圆的标准方程【市一等奖】-完整版获奖课件

1、圆的标准方程一 圆的标准方程 平面内到一个定点的距离等于定长的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径。求以C(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程. 设M(x，y)是C上任意一点，点C在C上的条件是|CM|=r.也就是说，如果点M在C上，则|CM|=r,反之如果|CM|=r，则点M在圆C上。 由两点间的距离公式，所说的条件转化为方程表示 两边平方得(xa)2+(yb)2=r2.注意以下三点：1已知圆心C(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为(xa)2+(yb)2=r2.2当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为x2+y2=r2.3圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径.二点与圆的位置关系 给出点M

2、1(x1，y1)和圆C：(xa)2+(yb)2=r2，通过比较点到圆心的距离和半径r的大小关系，得到：（1）若点M1在圆C上，则有(x1a)2+(y1b)2=r2；（2）若点M1在圆C外，则有(x1a)2+(y1b)2r2； （3）若点M1在圆C内，则有(x1a)2+(y1b)2r2. 三确定圆的方程的方法和步骤1圆的标准方程中含有三个参变数，必须具备三个独立的条件；才能定出一个圆的方程，当已知曲线为圆时，一般采用待定系数法求圆的方程。2求圆的标准方程的一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(xa)2+(yb)2=r2；（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；（3）解此方程

3、组，求出a、b、r的值；（4）将所得的a、b、r的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的标准方程.例1 求以C（3,5）为圆心且经过原点的圆的方程。例2根据下列条件，求圆的方程： （1）圆心在点C(2，1)，并过点A(2，2)； （2）圆心在点C(1，3)，并与直线3x4y6=0相切； （3）过点(0，1)和点(2，1)，半径为 .解：（1）所求圆的半径r=|CA|=5，因为圆心在点C(2，1)，所以所求圆的方程为(x+2)2+(y1)2=25.（2）圆心在点C(1，3)，并与直线3x4y6=0相切；解：（2）因为直线3x4y6=0是所求圆的切线，所以圆心到这条直线的距离等于半径， 根据点到

4、直线的距离公式，得 所以所求圆的方程是(x1)2+(y3)2=9.（3）过点(0，1)和点(2，1)，半径为 .解：（3）设圆心坐标为(a，b)，则圆的方程为(xa)2+(yb)2=5.已知圆过点(0，1)和点(2，1)，代入圆的方程得 解得 或因此所求圆的方程为(x1)2+(y+1)2=5或(x1)2+(y3)2=5。例3求过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在直线l：2x7y+8=0上的圆的方程。解法1. 直线AB的斜率k=1，所以AB的垂直平分线m的斜率为1， AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x= ，y= .因此直线m的方程为y =x ，即xy1=0.又圆心在直线l上，所以圆心是直线l

5、与直线m的交点，解联立方程组 得 所以圆心的坐标是C(3，2)，半径r=|CA|= ，所以圆的方程是(x3)2+(y2)2=13.解法2. 设所求的圆的方程为(xa)2+(yb)2=r2，由题意得解得 所以圆的方程是(x3)2+(y2)2=13.例4赵州桥的跨度是37.02m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆方程。解：如图，以AB的中点为原点，x轴通过AB建立直角坐标系。根据已知条件，B，C的坐标分别为(18.51，0)，(0，7.2)，设圆心的坐标为(0，b)，则圆的方程为x2+(yb)2=r2， 因为B，C都在圆上，所以它们的坐标满足这个方程，于是得到方程组 解得 因此拱圆方程为x2

6、+(y+20.19)2=750.21. 赵州桥坐落在河北省赵县洨河上。建于隋代（公元581618年）大业年间（公元605618年），由著名匠师李春设计和建造，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完善的古代敞肩石拱桥。1961年被国务院列为第一批全国重点文物保护单位。因赵州桥是重点文物，通车易造成损坏，所以不能通车。例5已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程，并判断M(6，9)和N(5，3)是在圆上、圆外，还是在圆内?解：由已知得圆心坐标为C(5，6)，半径r的平方为r2=10所以圆的方程为(x5)2+(y6)2=10， 将M，N点的坐标代入方程

7、得(65)2+(96)2=10，(55)2+(36)210,所以点M在圆上，点N在圆内.练习题：1圆(x1)2+(y+1)2=2的周长是（ ） （A） （B）2 （C）2 （D）4C2圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是（ ）（A）x2+y2=25 （B）x2+y2=5 （C）(x3)2+(y4)2=25， （D）(x+3)2+(y+4)2=25，C3已知圆心在P(2，3)并且与y轴相切，则该圆的方程是（ ）（A）(x2)2+(y+3)2=4 （B）(x+2)2+(y3)2=4 （C）(x2)2+(y+3)2=9 （D）(x+2)2+(y3)2=9B4过点A(1，1)，B(5，6)且圆心在直线x+y2=0上的圆的方程为（ ）（A）(x3)2+(y+1)2=4 （B）(x+3)2+(y1)2=4 （C）(x1)2+(y1)2=4 （D）(x+1)2+(y+1)2=4C