高二下学期期末考试数学试卷

1、高 二 下 学 期 期 末 考 试数学试题（理科）一、挑选题：（此题共 10 个小题,每小题 5 分,共 60 分）5. 函数y1在点x4处的导x数是 （） A 1B 81C 18161设 D 1 16z1ii为虚数单位,就z22=z6. 已知随机变量听从正态分布（）N2,2,P40 . 84,就（A）1i（B ）1i（C ）P0 1i（D ）A B C D 1i2以下等于1 的积分是（）7. 某校共有7 个车位,现要停放3A1x dx B1x1 dx辆不同的汽车,如要求4 个空位必00须都相邻,就不同（）C 1 01 dx的停放方法共有（ A） 16种（B）18种D1 10 2dx（C） 2

2、4 种（D） 32种8. 如 幂 函 数fx的 图 象 经 过 点A 1,1,就它在 A 点处的切线方程3.用数学归 纳法证明：421+1+1+为（）23（ A）4x4y10（B）211n,nN,n1时,4x4y10（C）2xy0n（ D）2xy0在其次步证明从n=k 到 n=k+1 成立9.如 函 数f x x2bxc 的 图 f 时,左边增加的项数是（）象的顶点在第四象限,就函数的图象可能是（）A.k 2 B.k 2110. 设fx是定义在 R上的奇函数,C.k 21 D.k 21f2 2,当x0时,有fx xfx恒 成 立 , 就 不 等 式4. 如f x sincosx, 就fx xf

3、等于（）的解集是（）（A） sin（B）（ A）（2 ,0 ）（ 2 ,）（B） （2 ,cos（ C）（D） 2sinsincos0 ）（ 0 , 2 ）（ C）（, 2 ）（ 2 ,）（ D）（, 2 ）（ 0 , 2 ）17. （此题共 12 分）一批产品共10 件,其中 7 件正品, 311. 某小区有7 个连在一起的车位,现有3 辆不同型号的车需要停件次品,每次从这批产品中任取一 件,在下述情形下,分别求直至取得放, 假如要求剩余的4 个车位连在一起,那么不同的停放方法正品时所需次数X的概率分布列；（ 1）的种数为（）每次取出的产品不再放回去（2）每A16 种B18 种次取出一件次品

4、后,总是另取一件正 D 32 种12. 设函数f x 是 R 上以 5 为周期品放回到这批产品中. 18（此题共 12 分）的可导偶函数,就曲线yf x 在x5处的切线的斜率为（）已知1 0f x 1xm1n 2 ,m nZ5 51 5绽开式中 x 的系数为11,求：（1）x2的系数的最小值； （2）当 x 系数取最 2小值时,求 f x 绽开式中 x 的奇数次幂项的系数之和；19（此题共 12 分）某班一信息奥赛同学编了以下运算二、填空题： （此题共4 个小题,每小题 4 分,共 16 分）13.如 a2 i ibi , 其中 a 、bR , i 是虚 数 单 位 , 就程序,将数据输入满意

5、如下性质: a2b2_；yx2x3的单调增区间14. 函数为_；15. 定积分2x1dx的值等于1x_；16. 如ABC 内 一 点 O 满 足OAOBOC0,就AO1 3ABAC；类比以上推理输入 1 时,输出结果是 1 ；输入整4数 n n 2 时,输出结果 f n 是将前一结果 f n 1 先乘以 3n-5 ,再除以 3n+1. （ 1）求 f 2, f 3, f 4; （2） 试由 （ 1 ） 推 测 f n （ 其 中n N *）的表达式,并给出证明 . 20. （此题共 12 分）过 程 可 得 如 下 命 题 ： 如 四 面 体已知函数fxx3tx；（）求曲ABCD内一点O满足O

6、AOBOCOD0,就线yfx在点M,ft处的切线方程；AO . 6 个小题,共（） 设a0,假如过点a,b可作三、解答题： （此题共曲线y的三条切线,证明：fx 74 分）abfa；P X2377,m2212a1093021. （此题共 12 分）P X3 3277, 据统计某种汽车的最高车速为120 千1098120米时, 在匀速行驶时每小时的耗油所以 X的概率分布为量 y（升）与行驶速度 y（千米时）X 1 2 3 4 之间有如下 函数关系：P y1x33x8；已知甲、 6 分12800080乙两地相距100 千米；（I ）如汽车以 2 由题意, X的可能取值为1,2,40 千米时的速度匀

7、速行驶,就从甲3,4,其中地到乙地需耗油多少升？（II ）当汽P X1 7,车以多大的速度匀速行驶时,从甲地10到乙地耗油最少？最少为多少升？P X2386,22. （此题共 14 分）101025已知函数fxaxxlnx 的图象P X3 32927, 在点xe（ e 为自然对数的底数）101010500P X4 321103. 处的切线斜率为310101010500（1）求实数 a 的值；（2）如 kZ ,所以 X的概率分布为且kfx对任意x1恒成立, 求X 1 2 3 4 P x1k 的最大值； 1 2 分（ 3 ） 当nm4时 , 证 明18解：（1）QC12C111,所n mnmnmm

8、nmn以m2 n11 2分参考答案 理 C24C21m m12 n n1mn24一、挑选题： CCAAD ACBAD CB 4分a xL二、填空题：当m5,n3时有最小值13. 514. 0 ,222 ； 5分3（ 2） 由 （ 1）m5,n3, 所 以15 ln23% 16. f x 1x512 3a 0a x21ABACAD从而a 54三解答题f1253 3a 0a 1La5,17. 解：（ 1）由题意, X 的可能取值为 8 分1, 2,3,4,其中P X17,f 101a 0a 1a2a 3a410, 10 分fk13 k15fkk3 k153 k13 k1所以3 k1 13 k112

9、 1111 3 1 13k1 1a 1a 3a51 2f1f 1303 k1 3 k2 , 即 奇 数 次 幂 项 的 系 数 之 和 为 9分30 1 2 分所以nk1 时,猜想成立；由 （ 1 ）（ 2 ） 知 , 猜 想 ：19. 解 ： 由 题 设 条 件 知f1 = 1fn3 n213n1 （ 其 中1 , 4fn=3 n5fn1 , 3 n1nN*）成立；f2 111; 7428 12分20 解：（1）求函数fx的导f3 141; 281070数：fx 3x21；曲线yfxf4 171. 7013130在点Mt,ft处的切线方程为： 3分yftftxt,即2 猜想：fn3 n213

10、 n1 y3t21x2 t3； 4分（其中（ 2 ） 如 果 有 一 条 切 线 过 点nN*） 5分a,b,就存在t,使以下用数学归纳法证明：b3 t21 a2 t3；（1）当n1时,于是, 如过点a,b可作曲 线f 1 1,3121311 yfx的 三 条 切 线 , 就 方 程442 t33at2ab0有三个相异的,所以此时猜想成实数根；记立； gt2t33at2ab,就 6分（2）假 设nkkN*时 ,gt6t26at6 tta ；当 t 变fk3k13k1成化时,gt,gt的变化情形如下表：2 立0 0 0 那么nk1时,极大微小值值bfa8地需行驶100 小时 . 设耗 x1ab油

11、量为hx升,依题意,由gt的 单 调 性 , 当 极 大 值得ab0或微小值bfa0时,h x 1x33x8 1001280080 x128方程gt0最多有一个实数根；当ab0时,解方程gt0其中,0 x120. 得t0,t3a,即方程gt0只 2 7分有两个相异的实数根；hxx800 x3803当bfa0时 , 解 方 程640 x2640 x2gt0得ta,ta, 即 方 程0 x120. 2令h x0,得gt0只有两个相异的实数根；上,假如过a,b可作曲线yfx 综x80. 因 为 当x0, 80时 ,的三条切线,即gt0有三个相异的 实 数 根 , 就ab,0.0即h x0,hx是减函

12、bfa数；当x80 , 120时,abfa； 12分h x0,hx是增21. （I ）当x40时,汽车从甲地函数,所以当x80时,h x取 得 最 小 值到乙地行驶了h 8011.25. 10025.（小时）,所以当汽车以80 千米时的速度行驶时,从甲地到40需蚝油乙地耗油最少,14033402 5.17最 少 为 11 . 255.升； 12800080（升）； 所以,汽车以 40 千米时 12分的速度匀速行驶,从甲地22. 解：（1）由于fxaxxlnx ,到乙地需耗油17 5.升 4分. 所以fxalnx1 （ II ）当汽车的行驶速度为x千米时时,从甲地到乙 1分由于函数fxaxxln

13、x的0所以方程h x0在 1,上x 01x 02x 03,4图像在点xe处的切线存 在 唯 一 实 根0 x, 且 满 足斜率为 3,所以fe3,即x 03,4alne13当1xx0 时,h x 0, 即所以a1 g x 0,当xx0 时,h x 0, 即g x 0, 6分 2 分所 以 函 数g xxxxlnx在（ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 知 ,1fxxxlnx ,1,x 0上单调递减, 在x 0,上单所以kfx对任意x1恒调递增所以x1g xming x 0 x 01 lnx 0成立,即kxxxlnx对任意x1x 01x 011 7分恒成立 3分令g xxxxlnx,所以1kg x

14、minx 03,4就故整 数k的最 大 值是gxxlnx22, 3 x1 8分 （ 3 ） 证 明1 ： 由 （ 2 ） 知 , 4分g xxxxlnx是 4,上的增1令h xxlnx2x1,函数, 9分就hx11xx10,所以当nm4时,xnnnlnnmmlnm 1m1nm所以函数h x在 1,上单 调递 10 分增 即 5分n m1 1lnnm n1 1lnm因为h31ln30,h422ln 2整理,得,mnlnnmlnmmnlnmnlnn 即 11 分mnlnnmlnmmnlnmnlnn因为nm,所以即mnlnnmlnmmnlnmnlnn 12分lnnmnlnmmlnmn mlnnn即即lnnmnlnmmlnmn mlnn n lnnmnm mlnm n mnn 即lnnmnm mlnm