高中数学课堂教学实录

1、高中数学课堂教学实录(一)南阳屮学刘伟明师：四边形、五边形、六边形分别有多少条对角线？你是怎样 考虑的？提出问题，让学生在解答的过程中发现规律.生：四边形、五边形、六边形分别有两条对角线，五条对角线 和九条对角线，以六边形为例，每个顶点可引3条对角线，六个顶 点可引18条对角线，但因每条对角线都计算了两次，所以六边形实 际有9条对角线.师：n边形(n4)有多少条对角线？为什么？由特例到一般问题的提出，符合由特殊到一般，由具体到抽象 的认识过程.生：n边形有条对角线，因为每个顶点可引n-3条对角线，所以 n个顶点可引n(n-3)条，但每条对角线都计算了两次，故n边形实 际有条对角线师：这一公式适

2、合四边形、五边形、六边形吗？由一般再回到特殊，特例的正确性提高了学生探索问题的积极 性，增强了猜想的信心.生：适合.师：观察等差数列的前几项：al=al+0da2=al+lda3=al+2da4=al+3d你发现了什么规律？试用al, n和d表示an.生：an-al+(nl) d师：像这种由一系列特殊事例得到一般结论的推理方法，叫做 归纳法，用归纳法可以帮助我们从特殊事例中发现一般规律，但是, 由归纳法得出的一般结论并不一定可靠.例如，一个数列的通项公式 是an=(n2-5n+5)2请算出al, a2, a3, a4你能得到什么结论?生：由 al=l, a2=l, a3=l, a4=l 可知

3、an=l师：由 an= (n2-5n+5) 2 计算 a5.由a5=25l,否定了学生的猜想，举出反例是否定命题正确性 的简单而基木的方法.师：由归纳法得到的一般结论是不一定可靠的.法国数学家费尔 马曾由n=0, 1, 2, 3, 4得到+1均为质数而推测：n为非负整数时, +1都是质数，但这一结论是错误的因为数学家欧拉发现，n二5时+1 是一个合数：+1=4294967297=641 6700417.数学史例使学生兴趣盎然，学习积极性大为提高，至此，归纳 法作为一种发现规律的推理方法的数学己告结束.师：既然由归纳法得到的结论不一定可靠，那么，就必须想办 法对所得到的结论进行证明，对于由归纳法

4、得到的某些与自然数有关的命题P(n),能否通过一一验证的办法来加以证明呢？生：不能因为这类命题中所涉及的自然数有无限多个，所以无 法一个一个加以验证.新问题引导学生思考：既然对于P(nO)、P(O+1)、P (n0+2) 的正确性无法一一验证，那么如何证明P(n) (nn)的正确性呢？至 此，数学归纳法的引入水到渠成.二、新课师：我们将采用递推的办法解决这个问题.同学们在电视中可能 看到过“多米诺”骨牌的游戏，由于骨牌之间特殊的排列方法，只 要推到第一块骨牌，第二块就会自己倒下，接着第三块就会倒下， 第四块也会倒下如此传递下去，所有的骨牌都会倒下，这种传 递相推的方法，就是递推.从一个袋子里第

5、一次摸出的是一个白球，接着，如果我们有这 样的一个保证：“当你第一次摸出的是白球，则下一次摸出的一定 也是白球”，能否断定这个袋子里装的全是白球？生：能断定.为数学归纳法的两个步骤提供具体生动的模型，帮助学生理解 数学归纳法的实质.师：要研究关于自然数的命题P(n),我们先来看自然数有什么 性质，自然数数列本身具有递推性质：第一个数是1,如果知道了一 个数，就可以知道下一个数.有了这两条，所有自然数尽管无限多， 但我们就可全部知道了类似地，我们可采用下而的方法来证明有关 连续自然数的命题P(n),先验证n取第一个值n时命题正确；再证 明如果n=k(kn)时命题正确，则n=k+l时命题正确，只要

6、有了这 两条，就可断定对从n开始的所有自然数，命题正确，这就是数学 归纳法的基本思想.先通俗了解数学归纳法的基本思想，对深刻理解数学归纳法的 实质至关重要.师：用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题P(II)的步骤是:证明当n取第一个值n(如n二1或n二2等)时结论成立，即 验证P(nO)正确；假设n=k(kN,且kn)时结论正确，证明n=k+l时结论 正确，即由P(k)正确P(k+1)正确由(1)和(2),就可断定命题对于从 n开始的所有自然数n都正确.高中数学课堂教学实录(二)南阳中学刘伟明一、不等式证明的常用方法和基本不等式师：前而我们复习了不等式的性质，现在开始复习不等式的证明 下而我

7、们先来看一个问题：例 1求证:(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2如何证明这个不等式呢？我们回忆一下，不等式证明有哪些常用 的方法？生：比较法、分析法和综合法.师：什么是比较法？这个不等式能不能用比较法来证明？生：要证明ab,只要证明a-bO,这就是不等式证明的比较 法，这个不等式能用比较法证明.证法一I (a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-2abcd-b2d2=(bc-ad)20.,.(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2师：用比较法证明不等式的基本步骤有哪些？生：有三步：作差(2)变形(3)确定符号师：什么是分析法

8、？这个不等式能不能用分析法来证明？生：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证 明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题；如果能够肯定这 些条件都己具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法就是不等 式证明的分析法.这个不等式能用分析法来证明.证法二要证明(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2只要证明 a2c2+b2c2+a2d2+b2d2a2c2+2abcd+b2d2也就是证明b2c2+a2d22abcd即 (bc-ad)220. (bc-ad)20 成立(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2 成立(教师指出应用分析法证明时要注意书写格式)师：什么是综合法？这个不

9、等式能不能用综合法来证明？生：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性 质推导出所要证明的不等式，这种方法是不等式证明的综合法，这个 不等式能用综合法来证明.证法三.b2c2+a2d22abcd.a2c2+b2d2+b2c2+a2d2a2c2+2abcd+b2d2即 (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2师：应用综合法证明的关键是找出作为基础的己经证明过的不等式.这些不等式大都是基木不等式，主要有：a2+b22ab (a bR)(a、bR+)这里要注意：不等式成立的条件，字母的允许值范围；当且仅当a=b时，等号成立.这里改变了高三复习课先整理知识，然后讲解例题的传统模式, 而

10、是先提出问题让学生思考，创设问题情境，激起学生复习的欲望和 要求，唤起学生对旧知识的回忆，引起学生的思维这样可以提高学 生复习的积极性.在此基础上，通过教师的启发，让学生自己逐步回 忆过去所学的知识，应用它们来分析问题和解决问题，最好引导学生 自己归纳、整理旧知识，形成比较系统和完整的知识结构.二、不等式证明方法的应用例2已知a、b、C是不全相等的正数.求证：(先让学生议论，然后由学生起来回答，教师板书.)证明：Ya. b、C是不全相等的正数.(D中等号不同时成立 即(如果学生按上述步骤进行证明，教师应提出：这样证明有没有 问题？让学生通过思考后发现：在证明一开始必须先指出a、b、c R+,否则不能确定、是否成立.)师：在证明不等式时，应注意以下几点：不等式的逆向运用，要证明不等式可以先证明它的逆向不等 式.已知条件在不等式证明中的应用.由于a、b、C是三个不全相 等的正数，从而得出、中三个等号不同时成立，于是才能证 得原不等式成立.同向不等式相加是用综合法证明不等式的常用手段.例3已知a、b、cR+,求证：(师生共同进行分析)要证明只要证明也就是证明如何证明这个不等式呢？(让学生议论后回答)生：Va. bR+师：这样证明有没有问题？ 生：(回答略