2023二次函数复习专题讲义2

1、 二次函数【知识清单】1、一般的，形如的函数叫二次函数。例如等都是二次函数。注意：系数不能为零，可以为零。2、二次函数的三种解析式表达式= 1 * GB3一般式：= 2 * GB3顶点式：，顶点坐标为= 3 * GB3交点式：3、二次函数的图像位置与系数之间的关系= 1 * GB3：决定抛物线的开口方向及开口的大小。当时，开口方向向上；当时，开口方向向下。决定开口大小，当越大，那么抛物线的开口越小；当越小，那么抛物线的开口越大。反之，也成立。= 2 * GB3：决定抛物线与轴交点的位置。当时，抛物线与轴交点在轴正半轴即轴上方；当时，抛物线与轴交点在轴负半轴即轴下方；当时，抛物线过原点。反之，也

2、成立。= 3 * GB3：共同决定抛物线对称轴的位置。当时，对称轴在轴右边；当时，对称轴在轴左边；当即当时对称轴为轴。反之，也成立。= 4 * GB3特别：当时，有；当，有。反之也成立。4、二次函数的图像可由抛物线向上向下，向左向右平移而得到。具体为：当时，抛物线向右平移个单位；当时，抛物线向左平移个单位，得到；当时，抛物线再向上平移个单位，当时，抛物线再向下平移个单位，而得到的图像。5、抛物线与一元二次方程的关系：= 1 * GB3假设抛物线与轴有两个交点，那么一元二次方程有两个不相等的实根。= 2 * GB3假设抛物线与轴有一个交点，那么一元二次方程有两个相等的实根即一根。= 3 * GB

3、3假设抛物线与轴无交点，那么一元二次方程没有实根。6、二次函数的图像与性质关系式图像形状抛物线顶点坐标对称轴增减性在图像对称轴左侧，即或，随的增大而减小；在图像对称轴右侧，即或，随的增大而增大；在图像对称轴左侧，即或，随的增大而增大；在图像对称轴右侧，即或，随的增大而减小；最大值最小值当时，当时，当时，当时，【考点解析】考点一：二次函数的概念【例1】以下函数中是二次函数的是 【解析】根据二次函数的定义即可做出判断，中符合的形式，所以是二次函数，分别是一次函数和反比例函数，中右边不是整式，显然不是二次函数。【答案】【例2】函数是二次函数，那么。【解析】根据二次函数的定义，只需满足两个条件即可“二

4、次项系数不为零，且的最高次数为。故有，解得，综上所述，取。【答案】【针对训练】假设函数是二次函数，那么该函数的表达式为。考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用【例1】点在二次函数的图象上，那么的值是【解析】因为点在二次函数的图象上，所以将点代入二次函数中，可以得出，那么可得，【答案】【例2】假设二次函数的与的局部对应值如下表，那么当时，的值为【解析】设二次函数的解析式为，因为当或时，由抛物线的对称性可知，所以，把代入得，所以二次函数的解析式为，当时，。【答案】【针对训练】过,三点的抛物线的顶点坐标是2、无论为何实数，二次函数的图象总是过定点 【例3】如下列图，在平面直角坐标系中，二次函

5、数的图象顶点为，且过点，那么与的函数关系式为 【解析】设这个二次函数的关系式为，将代入得，解得：，故这个二次函数的关系式是，【答案】【针对训练】过，三点的抛物线的顶点坐标是_。考点三：二次函数的图像与性质的综合应用与系数的关系【例1】二次函数有最小值1，那么、的大小关系为 不能确定【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值【解析】因为二次函数有最小值1，所以，所以。【答案】【针对训练】 1、二次函数的最小值是。2、二次函数的图象的顶点坐标是 3、抛物线的顶点坐标是 【例2】抛物线可以由抛物线平移得到，那么以下平移过程正确的是 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位先向左平移2个单位，再向下平移3个单位

6、先向右平移2个单位，再向下平移3个单位先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【考点】涉及函数平移问题【解析】抛物线向左平移2个单位可得到抛物线，再向下平移3个单位可得到抛物线。【答案】【针对训练】 1、以下函数：1；2；3。其中，图象通过平移可以得到函数的图象的有填写所有正确选项的序号。2、将抛物线向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是。3、将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是 【例3】二次函数的图象如下列图，那么以下关系式错误的是 【考点】图像与系数的关系【解析】观察题中图象可知，抛物线的开口方向向上，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，与轴有两个交点，所以，

7、且当时，。显然选项A、B、C都正确，只有选项D错误。【答案】【例4】二次函数的图象如下列图，对称轴为直线，那么以下结论正确的是 方程的两根是，当时，随的增大而减小【考点】图像与性质的综合应用【解析】由图象可知，故A错误；因对称轴为直线，所以，故C错误；由图象可知当时，随的增大而增大，故D错误；由二次函数的对称性可知B选项正确，【答案】【针对训练】 1、在同一平面直角坐标系中，函数和函数是常数，且的图象可能是 2、抛物线在平面直角坐标系中的位置如下列图，那么以下结论中，正确的是 3、在反比例函数中，当时，随的增大而减小，那么二次函数的图象大致是 考点四：二次函数的实际应用【例1】某企业为重庆计算

8、机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格元与月份，且取整数之间的函数关系如下表：月份123456789价格元/件560580600620640660680700720随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格元与月份1012，且取整数之间存在如下列图的变化趋势：1请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出与之间的函数关系式，根据如下列图的变化趋势，直接写出与之间满足的一次函数关系式；2假设去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力本钱为50元，其它

9、本钱30元，该配件在1至9月的销售量万件与月份满足函数关系式19，且取整数10至12月的销售量万件与月份满足函数关系式1012，且取整数求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；3今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力本钱比去年增加20%，其它本钱没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的根底上提高，与此同时每月销售量均在去年12月的根底上减少这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出的整数值参考数据：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025【考点

10、】涉及函数模型，把实际问题转化为函数，用函数的观点来解决问题，综合性比较强，一般还涉及不等式，最值问题。【解析】1把表格1中任意2点的坐标代入直线解析式可得的解析式把10，73012，750代入直线解析式可得的解析式，；2分情况探讨得：19时，利润=售价各种本钱；1012时，利润=售价各种本钱；并求得相应的最大利润即可；3根据1至5月的总利润1700万元得到关系式求值即可。解：1设，那么 QUOTE ，解得 QUOTE ，19，且取整数；设，那么 QUOTE ，解得 QUOTE ，1012，且取整数；2设去年第月的利润为元19，且取整数时=4时，最大=450元；1012，且取整数时，=10时，

11、最大=361元；3去年12月的销售量为0.112+2.9=1.7万件，今年原材料价格为：750+60=810元今年人力本钱为：501+20%=60元510001+81060301.710.1=1700，设，整理得，解得9401更接近于9409， QUOTE ，0.1，9.8，10或980，1.710.11，10【答案】11012，且取整数；2=10时，最大=361元；310【针对训练】1、在“母亲节前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲。经试验发现，假设每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；假设每件

12、按29元的价格销售时，每天能卖出21件假定每天销售件数y件与销售价格x元/件满足一个以x为自变量的一次函数。1求y与x满足的函数关系式不要求写出x的取值范围；2在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？【例2】如图，二次函数图象的顶点坐标为2，0，直线与二次函数的图象交于两点，其中点在轴上1二次函数的解析式为=；2证明点不在1中所求的二次函数的图象上；3假设为线段的中点，过点作轴于点，与二次函数的图象交于点轴上存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，那么K点的坐标是；二次函数的图象上是否存在点，使得？求出点坐标；假设不存在，请说明理由【考点】考察函数的图

13、像与性质，与平面图形综合为主，一般涉及存在性问题和动点问题。【解析】1由二次函数图象的顶点坐标为，故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式2把该点代入抛物线上，得到的一元二次方程，求根的判别式3由直线与二次函数的图象交于两点，解得两点坐标，求出点坐标，设点坐标，使为顶点的四边形是平行四边形，那么，且，进而求出点的坐标过点作轴于，那么，又为中点，求得点坐标，可得到，设，由题意可以解出1解：2证明：设点在二次函数的图象上，那么有：，整理得，原方程无解，点不在二次函数的图象上3解：或二次函数的图象上存在点P，使得，如图，过点作轴于，那么，又为中点，由于和可求得点轴，设，由题意得：解得或，当时，当时，存在

14、点和，使得【答案】1； 2见上述解答过程； 3存在，点和【根底闯关】1、二次函数的图象如下列图，那么这个函数的解析式为。2、二次函数，那么函数的最小值是。3、把抛物线向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为。4、将二次函数化成的形式，那么。如图，抛物线的函数表达式是 6、函数的图象如下列图，那么函数的图象是 7、二次函数的图象的顶点坐标是 1，3，3 1，8、对于抛物线，以下结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为1，3；时，随的增大而减小，其中正确结论的个数为12349、：直线过抛物线的顶点，如下列图1顶点的坐标是_2假设直线经过另一点0，11，求出该直线的表达式；3在2的条件下，假设

15、有一条直线与直线关于轴成轴对称，求直线与抛物线的交点坐标10、二次函数，解答以下问题：1用配方法将该函数解析式化为的形式；2指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴，以及它的变化情况【拓展提高】1、将二次函数的图象沿轴向上平移3个单位，那么平移后的二次函数图象的顶点坐标是。2、假设抛物线的最低点的纵坐标为，那么的值是。3、抛物线的顶点坐标是，且过点，那么二次函数的解析式为4、抛物线图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为，那么、的值为 ，5、抛物线图象如下列图，那么一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为 6、如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对

16、称轴相同，那么以下关系不正确的是k=nh=mknh0，k0 7、将二次函数化为的形式，结果为8、企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1吨与月份16，且取整数之间满足的函数关系如下表： 月份x月 1 23 45 6 输送的污水量y1吨 12000 6000 4000 3000 24002000 7至12月，该企业自身处理的污水量y2吨与月份712，且取整数之间满足二次函数关系

17、式为其图象如下列图1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：元与月份之间满足函数关系式：，该企业自身处理每吨污水的费用：元与月份之间满足函数关系式：；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元1请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出与之间的函数关系式；2请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用元最多，并求出这个最多费用；3今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的根底上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份