2022年MBA联考排列组合

1、1排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一种排列；从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m)表达. A(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一种组合；从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表达. c(n,m)=p(n,m

2、)/m!=n!/(n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3其她排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被提成k类，每类的个数分别是n1,n2,.nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*.*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1加法原理 2加法原理的集合形式 3分类的规定 每一类中的每一种措施都可以独立地完毕此任务；两类不同措施中的具体措施，互不相似(即分类不重)；完毕此任务的任何一种措施，都属于某一类(

3、即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1乘法原理 2合理分步的规定 任何一步的一种措施都不能完毕此任务，必须且只须持续完毕这n步才干完毕此任务；各步计数互相独立；只要有一步中所采用的措施不同，则相应的完毕此事的措施也不同 例题分析排列组合思维措施选讲 1一方面明确任务的意义 例1. 从1、2、3、20这二十个数中任取三个不同的数构成等差数列，这样的不同等差数列有_个。 分析：一方面要把复杂的生活背景或其他数学背景转化为一种明确的排列组合问题。 设a,b,c成等差， 2b=a+c, 可知b由a,c决定， 又 2b是偶数， a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，19或2，4，6，8，20这十个数

4、中选出两个数进行排列，由此就可拟定等差数列，因而本题为2=180。 例2. 某都市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相似，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线迈进，则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐级进一步 （一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。 （二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。 （三）事实上，当把向上的环节决定后，剩余的环节只能向右。 从而，任务可论述为：从八个环节中选出哪三步是向上走，就可以拟定走法数， 本题答案为：=56。 2注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合 例3在一块并排的10垄田

5、地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有助于作物生长，规定A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有_种。 分析：条件中“规定A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一种涉及排列数，组合数的式子表达，因而采用分类的措施。 第一类：A在第一垄，B有3种选择； 第二类：A在第二垄，B有2种选择； 第三类：A在第三垄，B有一种选择， 同理A、B位置互换 ，共12种。 例4从6双不同颜色的手套中任取4只，其中正好有一双同色的取法有_。 (A)240 (B)180 (C)120 (D)60 分析：显然本题应分步解决。 （一）从6双中选出一双同色的手套，有种措施； （二）从剩余

6、的十只手套中任选一只，有种措施。 （三）从除前所波及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有种措施； （四）由于选用与顺序无关，因而（二）（三）中的选法反复一次，因而共240种。 例5身高互不相似的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一种人都比她同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_。 分析：每一纵列中的两人只要选定，则她们只有一种站位措施，因而每一纵列的排队措施只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有=90种。 例6在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，此外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法? 分析：采用加法原理一方面要做到

7、分类不重不漏，如何做到这一点？分类的原则必须前后统一。 以两个全能的工人为分类的对象，考虑以她们当中有几种去当钳工为分类原则。 第一类：这两个人都去当钳工，有种； 第二类：这两人有一种去当钳工，有种； 第三类：这两人都不去当钳工，有种。 因而共有185种。 例7既有印着0，l，3，5，7，9的六张卡片，如果容许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以构成多少个不同的三位数? 分析：有同窗觉得只要把0，l，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，但事实上抽出的三个数中有9的话才也许用6替代，因而必须分类。 抽出的三数含0，含9，有种措施； 抽出的三数含0不含9，有种措施； 抽出的三数含9不含0，有种

8、措施； 抽出的三数不含9也不含0，有种措施。 又由于数字9可以当6用，因此共有2(+)+=144种措施。 例8停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，规定空车位连在一起，不同的停车措施是_种。 分析：把空车位当作一种元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有种停车措施。 3特殊元素，优先解决；特殊位置，优先考虑 例9六人站成一排，求 (1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数 (2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数 分析：（1）先考虑排头，排尾，但这两个规定互相有影响，因而考虑分类。 第一类：乙在排头，有种站法。 第二类：乙不在排头，固然她也不能在排尾，有种站法， 共+种站法。 （2

9、）第一类：甲在排尾，乙在排头，有种措施。 第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种措施。 第三类：乙在排头，甲不在排头，有种措施。 第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种措施。 共+2+=312种。 例10对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至辨别出所有次品为止。若所有次品正好在第五次测试时被所有发现，则这样的测试措施有多少种也许? 分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一种次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完毕。 第一步：第五次测试的有种也许； 第二步：前四次有一件正品有中也许。 第三步：前四次有种也许。 共有种也许。 4捆绑与插空 例11. 8人排成一队 (1

10、)甲乙必须相邻 (2)甲乙不相邻 (3)甲乙必须相邻且与丙不相邻 (4)甲乙必须相邻，丙丁必须相邻 (5)甲乙不相邻，丙丁不相邻 分析：（1）有种措施。 （2）有种措施。 （3）有种措施。 （4）有种措施。 （5）本题不能用插空法，不能持续进行插空。 用间接解法：全排列-甲乙相邻-丙丁相邻+甲乙相邻且丙丁相邻，共-+=23040种措施。 例12. 某人射击8枪，命中4枪，正好有三枪持续命中，有多少种不同的状况? 分析： 持续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一种插空问题。此外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即。 例13. 马路上有编号为

11、l，2，3，10 十个路灯，为节省用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同步关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的状况下，求满足条件的关灯措施共有多少种? 分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又由于灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不涉及两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。 共=20种措施。 4间接计数法.(1)排除法 例14. 三行三列共九个点，以这些点为顶点可构成多少个三角形? 分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。 所求问题的措施数=任意三个点的组合数-共线三点的措施数， 共种。 例15正方体8个顶点中取出4个，可构成多少个四周体? 分析：

12、所求问题的措施数=任意选四点的组合数-共面四点的措施数， 共-12=70-12=58个。 例16. l，2，3，9中取出两个分别作为对数的底数和真数，可构成多少个不同数值的对数? 分析：由于底数不能为1。 （1）当1选上时，1必为真数， 有一种状况。 （2）当不选1时，从2-9中任取两个分别作为底数，真数，共，其中log24=log39，log42=log93, log23=log49, log32=log94. 因而一共有53个。 (3)补上一种阶段，转化为熟悉的问题 例17. 六人排成一排，规定甲在乙的前面，(不一定相邻)，共有多少种不同的措施? 如果规定甲乙丙按从左到右依次排列呢? 分析

13、：（一）事实上，甲在乙的前面和甲在乙的背面两种状况对称，具有相似的排法数。因而有=360种。 （二）先考虑六人全排列；另一方面甲乙丙三人事实上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数反复了种， 共=120种。 例185男4女排成一排，规定男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的措施? 分析：一方面不考虑男生的站位规定，共种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法反复了次。因而有=9876=3024种。 若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法， 同理也有3024种，综上，有6048种。 例19. 三个相似的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的措施? 分析：先觉得

14、三个红球互不相似，共种措施。而由于三个红球所占位置相似的状况下，共有变化，因而共=20种。 5挡板的使用 例2010个名额分派到八个班，每班至少一种名额，问有多少种不同的分派措施? 分析：把10个名额当作十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相称于一种分派方式。因而共36种。 6注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一种阶段(排序)可转化为排列问题。 例21. 从0，l，2，9中取出2个偶数数字，3个奇数数字，可构成多少个无反复数字的五位数? 分析：先选后排。此外还要考虑特殊元素0的选用。 （一）两个选

15、出的偶数含0，则有种。 （二）两个选出的偶数字不含0，则有种。 例22. 电梯有7位乘客，在10层楼房的每一层停留，如果三位乘客从同一层出去，此外两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，有多少种不同的下楼措施? 分析：（一）先把7位乘客提成3人，2人，一人，一人四组，有种。 （二）选择10层中的四层下楼有种。 共有种。 例23. 用数字0，1，2，3，4，5构成没有反复数字的四位数， (1)可构成多少个不同的四位数? (2)可构成多少个不同的四位偶数? (3)可构成多少个能被3整除的四位数? (4)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么? 分析：（1）有个。 （2

16、）分为两类：0在末位，则有种：0不在末位，则有种。 共+种。 （3）先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来，即先选 0，1，2，3 0，1，3，5 0，2，3，4 0，3，4，5 1，2，4，5 它们排列出来的数一定可以被3整除，再排列，有：4()+=96种。 （4）首位为1的有=60个。 前两位为20的有=12个。 前两位为21的有=12个。 因而第85项是前两位为23的最小数，即为2301。 7分组问题 例24. 6本不同的书 (1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法? (2) 提成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？ (3) 提成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？ (4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法? (5) 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法? 分析：（1）有中。 （2）即在（1）的基本上除去顺序，有种。 （3）有种。由于这是不平均分组，因而不涉及顺序。 （4）有种。同（3），因素是甲，乙，丙持有量拟定。 （5）有种。 例25. 6人分乘两辆不同的车，每车