高二数学人教A版必修五111《正弦定理》word教案2

1、教学目标名师精编优秀教案11 正弦定理（教学设计）1学问与技能 : 通过对任意三角形边长和角度关系的探究,把握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定懂得斜三角形的两类基本问题；2. 过程与方法 : 让同学从已有的几何学问动身, 共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导同学通过观看,推导,比较,由特别到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用 的实践操作；3情态与价值：培育同学在方程思想指导下处懂得三角形问题的运算才能；培育同学合情 推理探究数学规律的数学思思想才能,通过三角形函数、正弦定理、 向量的数量积等学问间 的联系来表达事物之间的普遍联系与辩证统一；教学重、难点

2、重点：正弦定理的探究和证明及其基本应用；难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判定解的个数；学法与教学用具学法：引导同学第一从直角三角形中揭示边角关系：aAbBcC,接着就一般斜sinsinsin三角形进行探究,发觉也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导,让同学发觉向量学问的简捷,新奇；教学过程：一、创设情形、新课引入 如图 11-1 ,固定 ABC的边 CB及 B,使边 AC围着顶点 C转动； A C的大小与它的对边 AB的长度之间有怎样的数量关系？摸索：明显,边 AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大；能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B 二、新课讲解：

3、 图 11-1在中学, 我们已学过如何解直角三角形,下面就第一来探讨直角三角形中,角与边的等式关系；如图 11-2 ,在 Rt ABC中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 依据锐角三角函数中正弦函数的定义,有 a sin A,bsin B,又 sin C 1 c, A c c c就sin aA sin bB sin cC c b c 从而在直角三角形 ABC中,sin aA sin bB sin cC C a B 图 11-2 摸索：那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍旧成立？（由同学争论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情形：如图 11-3 ,当ABC是锐角三角形时,设边AB上的高

4、是 CD,依据任意角三角函数的定义,有 CD= sinBbsinA, 就aAbB,sinsin名师精编 优秀教案 C 同理可得cCbB, b a 图 11-3 sinsin从而a sinABbc sinC A c B sin 摸索：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题,这个问题；（证法二）：过点 A 作 j AC, C 由向量的加法可得 AB AC CB从而可以考虑用向量来争论就jABjAC CB A B 同理,过点C作 j jABjACjCBjj ABcos 900A0j CBcos 900CcsinAasina C ,即 sinAcsinCBC ,可得bBcsinsinC从而

5、类似可推出,当abcsinAsinBsinCABC是钝角三角形时,以上关系式仍旧成立；（由同学课后自己推导）从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理： 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即aAbBcCsinsinsin 懂得定理 （1）正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数 k 使aksinA,bksinB ,cksinC ；CbBa, sinAcC（2）aAbcCa 等价于 sinAbBc, sinsinsinBsinsinsinsin从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如absinA B；sinAas

6、inB；sin已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如b一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形 ； 例题分析 例 1（课本例题）在名师精编A优秀教案0 81.8,a42.9cm,解三角形；ABC 中,已知0 32.0,B解：依据三角形内角和定理,C0 180AB0 81.8 18000 32.0066.2 ；依据正弦定理,basinB42.9sin81.8080.1cm ；sinAsin32.00依据正弦定理,casinC42.9sin66.2 0 sin32.0074.1cm .sinA评述：对于解三角形中的复杂运算可使用运算器；变式训练 1：已

7、知在ABC中,c10 ,A450,C300,求a,b和B解：c10 ,A450,C300B1800AC1050sin450102由aAcC得acsinA10sinsinsinCsin30052由bBcC得sinsin2064256bcsinB10sin105020sin750sinCsin300例 2（课本例题）在ABC 中,已知a20cm,b28cm,A400,解三角形（角度精确到01 ,边长精确到1cm）；解：依据正弦定理,0sin B b sina A 28sin4020 0.8999.0 0 0 0由于 0 B 180 ,所以 B 64,或 B 116 . 当 B 64 0时,0 0

8、0 0 0C 180 A B 180 40 64 76,0c asin sinA C 20sin76sin40 0 30 cm . 当 B 116 0时,0 0 0 0 0C 180 A B 180 40 116 24,casinC20sin240名师精编优秀教案13 cm .sinAsin400评述：应留意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形；变式训练 2：（1）在ABC中,b3,B600,c1 ,求a 和A ,CBcsinCk k0（2）在ABC中,c6,A450,a,2求b和B,C解：（1）bBcC,sinCcsinB1sin6001sinsinb32bc ,B600,C

9、B,C为锐角,C300,B900ab2c22（2）aAcC,sinCcsinA6sin4503sinsina22csinAac,C600或1200当C600时,B750,bcsinB6sin75031,sinCsin600当C1200时,B150,bcsinB6sin15031sinCsin600b31 ,B750,C600或b3,1B150,C1200例 3：已知ABC中,A0 60 ,a3, 求sinAabBcsinCsin分析：可通过设一参数kk0 使aAbBcCk, sinsinsin证明出aAbBcCsinAabBcsinCsinsinsinsin解：设aAbBcCk k osins

10、insin就有aksinA,bksinB,cksinC从而sinAabBcsinC=ksinAksinBksinC=ksinsinAsinBsinC又aA302k ,所以sinAabBcsinC=2 sinsin60sin评述：在ABC中,等式aAbBcCsinAabsinsinsinsin名师精编 优秀教案恒成立；变式训练 3：已知ABC中, sinA :sinB :sinC1:2:3,求a b c（答案： 1：2：3）例 4：在 ABC 中,角 A 、B、C 的对边分别为a、b、c,1acsinB求证：三角形面积SABC1absinC1bcsinA222（记忆：两边夹角正弦值的一半）附：（

11、课本 P8 探究与发觉的分析）已知 a, b 和 A, 用正弦定理求 B时的各种情形 : 如 A 为锐角时 : absinA无解CACaBabsinA 一解直角 bsinAab二解 一锐,一钝ab一解 锐角已知边 a,b和ACCbbAbaAbaAaaHBB1HB2Ha baCH=bsinAa=CH=bsinACH=bsinAab仅有一个解无解仅有一个解有两个解如 A 为直角或钝角时 :ab无解ab一解 锐角三、课堂小结（1）定理的表示形式：abcCsinAabcsinCk k0；sinAsinBsinsinB或aksinA,bksinB,cksinCk0（2）正弦定理的应用范畴：已知两角和任一

12、边,求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角,求另一边的对角；四、课时必记： （优化设计 P1 学问拓展）正弦定理： 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即aAbBcC=2R（ 其中 R指的是三角形外接圆的半sinsinsin径）五、分层作业：A组：1 在 ABC中, sin2A=sin2B+sin2C,就 ABC为 A A BC等边三角形 D 等腰三角形2在 ABC中,已知角B名师精编2,b优秀教案D ）0 45 ,c24 3 3, 就角 A的值是（A15B75C105D75 或 153如sin aAcosBcos C, 就 ABC是（C ）bcA等边三角形B有一内角是 30 C等

13、腰直角三角形D有一内角是 30 的等腰三角形4、tb0146101 已知 ABC 中, a=50, b=25 6 ,A=45 0,求 B；（答： 60 0或 120 0）5、tb0146102 在 ABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45 0,求角 A 、C 和边 c；（答： A=60 0,C=75 0,c= 6 2 或 A=120 0, C=15 0,c= 6 2）2 2B 组：1、在 ABC中,a b c1:3 : 2,就A B C 等于（A ）,求三边长；ABCD2、tb4800310 已知在ABC 中,三内角正弦之比为4：5：6,又周长为15 2（略解： 2,5 2,3）C

14、组：1、tb4800302已知 ABC,B为 B 的平分线,求证：ABBCAC（备注：内角平分线定理）分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内争论问题,而B的平分线 BD将 ABC分成了两个三角形：ABD与 CBD,故要证结论成立,可证明它的等价形式： ABADBCDC,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角 的 正弦值 的 比,故 可 利用正弦 定理将 所证连续转 化为AB AD BC DC,sin ABD sin ABD sin BDC sin DB C值也相等即可证明结论证明：在 ABD内,利用正弦定理得：,再依据相等角正弦值相等, 互补角正弦sinABAD即ABsinADBADBsinABDADsinABD名师精