 . 【答案】 （1）sinBsinC2；（ 2）CABC3333【解析】1 由题设得1acsinB3a2A,即1csinB1aA.2sin23sin由正弦定理得1sinCsinBsinA.23sinA,sinCsinB2.3 2 由题设及 1 得cosBcos CsinBsinC2即cos BC1.BC2,A3.239 ,又1bcsinAa2A,即bc.823 sin由余弦定理得b22 cbc,9即 bc 23 bcbc33 .CABC333 .【易错点】 不会利用将角的关系转化为边的关系【思维点拨】 在处懂得三角形问题时,要留意抓住题目所给的条件,当题设中给定三

8、角形的面积,可以使用面积公式建立等式,再将全部边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范畴 ”或者 “已知一条边的长度和它所对的角,再有另外一个条件,求面积或周长的值 ”,这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系,建立函数关系式,如y A sin x b ,从而求出范畴,或利用余弦定理以及基本不等式求范畴；求详细的值直接利用余弦定理和给定条件即可 . 例 2 已知 a,b,c 分别为 ABC三个内角 A,B,C 的对边 , a cos C 3 sin C b c 0 . 仅供学习与沟通,如有侵权请联系

9、网站删除 感谢5 精品资料1求 A 的大小；2如 a7,求ABC 的周长的取值范畴【答案】 1 3 2 14,21【解析】 1由正弦定理得：acosC3 sinCbc0sinAcosC3 sinAsinCsinBsinC2sinAcosC3 sinAsinCsinACsinC3sinAcosA1sinA61A66A3；22由已知：b0,c0,bca7, 3 bc bc 23 bc 21 bc由余弦定理492 bc22 bccos3 bc 244当且仅当 bc7 时等号成立 ,bc 2449,又bc7,7bc14, 从而 ABC 的周长的取值范畴是 14,21【易错点】 求周长范畴的问题,应先用

10、余弦定理列出等式,再依据基本不等式求出所求问题 . 【思维点拨】 周长问题也可看做是边长问题的延长 ,所以在解决周长相关问题时 ,着眼于边长之间的关系 ,结合边长求最值 范畴 的解决方式 ,通常都能找到正确的解题途径 .例 3 ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2c-a= 2bcos A.1求角 B 的大小 ; 2如 b= 2 ,求 a+c 的最大值 .【答案】 1B=（2）43【解析】 :12c-a= 2bcos A, 仅供学习与沟通,如有侵权请联系网站删除 感谢6 精品资料依据正弦定理 ,得 2sin C- sin A= 2sin Bcos A.A+B= -C ,s

11、in C=sinA+B=sin Bcos A+cos Bsin A, 代入 式,得 2sin Bcos A= 2sin Bcos A+ 2cos Bsin A- sin A,化简得 2cos B- 1sin A=0.A 是三角形的内角 ,sin A0,2cos B- 1= 0,解得 cos B= , B0,B=3.时取等号 , 2由余弦定理 b 2=a2+c2- 2accos B,得 12=a2+c2-ac.a+c 2- 3ac=12,12a+c 2-a+c2,当且仅当 a=c= 2a+c4【易错点】 涉及到最值问题时 ,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解 .1依据正弦

12、定理与两角和的正弦公式,化简条件等式 ,可得 2cos B-1sin A= 0,结合 sin A0 得到cos B,从而解出 B;2由余弦定理 ,可得出 12=a 2+c 2-ac.再利用基本不等式求最大值 .【思维点拨】 1正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情形下求解其余元素 ,基本思想是方程思想 ,即依据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程 ,通过解方程求得未知元素 ; 2 正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化 ,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系 ,也可以把已知条件化为三角形边的关系 ; 3 涉及到最值问题时 ,常利用基本不等式或表示为三角形的

13、某一内角的三角函数形式求解 .题型四解三角形的实际应用仅供学习与沟通,如有侵权请联系网站删除 感谢7 精品资料例 1 在某次测量中,在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是50,且到A 的距离为2,C 点的俯角为70,且到 A 的距离为 3,就 B、C 间的距离为 A.16 B.17 C.18 D.19【答案】 D【解析】 因 BAC120,AB2, AC3. BC 2AB 2AC 22ABAC cos BAC49223cos 12019. BC19.【易错点】 没有正确懂得题意,不能将应用转化为可运算的三角模型【思维点拨】 正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点,主要利用正弦定

14、理、余弦定理解决一些简洁的三角形的度量问题以及几何运算的实际问题,常与三角变换、三角函数的性质交汇命题例 2 设甲、乙两楼相距 20m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为30 ,就甲、乙两楼的高分别是（）. 3mA. 15 23m ,203m B. 103m , 20 3m3C. 1032m ,20 3m D. 20 3m ,403【答案】 D【解析】 设甲楼为 DA ,乙楼为 BC ,如图,在60 ,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为R t ABD , ABD 60 , BD 20 , AD BD tan60 20 3 , m AB 20 40 m,cos60CAB ABC 30 , AC BC , ACB 1

15、20,在 ABC中,设 AC BC x ,由余弦定理得：AB 2AC 2BC 22 AC BCcos ACB ,即 1600 x 2x 2x ,解得 2x 403,就甲、乙3两楼的高分别是 20 3 , 40 3 m ,3【易错点】 没有正确懂得题意,不能将应用转化为可运算的三角模型【思维点拨】 正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点,主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简洁的三角形的度量问题以及几何运算的实际问题,常与三角变换、三角函数的性质交汇命题【巩固训练】仅供学习与沟通,如有侵权请联系网站删除 感谢8 精品资料题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用1.在 ABC中,角 A、B

16、、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=2, 2sinA=sinC=10时,求 b 及 c4的长【答案】 b=6 或 26 ；c4；c,得 c=4 【解析】 当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理a sin Asin C由 sinC=10,及 0C得 cosC=644由余弦定理 c 2=a2+b2-2abcosC,得 b26 b-12=0 解得 b=6 或 26所以b46或b2 6cc42.在 ABC中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 b+c=2a cos B. （I）证明： A=2B；（II）如 ABC 的面积S =a2,求角 A 的大小 . B,B ,4

17、【答案】 （1）略 （2）2或4【解析】 （I）由正弦定理得 sinBsinC2sinAcos故 2sinA cosBsinBsinABsinBsinAcosBcosAsin于是 sinBsinAB ,又A B0,故 0AB,所以2 BBAB 或 BAB 因此 A（舍去）或A所以,A2 .（II）由Sa2得1absin Ca2,故有424仅供学习与沟通,如有侵权请联系网站删除感谢9 精品资料sinsinC1sin2sincos,由于 sin0,得 sinCcosB+bcos c .2又, C0,所以 C2当C2时,2；当 C2时,4综上,2或43.ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b

18、,c,已知 2cosC a cos（I）求 C；（II）如c7,ABC的面积为3 3 2,求ABC的周长sinC ,【答案】 （I）3；（ II） 57cossincos【解析】 （I）由已知及正弦定理得,2cosC sin2cosCsinsinC 故 2sinCcosCsinC 可得cosC1,所以 C32II由已知,1 2absinC3 3. 2又C3,所以ab6. 由已知及余弦定理得,2 ab22 abcos C7. 故a2b213,从而ab225. 所以ABC 的周长为 57题型二 利用正弦定理、余弦定理判定三角形的外形1.在 ABC 中,内角 A,B, C 所对的边分别是 a,b,c

19、,如 cacosB2abcos A,就 ABC 的外形为 仅供学习与沟通,如有侵权请联系网站删除 感谢10 精品资料A等腰三角形 B 直角三角形 C等腰直角三角形【答案】 D【解析】 由于 cacosB2abcos A, CAB,D等腰或直角三角形所以由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos A sin B cos A,所以 sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B 2sin Acos A sinBcos A,所以 cos Asin Bsin A 0,所以 cos A0 或 sin Bsin A,所以 A 2或 BA 或 BA舍去 ,所以 ABC为等腰或

20、直角三角形2.在 ABC中,如 sin A=2cos Bsin C,就 ABC 的外形是 .【答案】 等腰三角形【解析】 由已知等式得 a=2c 2a 2b22+c2-b2,所以 c 2=b2,即 c=b.故 ABC为等腰c,所以 a 2=a2ac三角形 . 3. ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c,如c b cos A,就 ABC为 A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形【答案】 A【解析】 依题意,得sin C sin Bcos A,sin Csin Bcos A,所以 sinABsin Bcos A,即 sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos

21、 A0,所以 cos Bsin A0.又 sin A0,于是有 cos B0,B 为钝角, ABC 是钝角三角形,选 A.题型三 与三角形有关的不等式问题1.在 ABC中,内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知 cos2Bcos B1cos A cos C. 1求证： a,b,c 成等比数列；2如 b2,求 ABC的面积的最大值【答案】 （1）略 （2）3. 仅供学习与沟通,如有侵权请联系网站删除 感谢11 精品资料【解析】 1证明：在 ABC中, cos B cosAC由已知,得 1sin 2B cosAC 1cos A cos C, sin 2Bcos A cos C sin A

22、 sin C cos A cos C,化简,得 sin2 Bsin A sin C. 由正弦定理,得b2ac,a, b,c 成等比数列2由1及题设条件,得ac4. 1 2,2 就 cos Ba2cb2 2a2cac 2ac ac2ac 2ac2ac当且仅当 ac 时,等号成立2 在0 B , sin B1 cos2B1.1 2. 23 2 . sin2B2Csin sin C1. S ABC1 12ac sin B243 23. ABC的面积的最大值为3. ABC 中,内角A B C 的对边分别为a b c 已知41.求角 A 的大小；2.如a7,ABC 的面积为3,求 bc 的值bc2bc

23、,2【答案】 1. A2 2. bc33【解析】 1.由已知得1cos2BCsin sinC1,4化简得1cos cos Csin sinCsin sinC1,24整理得cos cos Csin sinC1,即cosBC1,22由于 0BC,就BC,所以A2332.由于SABC1bc sin A1bc33,所以bc22222依据余弦定理得72b22 c2 bccos2b2c2bc3仅供学习与沟通,如有侵权请联系网站删除感谢12 精品资料即7bc22,所以bc33.在 ABC中,角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c,且满意 cos2Ccos2A2sin3Csin3C1求角 A 的大小；2如 a3,且 ba,求 2bc 的取值范畴【答案】 （1）A 3或 23 .（2） 3,2 3 【解析】 1由已知得 2sin 2A2sin 2C2 3cos 2C 1sin 2C ,4 43 3化简得 sin 2A4, sin A2,3 2又 0 A, sin A2, 故 A 3或 3 . c2由 sinA b sinBsinC,得 b2sinB, c2sinC,由于 ba,所以 BA,所以 A 3,故 2b c4sinB2sinC4sinB2sin2B 3sinB3cos B3323sin B6. 由于 ba,所以