高中数学：希望杯竞赛试题详解(110题)

1、高中数学：希望杯竞赛试题详解（110题）题1 0 a b,x = y/a + b-瓜y =的一 J1一。，则的大小关系是 .(第十一届高二第一试第11题)解法 1 x = y/a + b-yb = -y=_疗,y = 47b_a=。yja + b + yjbyjb + yjb-a/ 0 yb + y1b-a,:. x b - a,：,一 1, x 0,;&i + b - y/b-a 0,; 0,/. x y.解法4原咨询题等价于比较4b + Vn 与2折的大小.由x2解法4原咨询题等价于比较4b + Vn 与2折的大小.由x2 + V N9产,得(y/a + b + y/b-a )2 2( +

2、 b + b-a) = 4b , y/a + b + y/b-a 2yb .y/a + b w y/b-a,:, y/a + b + y/b-a 2-7/?,/. x y.解法5如图1,在函数y = 6的图象上取三个不A ( b ci y/b - ci )、B (Z?, y/b )、C ( a + Z?, yjci + b ).由图象,明显有即y/a + b - 4b - y/b-a(a+ b)-b b-(b-a)即 y/a + b - 4b y/b - y/b - a ,亦即 x y.图1同的点解法 6 令/(f) = &i + t-&,-/ f(t) =单调递减,:.f(b)/b y/b

3、-y/b-a , .x0）.如图2,其渐近线为y = x.在双曲线上取两点A ( VF , yjb-a )、B ( y/b + a 9 y/b ).由图形，明显有心81,即史匹从而如图2,其渐近线为y = x.在双曲线上取两点A ( VF , yjb-a )、B ( y/b + a 9 y/b ).由图形，明显有心81,即史匹从而xy.4b-4b解法8如图3.在RtAABC中，NC为直角，BC二痴,AC=VF ， BD= V/?，为B 么 AB= &i + b ， DC=1b-a .在AABD 中，AB-AIXBD,即 + -AD VF,从而 y/ct + b -AD-DCX yb DC,即

4、y/a + b - yfb 0时，fa,bla/3 + V2 /2+101 1V3 + V2 V2+fxy .可再取两组专门值验证,都有xy.故答案为xvy.从逻辑上讲，取。=18=2,得.即使再取不管多少组值（也只能是有限组值）验证, 都得xy,也只能讲明或xNy作为答案是错误的，而不能讲明x），一定是正确的，因为这不能排除X=），的可能性.因此答案尽管正确，但解法是没有依照的.因此，假如将题目改 为选择题：0 a yB、x yC x = yD x bc,nsN,且一 + 一 之恒成立，那么的最大值为5d. ms ci-c a-c、a-c a-c解法1 原式 U-+ -n. n -+ -n.

5、 n 一 a-b b-c_a-b b-c=+八C, c + 叱2 +厘之4,且当a-bb-ca-b b-c号. - + - =4. /.n bc , :.a-b O,b-c 0,o-c 0 ,(-C)2(7-C)2(fl-c)2H r = 4,(a-b)(b-c)(a-b)(b-c) (a-b + b-cX2)77 c,知。一 0力一c 0,。一c0,(a - cj - 十 - = (a-b)+ (b- c)l i + J (1 + a-b b-c) a-b b-c) V即(4一c/!+ !=4 ,由题意， bc , .a-b0,b-c0,a-c0 . .二不等式可变形为11 (a-b)(b-

6、c) , 圮(a-b)(b-c)那么()一蹴父 M(鬻- ?f = 4,由题意，(4.应选C. (a- bb - c)(a- bj(b - c)解法5 v/?。.二0,40.因此 a-b b-c二十广匚之7Ft = .比较得4应选Ca-b b-c (a-b)+(b-c) a-c评析由,可得小+占卜亘成立.依照常识、,假设心小）恒成立,那么。 b c , 求证： 一+ - + -。 a-b b-c c-a证：令 a -b = x,b-c = y（x 0, y 0）,那么 a-c = x+ y .111111 x2 + y2+A?/.-+ -+= -+=/- x o, y o，a-b b-c c-

7、a x y x+ y xy（x+ y）a-b b-c c-a此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式，使得推证更简单了.运用这一思路， 又可得本赛题如下解法：设。一 = x,-c=y（x0,y 0）,那么。- c = x+y.-；- +!一 2一恒成立，确实 a-b b-c a-c是工+工之”恒成立.也确实是 （x+恒成立.丁 （x+旷/工+工之4恒成立，x y x+yI、 y）工 y）二.由题意得 4.应选C.再看一个运用这一思想解题的例子.例 设AceR-, 求证： + + + . b+c c+a a+b 2(第二届 友谊杯国际数学竞赛题)证明 设 + c = x,c + 0).a2 *

8、(砂-反a2 b2 (a + b)2x yx + y xyx + y)x yx+y.后产 。22( + 与 C?之(4 + +C_(4 + + C,+ + C ,即x y z x+ y z x+y + z 2(。+ b + c) 2屋 b2屋 b2十 +c2 a + b + cZ -2a2 b2 c本赛题还可直截了当由下面的命题得解.命题假设。4、本赛题还可直截了当由下面的命题得解.命题假设。4、0，那么一-+ - a. -a aA2 0，。1一42，。2-。3，一，氏-1一4都大于反复运用式,可得:、假设“R-(i = 12,)，那么之二1=1 )*/，当且仅当五=?12=工时取等/=1.故

9、有-+ -得:、假设“R-(i = 12,)，那么之二1=1 )*/，当且仅当五=?12=工时取等/=1.故有-+ - + +% d2 a2 。3也能够如此证明：,%一% 可(1 + 1+1(-一%+外一生+ 一+。-14 %一为 % . 4 0 ,。1一4，凡一见，4i一%0 .故由柯西不等式，得ClLa2 生一 生4-1一)()+(生 一%)+(牝-。)之(1+1+厅/(-1)个 1=( -1).， 即(- + - + +% a2 a2 一 的 /_】1 1 1+H1% 一% a2一% 七T 一 明由此可得本赛题的如下解法：(If,: ab c，:.a-b0,b-c0,a-c0 , - +

10、 -+ =.由题 a-b b-c a-b + b-c a-c意，77 4、 % 。、000同时7 = -同时7 = -一 + -一4 一出。,一 小 A一J+a Cl “2000u2001,n = 4xl06，那么m与的大小关系是A、m A、m nC m nD、m % 。3 解 q % 。3 。2000 生001， *- m N20002A、； (a + b)B、- y/a2 +b22C、a2+b27D、y/ab4 X 1()6.应选C.a aer2001题3设实数”满足7=。，x2 + y2 = b,那么，7?x+y的最大值为（第十一届高二培训题第5题）解法 1设？ = 4a cos a,”

11、 = y/asina, x = yfb cos p. y = yfb siii 0,那么忒 + ny = yabcosacos/3 + yfabsinasmp = y/abcos(a- J3) w2 + n2 = b, 乂/ + y2 = b, J(/mv + /v) = a aV cibny a-22+bny +-(/+Ij2)+，+ y2) + JL= g% + b=b.mx + ny -4= = yab,当且仅当 = x 且 J-n = y,即 niy = fix 时取等号，.(+ ny)m:lK = Jab.解法3(7X+= nrx2 + 2mxny + n2y2 nrx2 + nry

12、2 + n2x2 + n2y2=(M + 7/2 )(x2 + y?) = ab, nix + ny 4ab,当且仅当 rny = nx 时取等号，故(母+y)g = yfcib .解法4 设 =(7,)，4=(%,丁)，那么4=67(：0584，.4 Wpq ,即(蛆+y)Y(M +7c+力=44当且仅当p,q共线,即/取=依时取等号，故(5+)3=疝解法5假设设?x+y = &,那么直线 7x + )，=%与圆片+尸=匕有公共点，因此J 、 y/b , B|J k| = |/zlv+ny (/njc + ny)2 = |/nx+/?y| mx+ ny,:. mx+ ny 2 ,那么 /(X

13、) = tnX + x) +(nX + y) N0.故A = 4(/nr+ny)2 -4(m2 + n2)(x2 + y2)=4 (优+)- - 4ab 0,即 mx + ny = W，AO = |y|,A6 = /F为圆的直径，由托勒密定V.理，AC- BD+ BC- AD = AB CD4万,当且仅当D = x且ao时取等号./. （/nx + ny） = 4 .评析 解法1抓住条件式的结构特点，运用三角代换法，合情合理，自然流畅，也是解 决此类型咨询题的通法之一.解法2运用差不多不等式砧冶生将犹+），放大为关于加+,/与/ + y2的式子，再利用条件求出最大值.值得注意的是，稍不注意，就

14、会得出下面的错误解法:.nr + x2 n2 + y2 (厂 + -) + (r+ ) a + b /、a + b 产、出 他mx+ny+- =,.(tnx+ny) =.应选 A.错22222误的缘故就在于用差不多不等式求最值时未考虑等号能否取到.上述不等式取等号的条件是 且 =y，而假设，式同时取得，那么/ + ？ = V + y2,即。=这与题设矛盾！即当时，如+)，取不到解法2是幸免这种错误的有效方法.由于向量与复数的模的平方是平方和形式，与形式一致，故解法4与解法6分不运用了 构造向量与构造复数的方法，新颖而简洁.解法5设机式+町，=k后，将其看作动直线，利用该直线与定圆/ +)，？=

15、有公共点，那 么圆心到直线的距离小于等于半径，得出 = a + y（）=4, + -+- = 8 =+ g =8.由推广知 f+2后+34=向后 = 4立当且仅 当卷&=后4=存/衣=g即奴=勿=；时取等号.= 472.题4关于帆1的一切实数加，使不等式21-1?（犬-1）都成立的实数1的取值范畴是（第十三届高二培训题第63题）解法1题设等价于x2-l0解法1题设等价于x2-l021期I 厂一 1x2-l -x2-l = 02x-l0 x2-l0即（21或Ifxx2 -1 r-1X 1 0,因此 1 x 2或 VJ 1 x 0解法2 不等式即（丁-1）-（2x-l）0 ,令”7）= （/-1-

16、（2x-l）,那么当/ 一1工0,即x W1时，/(加)是用的一次函数，因为帆41 ,即一1K7Kl时不等式恒成立，因此/(?)在-15上的图象恒在卅轴的下方，故有JT)= -k + l - 2x + l,即/(I) = X- -1- 2x +1 0,解得小 1/2 (xwl).厂-2x 0乂当x = l时，/(?) = 一 1,适合题意，当工=一1时，/(初=3不合题意.故x的取值范畴是V3-lx2.评析 解决此题的关键是如何依照条件构建关于x的不等式或不等式组.解法1运用分离 参数法，为了达到分离参数的目的，又对/-1分大于0、小于0、等于。三类情形分不构建 关于x的不等式组，从而通过解不

17、等式组解决了咨询题.解法2那么转换思维角度，把不等式 看成关于加的不等式，从而将原咨询题转化为函数/(?) = (/在-U上的图 象恒在?轴下方的咨询题.这种方法称为变更主元法.用此方法，使得此题的解决显得既简捷， 又直观易明白.题5当0 x。时，不等式上 十 一二22恒成立，那么。的最大值是.A (4一刈-(第十一届高二培训题第45 题)解法1当0 xa时，二十上之2，又有0二二 十二122，+X2, x a-x厂(a -xy7. (a - xy crlax-x1cJ , a2 - (a-x)2、/ cr -6, -1 + -426, (a-x 厂 (4-x)- 7. (a - xy cr8

18、由7之 2,得0。(-)2,即与+之上，当且仅当 厂(ci- xy a 厂(q-x)- cr士之2恒成立, 尸(a- xyE=，且=，即x=-时取等号. x 士之2恒成立, 尸(a- xy2,06/2.1 1 解法3原不等式等价于1-（一了之1，由0犬0.由V 2x a-x两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值，可知只需一-1,即。（2即 X +（4 X）可，故02 BJ+ /+ 二一/ 22成立，乂.L+ /22恒片 （ci-xy 厂 伍一 x） J厂成立，/.。只要满足一二-x20就能使恒成立.由式，得x2（a-x）2lf （X）-X（4-X）1 ,+OY-1 0.由于对称轴X=色 （

19、0,4）,由二次函数的性质，当XE （0,4）时,2那么卜Wrf要式恒成立，那么二标一40. 0。2那么卜Wrf解法5设 =。05ay- = sin2 a 0 xa ) aa11. 4 4 11SUI 2a o G - 、c11 sui a + cos a 128 2 sin-2av (siii2v (siii2 2a+ 2) (siii2 2a 一a2 sni4 a a2 siii4 6zcos4 a a2 1 .a2 sin4 2asin 2a16N1 （当suJ 2。= 1时取等号），因此N1 （当suJ 2。= 1时取等号），因此11QQ+由，得r 2 2,00,丫0）,那么 x a-

20、x*2 +片22表示在乂。丫坐标系第一象限内以原点为圆V2为半径的圆及其外部.由X = 士丫 =，得x a-x4（戊丫 = 乂 +匕乂4%7 = 乂 + 丫之277,.乂丫2、,它表 cr曲线xy = ?位于第一象限内的一支及其上方部分.依 CT双曲线xv = 2（xo）与圆弧广+片=2（乂0, y0）Q或相离，从而二 2 2,即02 /. 6/max = 2. Q-解法7运用结论假如xQ”R+（i = l,2，,），那么9+石+军之 儿 K ”（+.、+ +）-（*）,当且仅当乙二七二 二义二& （常数）时取等号. .0工， %+ %+-+“乂 力 尤一工0.由柯西不等式，有（+）（上+ 二

21、）之（白+ L）?，由（*）得十 L之士. 厂（。- x）-x a-xx ci-x a故2（士+）之（与，得二十之上，当且仅当x = 3时取等号，由2之2,得% （a - xy a % （a - xy cr2cr 0a2 f/max = 2.解法8运用结论”若可/%,贝+!之止上，当且仅一生 %一%C*% %一%当巧,凡,成等差数列时取等号21 11T7厂(a - xy=2 N当巧,凡,成等差数列时取等号21 11T7厂(a - xy=2 Nu-or m-x)-1x-0 a-x)号.令1之2,(3 1尸-16a-0max1一+X=2.评析士 +二22恒成立，厂（a-xy一二之;，当且仅当x=a

22、 x,即x = q时取等（ci X）ci2(X尸22 .故咨询题的实质确实是求 mm与+的最小值（关于。的式子）大于等于2的解.因而在0 x。的条件下，如何求 X- （X）-二十 的最小值成了咨询题的关键.解法1运用 两个互为倒数的正数的和大于等于2”, X- （a-x）解法2运用配方再放缩，解法3运用均值不等式及 两个正数的平方平均值不小于它们的调 和平均值，解法5运用三角代换，解决了这一关键咨询题.解法4巧妙地将原咨询题转化为 一个含参（。）一元二次不等式恒成立，求参数的范畴咨询题，从而运用二次函数的性质解 决咨询题.解法6将原咨询题转化为解析几何咨询题处理.解法7、8那么是运用一些现成的

23、结 论（读者可自己证明），各种解法异彩纷呈，都值得细细品味.拓展此题可作如下推广：推广1假设0演羽一.%4,那么与+ J+4,当且 -XJ （4-&）-（4 Z-J- 4-仅当X,0,XT，4成等差数列时取等号.证明 由，0X 公xT 0，13 -40，”X.1 0 .依照柯西不等式及解法7运用的不等式（*）,有上+ J+ !r Xj Cg一演）- 伍一七1）二、（111 Y , J Y 4 痂 111、31七 占一用） a- XJ （4-3）-（。-片-】）-4-推广2假设0演 r2 - Cq -xj（.aXn-i）推广2假设0演 r2 - Cq -xj（.aXn-i）k证明不妨设4 =看,

24、凡=厂-工。=1,2,）且=凡令生=,i=iaMg + Mc, + Mc; （k + irfM?：A个j A+lu 01=11 L I那么q.=9j=l .由均值不等式，。+，gC：f A+l,即，+左诙;之（+ixa+A+,那么C；-。+W、之（八1）（4严.：1=1 Cii=lJ=1“小（邙产iz等之十r，当且仅当4= v1 “净）6b 广 b,”bHk 9 +. -+ + r/公（七1）题 6 /（x）=log；mex,0（0，与之 严,即cJ Z与之（严，=1 qz=i/=i %i=i工ab“. = 一时取等号.力21=1A +产/ 、.J sine + cosd）设”/2卜b = /

25、(Vsill-cos), c = f 泡丝_ ,那么、b、c的大小关系是 ()I sin 6 +cos 6 JA、a c b B、bc a C、c b a D、a bc (第八届高二第一试第10题)解法1设sind=p, cos去=q. 丁,而/(x)是减函数，叮用晌,即a叮用晌,即ab一幅工审pqJS + q)而2422应选D.sinB + cosdi 2 f (jsindcos夕) fsin 26、tsinO + cos。,评析 这是一个比较函数值大小的咨询题，通常利用函数的单调性.假设函数“X)单调递 增(减)，那么当时，f(xY) f(x2),当 X0 时，fM f(x2)(/(%)/

26、(%)因此解决咨询题的关键有两个：一是确定函数的单调性，二是确定自变量的 大小关系.解法1确实是如此解决咨询题的.因为正确答案应对一切oG f0,-1都正确，故乂能够运用专门值法.对0,-1内的某个角I 2jI 2J不正确的选择支差不多上错误的，由正确选择支的唯独性，也可选出正确答案.解法2便是取 专门值6 = 2,排除了 A、B、C、而选D的.6因此，此题也可用作差比较法来解：。(0，卜.sineEoj),./是单调减函数, 0, cos 0. 。一。= log心6log加e sin夕 cos，=sine + coslog 加 e /2log 汕81 = ，：.ab. Xb-c = log

27、Jsin - cos。-vsincos(第十一届高二培训题第(第十一届高二培训题第40题)(第十一届高二培训题第(第十一届高二培训题第40题), sin2d f Jsin cos f sin8 +cos 八 ，八 nn log 加 61% = log 2 6= log 加 6 c / . q c V log 加 6 1 = ，即sinB + cos。2sincosb2jsindcosBsind + cosBb c y :.abc.j&D.,不等式(I,不等式(IlogjiC尸 解原不等式即:(第三届高二第二试第13题) 一.指数函数(|j是减函数，。=2, .C尸 解原不等式即: -2 , B

28、J log JT7Tkgj石).又二对数函数log log JT -2 , BJ log JT7T即卜-1|2,解得-lx3. .对数函数log JT的定义域是xwl的实数，.原不等式的解 五是一 lvxl 或 1cx3.评析 此题涉及到指数不等式、对数不等式、绝对值不等式的解法.解指数不等式与对数 不等式的差不多方法是同底法，即先将不等式两边的指数式或对数式化成底数相同的指数式 或对数式，然后依照底数所属区间是(0,1)或(Lw),确定以该底数为底的指数函数或对数函 数的单调性，再去掉底数或对数符号，转化成不的不等式.要紧依据如下：(1H限设 0 4 1,那么g(x)；假设 41,那么 a/

29、(x) / O “X)v g(X)；假设 0 4 1,那么 log/ / (x) g (x) 0 ;假设 41,那么 log/( 0 / (x) 0,c0,且col);(化为指数式)。=logC ( c 0,且c W 1).(化为对数式)例如，2 = 3侬/将常数2化为3为底的指数式，2 = 1。83寸将常数2化为3为底的对数式. 解指数不等式不需检验，但解对数不等式必须保证解使得对数式有意义，这点常被忽略. 假设一个指数不等式的指数部分是对数式，常常采纳取对数法求解.例不等式(五广八的解集是.解两边取常用对数，得（怆五yigx,即-lgx6或x2 （D） x6或x2（D） x2答案(_8,2

30、u唱题8不等式之x+r的解集是0，实数1的取值范畴（用区间形式）是（第一届高二第一试第18题）（O,1）U（1O4,-hx）.应当指出，两边取对数后，不等号的方向变不变，关键看取的是什么底数.假如底数大于 1,那么不等号方向不变，假如底数大于0且小于1,那么不等号方向改变.关于绝对值不等式,要紧是依照绝对值的几何意义求解.以下结论应当明白得并熟记（为 常数）.X 0)的解集是(-,)；凶 a（a a（a 0）的解集是（-oo-d）U （,”）.以下题目供练习：常数夕,05），那么不等式（tan。产（coB）r的解集是.（第八届高二第一试第16题）2假设函数/（x）=（log251 log的定义

31、域是不等式2 log1 x +71og X+3V0的解集,那么/（X）的最小值二；最大值二（第十届高二第一试第23题）不等式log2x logx2的解集是 + X+ AT不等式|而- 3| 1的解是)2(A) x 不等式|而- 3| 1的解是)2(A) x 6或一6(4)A解法1由= x+t两边平方并整理得2 + 2d+尸-1 = 0,此方程无实根,故 = 4r -8（r2 -1）= -4r2 + 8 2.又fo,故填（四,”）.解法2作出函数)，=71=F的图象(即图半圆)及函数y = x + f的图象(即图中斜率为1的 系).由题意,直线应在半圆的上方，由图象可知直 y = x + f在y

32、轴上的截距/V2 .故填(J5,+co).解法3由1一/ NO,得-IKxKl.故设中的：siii-cos = V2siii-，又（夕717t 344T.（sm-cos） e-1,/2.由题意得X = COS0 , 0中的：siii-cos = V2siii-，又（夕717t 344T.（sm-cos） e-1,/2.由题意得rV2.故填(*o).评析这是一道包蕴着丰富数学思想方法的好题.解法1、2、3分不运用方程思想、数 形结合思想、化归转换思想,从不同的角度解决了咨询题,表达了这道题的丰富内涵.解法2 揭示了此题的几何背景.解法3的依据是:不等式正，之x + f的解集是0等价于不等式=笆7

33、恒成立.有人认为不等式Vl3京之x + f的解集是0等价于不等式” 疟？一有解,这种观点是错误的.事实上，/ =时,不等式71二F-x就有解(比如 2x = |确实是其一个解)，而/ = g时,不等式庐7之X+ f即X+1的解集却不是0 (比如。确实是它的一个解).拓展通过上面的分析,并作进一步的研究,我们便有下面的结论/为参数，/(x)的值域是名句.假设Y/(X)恒成立,那么Y4.(2)假设年/(x)恒成立,那么壮.假设f b.(4)假设t f(x)的解集是0,那么t瓜+t的解集是0,那么实数f的取值范畴是.不等式的解集是0，那么实数/的取值范畴是.不等式JT7之gx+才有解，那么实数1的取

34、值范畴是.不等式有解，那么实数r的取值范畴是.不等式JI二7/丫+亘成立，那么实数f的取值范畴是.不等式恒成立，那么实数，的取值范畴是.答案 1. (2,4-00) 2. (0，3. -题答案 1. (2,4-00) 2. (0，3. -题9不等式工一2-/一4戈+ 320的解集是限产学M(3 + V51 B + V5 n H22LzL解法1当/ 一 4x + 3N0,即xKl或工23时，x2 - 5x + 5 0, 解得 x 3 x -22当V-4x+30,即KK3时，原不等式确实是无,3-逐7、3 +6 3+邪/,x 或 x 2，二 x 0,即5 + V5*2-2 + x2-4x + 30

35、,即/一 3x + 1N0,解得昔叵，苫叵应选A.（第十一届高二培训题第（第十一届高二培训题第41题）解法2如图，作函数=工一解法2如图，作函数=工一2和 =x2-41- + 3的图象.要求的解集确实是兑 尢，即儿y =时,式的在以上方时x的区间，即图中线段AB上的点所对应的横坐标所组成的区间以,4y =时,式的又 y2 = x2 - 4.r + 3 = （x - 2）。-，当 2cx 3% =1- （1一2）2.由1一（工一2=七一2可解得乙 =.当x 3时，% =（x - 2尸一 1,由 2（12）21 = %-2可解得小=苫旺，.所求不等解集为七*，*T|,应选A.22解法3同解法2画出图形后，可知解集为一个闭区