复变函数7-8次作业答案

1、华 东 理 工 大 学（4 册班学任课教教学内容：4.14.21. 判别下列复数列的收敛性，若收敛，求其极限，其中n1ni (1) nnz in111n0，1z 收敛于nn1n 1 i(2)z (1)n ;nnzn 的实部(1) z nni )n 2(3) z ni252i 解：zn 华 东 理 工 大 学（4 册班学任课教教学内容：4.14.21. 判别下列复数列的收敛性，若收敛，求其极限，其中n1ni (1) nnz in111n0，1z 收敛于nn1n 1 i(2)z (1)n ;nnzn 的实部(1) z nni )n 2(3) z ni252i 解：zn 0limzn ),25(1)

2、incossin2i,2,2由i n2nniniin1n(65i);(6(65i) n 8n，而 )n 收敛，故88（3）。en eencosin ，n1 n1 n1 2n1 3. nz；nn(n解R (nn nn1(2)nz n（3）。en eencosin ，n1 n1 n1 2n1 3. nz；nn(n解R (nn nn1(2)nz n1R limlnin (3)(1i)nzn1112解R lim 2 2n1 22n2 a1lim 3，收敛半径为 32n22n annnzn2nan12lim an4. z1(1 z2212n 1111n 2 1 2 1 1n1 2n 1n1 1，即收敛半

3、径为 (2) sinh1 ez e12n 1111n 2 1 2 1 1n1 2n 1n1 1，即收敛半径为 (2) sinh1 ez e1zn 1n sinhz 22n!2z(3) sin1 z2解sin1 z2sin1cosz2 cos1sin 2n sin1 nn2n z展 zz0 zz221解zz12zz1 nn z112 z1n 23z 1，z1 2z(z1)(z2),z0 2zz1z 21zz11 1111 z1 z343zzzz111n 1n 23431n 1 zz 1，z1 2z(z1)(z2),z0 2zz1z 21zz11 1111 z1 z343zzzz111n 1n 2

4、3431n 1 zz231,z 0z1111解 z z11 1z 1nznzz1 14,z1i111i 1 z iz ii13z1in111n0 3nz1i13z 1i1z1i 13(5) sin2 z，z 0042z2n!121211cos2z sin2 z 22z2n!12 z(6) cosz2,z 0解：cosz2 1- 1 z4 z8 11 z2把下列各函数在指定的圆环域内展开成Laurent级数1,01,0z1 zz(1z)解：在01zn 1 1z1z2z2n!121211cos2z sin2 z 22z2n!12 z(6) cosz2,z 0解：cosz2 1- 1 z4 z8 1

5、1 z2把下列各函数在指定的圆环域内展开成Laurent级数1,01,0z1 zz(1z)解：在01zn 1 1z1z2 z 1z在0z1 11111 1 znnn2 z122z 1z1z12z(z2 1)(z111z2 1z 555z2 1z2 1z112 11zz111n 2 1n 1z2n5 10 n0 5 z 11n 1 2 1n 1 15 10 n0 551z2(z i 1解zi有两个奇点，z1 0，z2 i，所以以zi为中心的圆环域有0z1和1z1内，因 (1)n1nzn1, z在0zn1 n(z 11z2(z i 1解zi有两个奇点，z1 0，z2 i，所以以zi为中心的圆环域有

6、0z1和1z1内，因 (1)n1nzn1, z在0zn1 n(z 11 故 ziziii2(z i)(1在1zn1inzin111nz2zi zi3 izi1（4）e1z,1 z解：在1z 1 1 1 ，n0 1z1 1z n0 z1n1 所以e1 11 1 1 1 n0 n0 2!z24!z46z3. 把下列各函数在指定圆环域内展成Laurent级数,11z1(1) zzz解：由于sinz z（| z| n(2n1所以 1(2n1)!(z6于是sin 1 dz 1 dz 2i1z 6 zz 1z(z ,1z1 解(zz(z(z1)6 (z1)(z1)6 11z0z 6 z(z dz (z z 于是sin 1 dz 1 dz 2i1z 6 zz 1z(z ,1z1 解(zz(z(z1)6 (z1)(z1)6 11z0z 6 z(z dz (z z (3)ln(zi),2zzz111)ln(1) zzz2zi3zinziln(zi)dz dz zz 6 zz z1z04. 求函数z e1ez2 1z1z1(ez2 ez2 (1i)n(1z2ei n (1i)n 22 e