3.2条件分布与随机变量的独立性课件

1、3.2 条件分布与随机变量的独立性一、条件分布的一般概念设X是一随机变量,为在事件A发生的条件下，满足称条件概率是一随机事件，记X的条件分布函数.如与独立性设且对于实数则同理,且若则且是另一随机变量,与 独立事件与独立独立性:事件定义3.6如果对任意实数 有则称随机变量X与Y与设随机向量( X，Y )的联合分布函数为相互独立.定义3.6如果对任意实数 有则称随机变量X与Y相互独立.与设随机向量( X，Y )的联合分布函数此时且时,时,同理，为随机变量X与Y相互独立事件与相互独立.对任意实数 有有事件与相互独立.对任意实数集A与B ,事件与相互独立.可以证明与对任意实数 与对任意实数 与对任意实

2、数 与定理3.1随机变量X与Y的充要条件是事件与相互独立.对任意实数集A与B,即定理3.2如果随机变量X与Y相互独立,则对于任意连续函数随机变量与也相互独立.和相互独立定义3.7设是n个随机变量,联合分布函数为边缘分布函数为恒有如果对任则称相互独立.二、离散型随机变量的条件分布设( X，Y )是二维离散型随机向量,概率分布为若对某个有则且记与独立性称为条件下,X的条件概率分布.在其定义此时，有定义设( X，Y )是二维离散型随机向量,若对有则称固定的为条件下,X的条件概率分布.在如设( X，Y )的概率分布为则在条件下，X的条件概率分布为如设( X，Y )的概率分布为则在条件下，X的条件概率分

3、布为可列表表示且( 非负性 )( 归一性 )时，定义设( X，Y )是二维离散型随机向量,若对有则称固定的为条件下,Y的条件概率分布.且在此时，有记( 非负性 )( 归一性 )时，且X与Y相互独立有可以证明对任意实数集A与B ,有设X与Y是离散型随机变量 对任意 Th3.1独立性有有与 对任意 与 对任意实数 与定理3.3则X与Y相互独立分布设X与Y是离散型随机变量，其联合概率分布为边缘分别为的充要条件是10件产品中每次任取一件,(1) 无放回抽取(2) 有放回抽取有3件次品,7件正品, 例 连续取两次.设 表示第一次取到的次品件数,设 表示第二次取到的次品件数.与 独立. 与 不独立.由联合

4、分布,可求出边缘分布;但由边缘分布,一般不能确定联合分布.如 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2但若已知X与Y则可由边缘分布,确定它们的联合分布.相互独立,三、连续型随机变量的条件分布设( X，Y )是二维连续型随机向量,其分布函数为密度函数为此时， 都是连续型随机变量,它们取单个值的概率均为0故在且中,分子均为0,从而上式无意义.分母、 必须用极限的形式,所以对连续型随机向量，的合理定义.给出的条件分布与独立性 X与Y 且记记称为条件下,X的条件分布函数.定义 称为条件下,X的条件分布函数.称为条件下,X的条件密度称为条件下,Y的条件分布函数.称为条件下,Y的条件密度记函数.记函

5、数.称为条件下,X的条件密度函数.称为条件下,Y的条件密度函数.例设X和Y的联合密度函数为其它求条件密度函数.解时其它例设X和Y的联合密度函数为其它求条件密度函数.解时,y取其它值其它当时，或不存在.当例其它求条件密度函数.解时，时，解例其它求条件密度函数.其它时,x取其它值解例其它求条件密度函数.其它当时，或不存在.当例设求条件密度函数.解( X,Y )概率密度函数为此时，故X与Y相互独立对任意实数有对任意实数有设( X，Y )是连续型随机向量,独立性度为关于X,Y的边缘密度分别为其联合密有对任意实数与与与定理3.4设连续型随机向量(X，Y)的密度函数为独立边缘密度分别为和的充分必要条件是则