与圆有关的比例线段2-完整版获奖课件

1、相交弦、切割线、切线长定理2.5 与圆有关的比例线段1圆周角定理(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 (2)圆心角定理圆心角的度数等于 推论1同弧或等弧所对的圆周角；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也推论2半圆(或直径)所对的圆周角是；90的圆周角所对的弦是一半它所对弧的度数相等相等直角直径2圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1圆的内接四边形的对角 定理2圆内接四边形的外角等于它的内角的(2)判定判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点 推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点互补对角共圆共圆3圆的切线的性质及判定定

2、理(1)性质性质定理圆的切线垂直于经过切点的 推论1经过圆心且垂直于切线的直线必过 推论2经过切点且垂直于切线的直线必(2)判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 4弦切角的性质定理弦切角等于它所夹的弧所对的 半径切点圆心切线圆周角1.如图，AC是O的弦，BD切O于C，则图中弦切角有 个.4若AOC=1200,则 ACD = .OBDAC6002.如图，直线MN切O于C，AB是O的直径,若 BCM=400,则 ABC等于（ ）A.400 B. 500 C. 450 D.600MCNBAO3.已知O是ABC的内切圆,D,E,F为切点,若 A: B: C=4:3:2, 则DEF =

3、, FEC= .B500700练习：ACD, ACB, OCD, OCB.ABFEDCA=800,B=600,C=400.ODOF=1000, DEF=500 .C=400,CE=CF. FEC=700 .一、下面我们首先沿用从特殊到一般的思路,讨论与圆有关的相交弦的问题.探究1:如图1,AB是O的直径,CDAB,AB与CD相交于P,线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系？OBDACP图1证明:连接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得:AC.RtAPDRtCPB.探究2:将图中的AB向上（或向下）平移,使AB不再是直径（如图），结论（）还成立吗？OBDACP图OBDACP图PAPB=PCPD

4、(1)证明:连接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得:AC.RtAPDRtCPB.OBDACP图PAPB=PCPD(1)证明:连接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得:AC.APDCPB.探究3:上面讨论了CDAB的情形进一步地,如果CD 与AB不垂直，如图, AB 、CD是圆内的任意两条相交弦,结论（）还成立吗？OBDACP图OBDACP图PAPB=PCPD(2)PAPB=PCPD(3)综上所述，不论AB 、 CD具有什么样的位置，都有结论（）成立！相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.OBDACP几何语言： AB 、 CD是圆内的任意两条相交弦,交点为P, PAPB

5、=PCPD.上面通过考察相交弦交角变化中有关线段的关系，得出相交弦定理.下面从新的角度考察与圆有关的比例线段探究4:使圆的两条弦的交点从圆内（图）运动到圆上（图），再到圆外（图），结论(1)还成立吗？OBDACP图3OBA(C,P)D图4OBDACP图5当点P在圆上,PA=PC=0,所以PAPB=PCPD=0仍成立.当点P在圆外,连接AD、BC,容易证明:PADPCB,所以PA:PC=PD:PB,即PAPB=PCPD仍成立.如图,已知点P为O外一点,割线PBA、PDC分别交O于A、B和C、D. 求证:PAPB=PCPD.证法2：连接AC、BD，四边形ABDC为O 的内接四边形, PDB= A，

6、又 P=P, PBD PCA. PD ：PA=PB ：PC. PAPB=PCPD.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.应用格式（几何语言描述）:PAB,PCD是O 的割线, PAPB=PCPD.OCPADB点P从圆内移动到圆外PAPB=PCPDOBDACP图3PAPB=PCPD图5OCPADBOA(B)PCD使割线PB绕P点运动到切线的位置，是否还有PAPB=PCPD？探究5:使割线PB绕点P运动到切线位置,结论(1)还成立吗？如图,已知点P为O外一点，PA切O于点A，割线PCD 交O于C、D. 求证：PA2=PCPD.证明：连接AC、AD，

7、PA切O于点A,D= PAC.又 P=P, PAC PDA. PA ：PD=PC ：PA. PA2= PCPD.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和条割线,切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项.应用格式（几何语言描述）:PA是O 的切线,PCD是O 的割线, PA=PCPD.ODPCA点P从圆内移动到圆外.相交弦定理PAPB=PCPDOBDACP图3割线定理PAPB=PCPD图5OCPADB使割线PA绕P点运动到切线的位置.OA(B)PCD切割线定理PA2=PCPD使割线PC绕P点也运动到切线的位置.切线长定理PA=PC,APO=CPOOA(B)PC(D)探究6:使割线PD绕点P运

8、动到切线位置，结论(1)还成立吗？易证RtOAPRtOCP. PA=PCA(B)POC(D)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.应用格式（几何语言描述）:PA、 PC是O 的切线, PA=PC,APO=CPO.思考：从这几个定理的结论里大家能发现什么共同点？1.结论都为乘积式;2.几条线段都是从同一点出发;3.都是通过三角形相似来证明（都隐含着三角形相似）.PC切O于点C = PAPB=PC切割线定理OBPCA割线PCD、PAB交O于点C、D和A、B = PAPB=PCPD割线定理OBCADPAB交CD于点P = PAPB=PCPD相交

9、弦定理OBPCADPA 、PC分别切O于点A 、C = PA=PC,APO=CPO切线长定理OA(B)PC(D)另外，从全等角度可以得到：2.联系直角三角形中的射影定理，你还能想到什么？ADCBCO说明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割线定理”的特例！BADC例1.圆内的两条弦AB,CD交于圆内一点P,已知PA=PB=4.PC= 1/4 PD,求CD的长. CDABP解:设CD=x,则PD= ,PC=由相交弦定理,得PAPB=PCPD44= 求得 x=10,CD=10练习1.如图,割线PAB,PCD分别交圆于A,B和C,D.(1)已知PA=5,PB=8,PC=4,则PD= ,PT=(2)已

10、知PA=5,PB=8,PO=7,则半径R=103ODPATBCPAPB=(7-R) (7+R)练习2.如图：过点A作O的两条割线,分别交O于B、C和D、E. 已知AD=4,DE=2, CE=5,AB=BC. 求AB、BD.OAECDB例2 如图,E是圆内两弦AB和CD的交点，直线EF/CB,交AD的延长线于点F，FG切圆于点G.求证：(1) DFEEFA; (2)EF=FG.OBECADFG证明： (1)EF/CB, DEF=DCB.DCB和DAB都是 上的圆周角.DAB =DCB=DEF.DFE=EFA（公共角）, DFEEFA.(2)由(1)知 DFEEFA，EF2 =FAFD.又FG是圆

11、的切线，FG2 =FAFD.EF2 =FG2 ,即FG=EF.例3.如图,两圆相交于A,B两点,P是两圆公共弦AB上的任一点,从P引两圆的切线PC,PD.求证:PC=PDPABDC析：PC=PAPB又PD=PAPBPC= PDPC=PD例4.如图,AB是O的直径,过A,B引两条弦AD和BE,相交于点C,求证:ACAD+BCBE=AB.ABDECOF分析:A,F,C.E四点共圆BCBE=BFBA.F,B,D,C四点共圆ACAD=AFAB.ACAD+BCBE=AFAB+BFBA =AB(AF+BF)=AB练习3.如图,A是O上一点,过A切线交直径CB的延长线于点P,ADBC，D为垂足.求证：PB

12、:PD=PO:PC.分析：要证明PB ：PD=PO ：PC ,很明显PB、PD、PO、PC在同一直线上无法直接用相似证明，且在圆里的比例线段通常化为乘积式来证明,所以可以通过证明PB PC=PD PO,而由切割线定理有PA2=PB PC,只需再证PA2=PD PO，而PA为切线,所以连接OA,由射影定理 得到.例5如图，AB、AC是O的切线，ADE是O的割线，连接CD、BD 、BE 、CE.问题1:由上述条件能推出哪些结论？ CD:CE=AC:AE, CDAE=ACCE. (2)同理可证BDAE=ACCE. (3)AC=AB,由(2)(3)可得BECD=BDCE. (4)探究1:由已知条件可知

13、ACD=AEC,而CAD=EAC,ADCACE. (1)CAOBED图1问题2 在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中EC交圆于G,DC交圆于F.此时又能推出哪些结论？CAOBED图1CAOBED图2GF探究2:连接FG.与探究1所得到的结论相比较,可以猜想ACDAEC.下面给出证明.AB2=ADAE,而AB=AC, ADCACE. (5)而CAD=EAC, AC2=ADAE,同探究1的思路，还可得到探究1得出的结论(2)(3)(4).另一方面，由于F、G、E、D四点共圆. CFG=AEC.又ACF=AEC.CFG=ACF.故FG/AC. (6)你还能推出其他结论吗？问题3 在图2中,使

14、线段AC继续绕A旋转，使割线CFD变成切线CD,得到图3. 此时又能推出哪些结论？探究3:可以推出探究1、2中得到的(1)(6)的所有结论.CAOBED图2GFCAOBED图3PQG此外，AC/DG. ADCACE. 由(7)(8)两式可得：ACCD=AECG. (9)连接BD、BE,延长GC到P,延长BD交AC于Q,则PCQ=PGD =DBE,所以C、E、B、Q四点共圆. (10) 你还能推出其他结论吗？习题2.55.如图, O与O相交与点A,B.PQ是O的切线,求证:PN=NMNQQNPOOABM6.如图,PA是O的切线, M是PA的中点,求证:MPB=MCPMA=MBMC=PMMBPPM

15、CMPB=MCPAPCBMO思路：习题2.5习题2.57.如图, AD,BE,CF分别是ABC三边的高,H是垂心,AD延长线交ABC外接圆于点G, 求证:DH=DGACEGBFHD132AECDPBFO习题2.58.如图,O直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P,AE=AC. 求证:PFPO=PAPB12POCPDFPFPO=PDPC又PDPC=PBPAPFPO=PBPA思路：习题2.5 9.将例5的图(1)作如下变化:以A为中心,把线段AC绕A逆时针旋转一个角度,连接EC并延长与圆相交于F,连接DC并延长与圆相交于G,连接FG,其他条件同例5,能推出哪些结论?如果BAD= CAD,又有什么结论?BAECOD图BAECODFG习题2.5 9题 将例5的图(1)作如下变化:以A为中心,把线段AC绕A逆时针旋转一个角度,连接EC并延长与圆相交于F,连接DC并延长与圆相交于G,连接FG,其他条件同例5,你能推出哪些结论?如果BAD= CAD,又有什么结论?BAECODFGAB=ADAE CFCE=CDCG AC=ADAE AC=ABCAD= EAC, ADC