高等数学教案ch83全微分及其应用

1、 8.3 全微分及其应用一、全微分的定义依据一元函数微分学中增量与微分的关系 有偏增量与偏微分fx x y fx y fxx y xfx x y fx y为函数对 x 的偏增量 fxx y x 为函数对 x 的偏微分fx y y fx y fyx y yfx y y fx y为函数 对 y 的偏增量 fyx y y 为函数对 y 的偏微分全增量 z fx x y y fx y运算全增量比较复杂 我们期望用 x、 y 的线性函数来近似代替之定义 假如函数 z fx y在点x y的全增量z fx x y y fx y 可表示为z A x B y o x 2 y 2 其中 A、B 不依靠于 x、 y

2、 而仅与 x、y 有关 就称函数 z fx y在点x y可微分 而称A x B y 为函数 z fx y在点 x y的全微分 记作 dz 即dz A x B y那么称这函数在D 内可微分假如函数在区域 D 内各点处都可微分可微与连续 可微必连续 但偏导数存在不肯定连续这是由于假如 z fx y在点x y可微 就fx ,yz fxx yy fx y A x B y o 于是lim 0z0fxx ,yylim 0fx ,y z 从而x ,lim y ,0 0 因此函数 z fx y在点 x y处连续可微条件定理 1必要条件 假如函数 z fx y在点 x y可微分 就函数在该点的偏导数 z 、z

3、必定存在 且x y函数 z fx y在点x y的全微分为 dz z x z yx y证设函数 z fx y在点 Px y可微分 于是 对于点 P 的某个邻域内的任意一点 P x x y y 有 z A x B y o 特殊当 y 0 时有f xx y fx y A x o| x|z 存在 且 yzB所以上式两边各除以x 再令 x0 而取极限 就得lim x0fxx ,y fx ,y Ax从而偏导数z 存在 且 xzA同理可证偏导数xydzzxzyxy于是有z A x B y o 特殊当简要证明设函数z fx y在点 x y可微分y 0 时有f xx y fx y A x o| x|xz yy上

4、式两边各除以x 再令 x0 而取极限 就得lim x0fxx ,y fx ,y lim x 0Ao |x |Axx从而z 存在 且 xzA同理z 存在 且 yz yB所以dzz xx偏导数z 、xz 存在是可微分的必要条件 y但不是充分条件例如函数 f x , y x 2 xyy 2 x 2 y 2 0在点 0 0处虽然有 fx0 0 0 及 fy0 0 0 但函数0 x 2 y 2 0在0 0不行微分 即 z fx0 0 x fy0 0 y不是较 高阶的无穷小这是由于当 x y沿直线 y x 趋于0 0时z f x 0 , 0 x f y ,0 0 y x 2 x yy 2 x 2 x xx

5、 2 12 0定理 2充分条件 假如函数 z fx y的偏导数z 、xz 在点 x y连续 就函数在该点可微分 y定理 1 和定理 2 的结论可推广到三元及三元以上函数按着习惯x、 y 分别记作 dx、dy 并分别称为自变量的微分就函数 z fx y的全微分可写作dzzdxzdyxy二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理 叠加原理也适用于二元以上的函数 例如函数 u f x y z 的全微分为du u dx u dy u dzx y z例 1 运算函数 z x2y y2的全微分解由于 z 2 xy z x 2 2 yx y所以 dz 2xydx x 2 2y

6、dy例 2 运算函数 z exy在点 2 1处的全微分解由于x z ye xy zy xe xyz x 2 e 2 zx 2 2e 2x y 1 y y 1所以 dz e2dx 2e2dy例 3 运算函数uxsinye yz的全微分2解由于u1u1cosyze yzuye yzxy22z所以dudx1 2cosyze yz dyye yz dz2* 二、全微分在近似运算中的应用当二元函数 z f x y在点 P x y的两个偏导数 fx x y fyx y连续 并且 | x| | y|都较小时 有近似等式即 f xx yz dz fx x y x fyx y y y fx y fx x y x

7、 fyx y y我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似运算例 4 有一圆柱体 受压后发生形变 它的半径由 20cm 增大到 20 05cm 高度由100cu 削减到 99cm 求此圆柱体体积变化的近似值解 设圆柱体的半径、高和体积依次为 r、h 和 V 就有V r 2h已知 r 20 h 100 r 0 05 h 1 依据近似公式 有V dV Vr r Vh h 2 rh r r 2 h2 20 100 0 05 20 2 1 200 cm 3即此圆柱体在受压后体积约削减了 200 cm 3例 5 运算 1 04 2 02的近似值解 设函数 f x y x y 明显 要运算的值就是函数在f1

8、 04 2 02取 x 1 y 2x 0 04y 0 02 由于x 1 04 y 2 02 时的函数值f x x y y fx y fxx y x fyx y yxyyxy 1x xyln x y所以1 042 02122 12 10 04 12ln1 0 02 1 08例 6 利用单摆摇摆测定重力加速度 g 的公式是 g 4T 2 2 l现测得单摆摆长 l 与振动周期 T 分别为 l=1000.1cm、T=20.004s.问由于测定 l 与T 的误差而引起 g 的肯定误差和相对误差各为多少？解 假如把测量 l 与 T 所产生的误差当作 | l|与|T|, 就利用上述运算公式所产生的误差就是二

9、元函数 g 4T 2 2 l 的全增量的肯定值 |g|. 由于 | l| |T|都很小 因此我们可以用 dg 来近似地代替 g 这样就得到 g 的误差为| g | | dg | | g l g T |l T| gl | l |T g | T4 2 T 12 lT 2 l3 T 其中 l 与 T 为 l 与 T 的肯定误差 把 l=100 T=2, l=0.1, T=0.004代入上式 得 g 的绝对误差约为g 4 2 .02 2 1 22 1003 .0 004 0 . 5 2 4 . 93 cm / s 2 . g g4 0 .2 5100 20 . 5 002 2从上面的例子可以看到 对于一般的二元函数 z=fx, y, 假如自变量