高等数学考试试题

1、2022 年上半年高等训练自学考试全国统一命题考试高等数学专业：工科、专科（专科）本试题分两部分,第一部分为挑选题,第 1 页至第 4 页,其次部分为非挑选题,第 5 页至第 8 页,共 8 页；挑选题 40 分,非挑选题 60 分,满分 100 分；考试时间 150 分钟；第一部分 挑选题一、单项挑选题（本大题共 30 小题, 120 每道题 1 分, 2130 每道题 2 分, 40 分）在每道题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母填在题后的括号内；（一）（每道题 1 分,共 20 分）1. 已知f1xxx12,就fx1xx2】x A.111x2 B. x11

2、x2 C. 11xx2 D. xxx【2. 设y1arcsinx2,就 dy2 A.1xdx B. 1xdx4 C. xdx4 D. xdx4x4x1x1x【】3. 设fx sin2x,x0在x0连续,就常数kkx ,x0A.0 B.1 C.2 D. 4. 在区间 , + 内,函数 f x=xcosx 是【】A. 周期函数 B.有界函数 C.奇函数 D.偶函数5.lim xxsin11【】xA. 等于 0 B.等于 1 C.为 D.不存在但不为6.lim n2n23 n1n1 n2）【】A.1 B.2 C.3 D.0 7. 曲线yex上点 0, 1处的切线方程为【】A. yx1 B. yx1C

3、. yx D.yx【】8. 设fx 2 ex,就f x A.2 B. x2 e22x C. 1 D. x21x9. 已知fxdxarctg1C,就f xx【】x A.211x2 B. 112 C. 112 D. 2xx10.sec 24xdxA.1tg 4xC B. 1tgxC44【】C. 4 tg 4xCD. 4 tgxC11.dxsint2dtdx0【】A.2xsinx3 B.sin2x C.sin x2D.sinx12.1|x|dx1【】A.0 B.1 C.2 D.3 13. 广义积分1dx 当 p x0A.p 1 时收敛,P1 时发散【B. P1 时收敛,P1 时发散C.P1 时收敛

4、, P1 时发散D.P1 时收敛 , P1 时发散单叶双曲面【14. 方程2x2y22z1 表示的图形是A椭圆抛物面 B.双叶双曲面 C.椭球面 D.15. 函数fx,yxy在整个 xoy 平面上x既无极大值也无微小值【】A. 只有一个极大值 B. C.只有一个极不值 D.既有极大值也有微小值16. 设 D 域为 -R X R , 0 y R22,就2 d= DA.R2B. 2 R2yC.R D.2RyC 1y 1【】Qxy0的两个不同的解,就C 2y217. 设x 1y 1是方程y PxA肯定是方程的通解B肯定不是方程的通解【】C可能是方程的通解 D肯定不是方程的通解18以下微分方程中为齐次

5、方程的是Ay x e1y0 Bxdxx1 dy0 xn【】Cdy2xy2y2. Dxy2y2x4dxxb n）19lim nan0是常数项级数n1an收敛的【】A. 必要非充分的条件 B充分非必要的条件C必要且充分的条件 D既非充分又非必要的条件20设幂级数n1an xn的收敛半径R 10 ,n1bn xn, 就n1an的收敛半径为A.R 1R 2B. R 2R 1C. R 2D. R 1【】 二 每道题 2 分,共 20 分cosx,0 x0 ,】21. 设fx0,x,0就fx在定义区间上为cosx,x,A. 奇函数但非周期函数x B.奇函数且为周期函数C.偶函数但非周期函数 D.偶函数且为

6、周期函数【22. 如fx10,就ffA. 0 B.1 C.10 D.11023. 设 f （x）=cos2x , 就 f ” （x）= A.8sin2x B. 8sin2x C. 8cos2x D. 8cos2x【】 D. 【】24. 当 X 0 时,以下无穷小量中与sinx等价的是sin2xx2A. tg 2x B. ln1x C. 25. 设ex是fx的一个原函数,就xfxdx【x1xCA. ex 1x C B.e】C. exx1C D. exx1C26.fx,y在x 0y0的偏导数f zx 0y0和f yx 0y0存在是fx,y在 D连续fx ,y dDA. 必要非充分的条件 B.充分非

7、必要的条件fx,y【】C.充分且必要的条件 D.既非充分又非必要的条件27.|x|1时,幂级数xn和函数为【】n1 A.11x B. 11x C. 1xx D. 1xx28. 设 D 为由 x 轴, y 轴及直线xy1所围成的闭区域,在 D 上连续 , 就fx ,y dDA.1dxyfx ,y dy B.1dy1xfx ,ydx【C 1】C2e3x【】0000C.1dx1xfx ,y dy D.1dyy1fx ,y dx000029. 微分方程y 5y6y0的通解 y = C 1e2xC2e3x D 2 exAC 12 exC23 ex BC 1e2xC23 ex C 30. 设lim nn2

8、|an|l0l就级数n1an【】A条件收敛 B肯定收敛 C 发散 D收敛性无法确定其次部分非挑选题二、运算题（本大题共7 小题,每道题6 分,共 42 分）31. 求lim x 0ctgx1x1. sinx32. 运算x29dx .x33. 求由参数方程1ln1x dx .所确定的函数的二阶导数034. 设xln 1t2,求dy,d2y. ytarctgt2dxdx35. 运算|x2y243|dxdy ,其中 D为x2y9D36. 求微分方程yyx的通解；37. 判别级数n1nn . 3的敛散性；2. nn三、应用和证明题（本大题共3 小题,每道题6 分,共 18 分）38. 求函数fx ,y

9、 4 xx22yy2的极值；39. 求椭圆x22 xy5 y216y0到直线xy80的最短距离；40. 证明双曲线y1上任一点的切线与两个坐标轴所围成的三角形的面积等于x2022 年上半年高等训练自学考试全国统一命题考试高等数学（工科、专科）试题参考答案及评分标准一、单项挑选题（本大题共 30 小题, 1-20 每道题 1 分, 21-30 每道题 2 分,共 40 分）（一）每道题 1 分,共 20 分 1. B 2.C 3.A 4.D 5.A 6.C 7.B 8.C 9.D 10.A 11. B 12.A 13.D 14.C 15.B 16.A 17.D 18.A 19.C 20.C 二

10、每道题 2 分, 共 20 分 21.A 22.B 23.A 24.C 25.A 26.D 27.C 28.B 29.D 30.B 二、运算题（本大题共7 小题,每道题6 分,共 42 分）31【参考答案】解原式lim x 0cosx xsinxlim x 0 xsinx（2 分）xsin2xx3lim x 01cosx（ 2 分）3x2lim x 0sinx1（2 分）6x632【参考答案】解x29dx3tg2tdtt令x3sec t0 C（2 分）x3sec 21 dt3 tgtt（2 分）（2 分）3arccos3Cx29x（2 分）33【参考答案】解原式xln 1x1x1x1x1（2

11、分）x0（2 分）xln 1x ln 10 x（2 分）lim x 0 x1 ln1134【参考答案】解dy4112t（2 分）（2 分）1 2 ttdx21t2t1）t2d2yd dtdtdx2dx222 t1t2（2 分）t35【参考答案】解原式x24x2y2dxdy2x 2y2x2r2y24 dxdy（2 分）y2442d2 4r2rdrd3 24 rdr（2 分）00041（2 分）236【参考答案】解对应次方程的通解为YC 1cosxC2sinx（2 分）非齐次方程的一个物角为yxC2sinx .（2 分）原方程之通解为yxC 1cosx（2 分）37【参考答案】解记一般项为a ,就

12、3n31（4 分）lim nann1lim n1a1en故级数发散； （2 分）三、应用和证明题（本大题共3 小题,每道题6 分,共 18 分）38. 【参考答案】记解f xx ,y2 2x y 2y（2 分）f xx ,y2 x 4x y 1y令fxfy0得驻点（2,1 ） 0,0,0,2,4,0,4,2 Afxx2y 2y,（2 分）Bfxy4 2x 1y ,Cfyy2 x 4x ,x ,yyA B 21,C B 2-AC 取极值情形-2 0 -8 -16 取极大值4 2,1 0,0 0 8 0 64 非极值0,2 0 -8 0 64 非极值,4,0 0 -8 0 64 非极值4,2 0

13、8 0 64 非极值即fx只有一个极大值f4；（2 分）39. 【参考答案】解：椭圆上点 M x , y 处的切线的斜率为 y x y（2 分）x 5 y 8由于椭圆上平行于直线的切线的切点到直线的距离最短或最长,所以 y 1,解之得 y 2将 y 2 代入椭圆方程解得 x 6 和 x 2,由运算知点（2,2）到直线的距离最短,且最短距离为 2 240证明 在曲线上任取一点 x 0y 0 （不访设 x 0 0 ,就 y 1 在点 x 0y 0 处切线方程为x1Y y 0 2 X x 0 （2 分）x 0切线在 x 轴, y 轴上的截距分别为 X 2 x 0 , Y 2（2 分）x 0评分标准对

14、非挑选题,凡用其他方法作对的,均按相应步骤给分；2022 年下半年高等训练自学考试全国统一命题考试高等数学（工科、专科）本试题分两部分,第一部分为挑选题,第 1 页至第 4 页,其次部分为非挑选题,第 5 页至第 8 页,共 8 页；挑选题 40 分,非挑选题 60 分,满分 100 分；考试时间 150 分钟；第一部分 挑选题一、单项挑选题（本大题共 30 小题, 120 每道题 1 分, 2130 每道题 2 分,共 40 分）在每道题列出的四个选项中只有一个选项是符合项目要求的,请将正确（一）（每道题 1 分,共 20 分）1设fxexx1,x0在x0连续,就常数kk,x0选项前的字母填

15、在题后的括号内；A. 0 B.1 C.2 D.3 【】22.lim x 01xx33 x1dx【】A. e B.e-1 C.e2 D.e-2 3.lim x3 n2 n2112n【A.0 B.1 C.-1 D. 4. 设函数fx3xcosx ,就f0【】A.0 B.1 C.2 D.3 5. 设y3x2,就y = 【】A.2x B.3x C.23 x D. 33 32 32 D. 【】6. 设yln 1x,就 dyA.11x B. 1dx C. 1dxxxx7. 函数yex2ex的极值为A0 B 1 C2 D3 【】8. 在罗尔定理中,其条件是其结论成立的A. 必要非充分的条件 B 必要且充分的

16、条件】C.充分非必要的条件D既非充分又非必要的条件【】93xdxA.11x3x 1C B. x3x 1CC.3*ln3C D. 3xC【】ln310secxtgxdxA.secxCBtgxCC.2 secxCDcscxC【】11.0exdxA. 等于 0 B.等于 1 C.等于 -1 D.发散【12曲线 y = l n x与 x 轴和直线 x = 0.1 所围平面图形的面积不能表示成积分【A.1 .0ln xdx B.1|lnx|dxC.D 01.13广义积分1dx当xpA.P1 时收敛, P1 时发散B. P 1 时收敛, P1 时发散C,P1 时收敛,P1 时发散 D. P1 时收敛, P

17、1 时发散【】f x , y在点 x , y可微14如 f xx 0 , y 0 = f y x0 , y 0 =0 就点（ x 0 ,y0 ）必为函数f x , y的A极值点 B.连续点 C.驻点 D.零点【】15函数 f x , y在点 x , y的偏导数 f xx , y和 f x , y存在是函数分的A充分非必要的条件B必要非充分的条件【】C充分且必要的条件D既非充分又非必要的条件【16设区域 D由 x 轴, y 轴和直线 x + y =1所围成,就】A1 B. 2 C.3 D.4 17. 微分方程 y” =6x +2 的通解为 y = A.3x2 + 2x + C是 B.3x2 +

18、2x + C1x + C2 】C.x3 + x2 + C D.x3 + x2+ C1x + C 【18. 微分方程 y= x y = sinxB.二阶微分方程A一阶线性非齐次方程C.齐次微分方程D.既非充分又非必要的条件【19. 设an为常数项级数 ,Sn =a1 +a2 + + aN , 就存在是级数an,收敛的】n1n1】A必要非充分的条件B. 充分非必要的条件C.必要且充分的条件 D.既非分又非必要的条件【20. 设均为正项级数 , 且 an bn n = 1,2, , 就】Ab 发散时an必发散 Ban收敛时b 必收敛n1n1n1n1Cb 收敛时an必收敛 Dan收敛时b 必发散【n1

19、n1n1n1【（二）每道题2 分,共 20 分21设 f x =x2+2,gx= ,就 f gx= A.x + 2,x 0 B.x+2, x +C.x+ 2,x 0 D.x2+2,x 0 22. 函数yex2单调增的区间是【】A（- , +） B（- , 0）C（0,+） D（-11 ,）23以下函数中,在区间-1 ,1 上满意罗尔定理条件的是Acosx B.inx C. ex D. tgx D.lnlnxC【】24.lnxdxx】 A.lnx2C B.1lnxC C.1lnx 2Cx2225. 常数a,0aadx2 x02【】A2 B. C.arcsin2 D.0 26. 设fx ,yxy1

20、 arcsinx,就f xx 1,yA0 B121x3【xC121x2 D1 xy27当 + 时,幂级数n1xn的和函数为】n .A.ex B.ex+1 C.ex-1 D.ex- e-x 28. 设 f x,y在Dx ,y |x2y21上连续 , 就fx ,y d【】D1 2 1A. 4 2 d f r cos , r sin rdr B. 4 d f r cos , r sin rdr0 0 0 01 1C. 2 0 d 0 f r cos , r sin rdr D. 2 2 d0 f r cos , r sin rdr229. 设 y * 为 y P x y Q x y f x 的一个解

21、,y 1y 2 是对应的齐次方程的两个线性无关的解,就y P x y Q x y f x 的通解为 y = A. C1y1+C2y2 B. C2y1+C2y* C. C1y1+C2y* D. C1y1+C2y2 +y【】30. f x , y 在点 x , y 的偏导数 f z x , y 和 f y x , y , 连续 f y x , y 可微分的A. 充分且必要的条件 B. 充分非必要的条件C.必要非充分的条件 D. 既非充分又非必要的条件【】其次部分 非挑选题二、运算题（本大题共 7 小题,每道题 6 分,共 42 分）2 1sin x x sin31. 求 lim x 0 1 cos

22、 x ln 1 xx .32. 运算1 x 1 1x 2 dx .2 233. 求由参数方程 x t, y 1 t 所确定的函数的二阶导数 d2 y .2 dx2 234. 设 z ln x 2y 2 , 求 z2 z2 .x yx 235. 运算 2 e dxdy , , 其中 D为由 x=1,y=0 和 y=x 所围成的平面区哉；D36求微分方程 y 2 y y e x的通解；37. 将函数 f x arctgx 展成 x 的幂级数；三、应用和证明题（本大题共 3 小题,每道题 6 分,共 18 分）38. 求心形线 r a 1 cos a 0 的全长；39. 在 xoy 面上求一点,使其

23、到 x 轴, y 轴及直线 x 2y 16 0 的距离平方之和最小；40. 证明曲线 x y a 上任一点处的切线在两个坐标轴上的截距之和等于常数 a. 2022 年下半年高训练自学考试全国统一命题考试高等数学（工科、专科）试题参考答案及评分标准一、单项挑选题（本大题共 30 小题, 1-20 每道题分, 21-30 每道题 2 分,共 40 分）（一）每道题 1 分,共 20 分 1.B 2.C 3.A 4.D 5.A 6.C 7.B 8.C 9.D 10.A 11.B 12.A 13.D 14.C 15.B 16.A 17.D 18.A 19.C 20.C 二 每道题 2 分, 共 20 分 21.A 22.B 23.A 24.C 25.A 26.D 27.C 28.B 29.D 30.B 二、运算题（本大题共7 小题,每道题6 分,共 42 分）31【参考答案】解原式1lim x 0sinx2sin1（ 2 分）xln1x21lim x 0sinx2sin1（ 2 分）x2ln1x1（2 分）232. 【参考答案】解原式1x121x2dx2（2 分）xxlnln12 x| 1（2 分）ln1x| 1ln（2