数学分析总结材料课件

1、数学分析总结 微积分微分学极限连续导数（微分）积分学不定积分定积分广义积分级数常数项级数函数项级数 幂级数（泰勒） 三角级数（傅立叶）一、维度观：函数一元函数的定义域对应实数轴 上的点集，简称点集。二元函数的定义域对应平面上 的点集，简称平面点集。开区间 VS 开区域闭区间 VS 闭区域a,b的特征：有界闭集连通一元：单调有界原理确界定理 闭区间套定理聚点定理 致密性定理柯西点列必收敛定理 有限覆盖定理二元：平面上的点不能比较大小，因此少了 单调有界原理和确界定理 实数的完备性（或实数的连续性）极限一元：两种方式趋向二元 重极限：x,y同时以任意方式 趋向累次极限：x与y有先有后地趋向 与重极

2、限存在 累次极限存在累次极限存在 重极限存在定义或者 （当 时）. 2412-1在 函数 在 的极限与 处是否有定义没有关系注意邻域内有定义，如果当以任意方向趋向时，即当 在点设函数的某个去心时， 函数时的极限，记为无限接近于一个确定的常数A,则称A为函数当时，间断点的类型： 第一类间断点函数 在点 处左右极限都存在的间断点第一类间断点左右极限存在且相等 可去间断点左右极限存在不相等 跳跃间断点定义 第二类间断点函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个是不存在的间断点，则称x0为第二类间断点。连续一元 二元 闭区间上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质 定义定义极限存在、连续与可导（可微

3、）的联系和区别 一元：极限 连续 可导 可微二元：极限 连续 可微 一元函数的导数与微分是同一问题的两个角度，导数侧重于变化率（几何上即切线之斜率），微分侧重于近似计算。复合函数求导一元：二元：二元：我们可把看作相对于的变化率，看作相当于的变化率，看作相当于的变化率.如果变化得比快2倍，变化得比快3倍，那么变化得比快6倍是合乎情理的.因此我们有. 若 近似计算一元二元（一阶）微分近似计算公式 （高阶）泰勒公式定量：拉氏余项， 柯西型余项定性：佩亚诺余项极值 一元二元判别法一 判别法二 定理6.10 (极值的第一充分条件) 设函数 f (x) 在定理 6.12 ( 极值的第三充分条件 ) 设 f

4、 在点 x0 的某邻域内存在直到(ii) n 为奇数时, 不是极值点 . 极值的第二充分条件之阶的推广问题：如何判定一个驻点是否为极值点？单调性凹凸性 一元：曲线 二元：凹凸面 （变量的）微分，就是该变量的微小线性变化部分，技巧是局部切或小切，即局部地遇线切线，见面切面也 一元（线微元） （本已线性，因此 其中 为单位切向量 二元（面微元） 其中 为单位法向量平面面积微元 设曲面的方程为：如图，3。曲面的面积 三元（体微元） 。积分学：一、几何角度4-D体积点线（长度）面（面积）体（体积）直线段长度:曲线段平面曲线段长度空间曲线段长度。平面块（平面区域）的面积曲面块 3-D曲面块面积4-D曲面

5、快面积。平面块（平面区域）的面积4-D曲面块面积？3-D曲面块面积空间几何体的体积点线面体各积分公式的关系一重定积分：N-L公式二重积分：Green公式三重积分：Gauss公式四重积分：。维度曲线：一维直线，平面封闭曲线（Green 公式），3-D封闭曲线（Stokes公式）。维度曲面：二维平面，3-D封闭曲面（Gauss 公式）， 4-D封闭曲面。物理角度：质量 直线段：定积分曲线段（平面，空间）：第一型曲线积分平面块：二重积分曲面块：第一型曲面积分3-D几何体：三重积分做功：第二型曲线积分流量：第二型曲面积分微元法：1.（平行截线为已知的平面区域面积）2.平行截面为已知的立体体积总式： 应

6、用 1.旋转体体积2.计算重积分（投影降重）：X-型区域（投影到X轴上）Y-型区域（投影到Y轴上）二重积分三重积分 先投影到平面上先投影到坐标轴上1.平面（空间）曲线的切线与法线 去掉可微的误差项 曲面的切平面与法线： 去掉可微的误差项2.平面（空间）曲线之弧长，平面图形 （空间曲面）之面积，空间几何体之体积3.平面（空间）曲线，曲面之曲率几何应用：做功，水压力，引力，矩：质量，重心（质心），转动惯量等物理应用： 级数 数列与级数： 数列数列 函数列：也是数列，是带函数形式的数列数项级数：正向级数收敛判别法 幂级数：用正项级数收敛 判别法求收敛区间 傅里叶级数（处理周期函数）函数项级数：(常数

7、项数列)函数点点有界与一致有界 函数点点连续与一致连续函数列点点收敛与一致收敛点点与一致（即局部与整体）：例1 例2 但在a，1）才一致有界点点有界,但在a，1）才一致连续例3 但在a，1）才一致收敛证 首先我们根据一致连续的定义来叙述 f (x) 在区例9 但仍有确实不是一致连续的.总有间I上不一致连续的定义：试问, 函数 在区间I上一致连续与 在区间I上连续的区别究竟在哪里？仅与有关. 对于任意正数 , 所得答:(1) 首先, 对于如果 在区间 I上连续，那么, 不仅与 有关, 而且还与所讨论的点而 在区间I上一致连续. 那么显然关. 过程中有一个正下界(当然(2) 函数 f (x) 在每

8、一点 连续,区间I上就一致连续了.这个下界只与 有关, 而与x0无关), 则此时 f (x)在从几何意义上 看, 就是存在某个预先给定 的(1), 无论 N 多么大, 总存在某条曲线 只限于在区间 上, 则容易看到, 只要 不能全部落在由 夹成的带状区域内(图13-2). 若函数列 曲线 就全部落在所夹成的带状区域内，所以 上是一致收敛的. 处处连续处处不可导函数：P可微VS方向导数VS偏导数多元函数极值一、多元函数的极值和最值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.二、条件极值与拉格朗日乘数法条件极值：对自变量有附加条件的极值 一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值

9、来求解降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不容易作到，有时甚至是不可能的解决条件极值问题的一般方法是Lagrange乘数法升元法求 z = f ( x , y )其几何意义是其中点 ( x , y ) 在曲线 L 上xyzoz=f(x,y)LM无条件极值点.P条件极值点.1. 已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为 求线状物体的质量 m . 由物理学知道，如果一个物体在常力F作用下，使得物体沿力的方向作直线运动 ，物体有位移 s 时，力F对物体所作的功为：W=F*s 这个公式只有在力F是不变的情况下才适用，但在实际问题中，物体在运动过程中所受到的力是变化的。下面我

10、们通过例子来说明如何利用微元法来求变力所作的功。例1 已知弹簧每伸长 0.02 m 要用 9,8 N 的力，求把弹簧拉长 0.1 m 需作多少功一、变力沿直线作功 当我们拉长弹簧时，需要克服弹性力作功，由 Hoke 定律，弹性力F与伸长量 x 之间有函数关系： F=kx k 弹性系数用微元法由题设9.8=0.02k k= 490要求的是变力所作的功F=490 x 取 x 为积分变量积分区间为 0 ,0.1 弹簧由 x 处拉到 x +dx 处，由 F (x ）的连续性，当 dx 很小时，弹性力F (x) 变化很小，可近似地看作是不变的（常力）解 于是在小区间 x， x +dx 上对应的变力F所作的功近似于把变力F看作常力 F =490 x 所作的功如果积分区域为：X型其中函数 、 在区间 上连续.二重积分的计算法(1)一、利用直角坐标系计算二重积分应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得例1 求由两个圆柱面围立体的体积.解 二重积分的计算法（2）一、利用极坐标系计算二重积分设曲面的方程为：如图，3。曲面的面积曲面S的面积元素设曲面的方程为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得简述为：一代、二换、三投影代：将曲面的方程代入被积函数换：换面积元投影：将曲面投影到坐标面得投影区域求半径为R的球面的表面积解