寒假自招班-第3讲.空间向量在立体几何中的应用教师版

1、第 3 讲 空间向量在立几何7几何 6 级几何5空间向量几何在近五卷（理）考查14第 3 讲 空间向量在立几何7几何 6 级几何5空间向量几何在近五卷（理）考查14ABC2007 2008 2009 2010年（新课标 16 14A到平面的距离，可设平面的法向量为nB AB点到平面的距离为 n A到平面的距离，可设平面的法向量为nB AB点到平面的距离为 n l1 l2 （或l1 与l2 重合）v1 v2 l 或l x，y，使v xm yn111（其中m，n为平面内的两个不共线的向量）或者 v1 n1面面的平行关系： （ 重合） n1 n2 l l v v v v 0（为l ，l 的夹角，0c

2、os 2l1 v1 n1 cossinv ，n（ 为l 与平面 012 n1 n2 n1 n2 0 0，（ 为平面 平行垂直问如果向量n的基线与平面 垂直，则向量n就称为平面 的法向量AnAM n 0M A且与向量n AM n 0 称为该平面的向量表示式考点平面的法向16】ABC平行垂直问如果向量n的基线与平面 垂直，则向量n就称为平面 的法向量AnAM n 0M A且与向量n AM n 0 称为该平面的向量表示式考点平面的法向16】ABC 则有nABx，y，z2，1，32xy3z0， 【2x y 3z x y z 由x3y 2z 3 当 x2 y2 z2 1时 x y z 3 3故平面， 或

3、 3333 1) m 2mn则m3n4，解得577，即a ABAC773m2nn aABC或者由 n 0 ， ABC 考点空间向量解决平行垂直问【例2ABCA1B1C1ABCBAC90ABAA1 1D、E、F B1A、C1C 、BCDEABCB1F AEF A1EM，NAB，ACBNCM MN 11【BCF 12DAF11 2 21 10 2 1DE AB AC2DE ABAC DEABCE（AA ABCDE AA 1DEABC1BCF1 11F11 2 21 10 2 1DE AB AC2DE ABAC DEABCE（AA ABCDE AA 1DEABC1BCF1 111yxB1F ，1，E

4、F ，AF ，02 22 B1FEF 0B1FAF 0B1F EF B1F B1F EF B1F AF EF AF F B1FAEF B1NC1M ab10ab1，而abMN a2 b2 ab 2222 2MN A1EEP又BPABCDE ABCDEABCABC F BC的中点，BC AF 又B1B AF B1B BC B ，AF B1BF B1FB1BF ，AF B1F ECBF339P设AB AAa，则BF a ，222a ，BE a 222111244BF2EF2 BE2BF FEAF EF F BF AEF 1111ABC ABC AB 1AA aEF FA11 1 13BEa，CF

5、2aAEF ACF BB 的空间直角坐标系 C xyz ，则【C 为坐标原点，建立 B0 Ea a，C0，0， ， CABz2aAE ，a ，AF 0a，2a ，F2设平面AEF 的法向量为n x，y，zyECABxEDADAn AEn AF anAE 0nAF 0得xyaz 0 2 x 0解得y z 1y 2平面AEF 的一个法向量为n n AEn AF anAE 0nAF 0得xyaz 0 2 x 0解得y z 1y 2平面AEF 的一个法向量为n 0，2，1由题意可知，平面ACF 的一个法向量为m 1，0，0mn0，AEF ACF 角度距离问设直线l1 、l2 的方向向量分别是v1 、v

6、2 ，平面 、 的法向量是n1 n2 所成的角为 ，则 设l 和，2 cos ； 设l 和 所成的角为 ，则0 12 2cosv12 sin v1 ；设 所成的角为 ，则 0，根据方向向量的不同，可以得到 ； 与线线角和线面角有所区别的是，求二面角的余弦值cos n1 简单判断一下二面角是否为钝角，才能知道cos 的符号P是平面 P在 上的射影为QR为 n是 的任意一个法PR cosQPR nRP n RP cos n，RP n ；nn，RP QPR或 n，RP 180QPR， 考点空间向量几何中的应 n ；nn，RP QPR或 n，RP 180QPR， 考点空间向量几何中的应 BAD 90A

7、CDCAB(AB AD 【】 2ABAD2ABAA2AD42 32 52 243cos90245cos60235cos1692502015AC 求OABCOCAB】BC AC AB【cos OAOA OABC OAACOAAB OA AB cos OA84cos13586cos1202416 cos OA，BC OA2416 32 OA ，85OABC32 P5【例4）P ABCDPAABCDABCD是菱AB 2，BAD 60DBDPAC ACPA ABPBAC PBC PDC PAB【】AC BD PAABCDPA BD BDPACAC BD O 因为BAD60PA AB2BO1AOCO3如

8、图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系OxyzPz 【】AC BD PAABCDPA BD BDPACAC BD O 因为BAD60PA AB2BO1AOCO3如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系OxyzPz 2 ，AC 0，2 3PB 13PBAC所成角为 PB66 4cos 2 2A3由BC B1，3x 设平面PBC 的法向量mx，y，z，则BCm0，BPm0 x 3yx 3ytz y 3x3，z 6 t6m3，3，t 6PDC 的法向量n 33t PBC PDC 所以mn0，即93 36 0t 6 tPA 6 ABCDABCACDAB BC ADCDCAD30AD2AB2BCABCD

9、若二面角C ABD为60ADBCDACB】F AC ADCDDF AC ABC ACD DF ABC ，DFABCDABCDF ADsin301AF ADcos30 3在RtABC AC 2AF 2 3 ，【DAB2BCBC 2 15，AB 15 D55G故四面体ABCD 的体V 如图，设G，H分别为边CDBD的中点，FGAD，GH BC ，从而FGH ADBCACFHEBEABEFBC AB BC EF ABDF ABC，DE AB所以DEF 为二面角C AB D 的平面角，由题设知DEF 60ADaDF ADsin30 a 2RtDEF EF DFcotDEF a3AB2BCBC 2 15

10、，AB 15 D55G故四面体ABCD 的体V 如图，设G，H分别为边CDBD的中点，FGAD，GH BC ，从而FGH ADBCACFHEBEABEFBC AB BC EF ABDF ABC，DE AB所以DEF 为二面角C AB D 的平面角，由题设知DEF 60ADaDF ADsin30 a 2RtDEF EF DFcotDEF a3 3a，从而GH 1BC EF 3a26RtBDF FH 1BD a RtADE RtBDE22FG 1 AD a ，从而在FGH FG FH 2cosFGH 23 ADBC3 6F FM AC ABM 不 妨 设 AD2 ， 由 已 知 条 件 易 知 点

11、 A，C，D 的 坐 标 分 1) 1) 显然向量k 0，01) ABC的法向量别为：已知二面角C ABD为60ABD60z 1，由n AD3 63y z 0y 2x 6 16 3x2 y2 z2 1n，32 x6x2 y2 ，解之得，y 3633x3 y)y 69zD1633n24 因此点B的坐标为9 CA9y62 MCBxB99 2 33 从而cosAD，CB9AD36 ，2623239936ADBC【例5（2011福建PABCDPAABCD 2 33 从而cosAD，CB9AD36 ，2623239936ADBC【例5（2011福建PABCDPAABCDABCDABADAB AD4CD

12、2，CDA45PABPADAB AP若直线PB 与平面PCD 所成的角为30 ，求线段AB 的长 PADCB【PAABCDACABCDPA ABABABPADA AD ABPABPABAPDAAxyz（如图在平面ABCD内，作CEABAD于点E ，则CE AD 在RtCDE中DECDcos451CE CDsin45 1， x y zPnCD n PD ，得(4tytz 取 xt 面的一个法向量DEAyPB (t，0，t故由直线PB与平面PCD所的角为30 ，CB 2t2n 2xcos60 t2 t2 (4t)2 2tn解得t 4 （t 4AD4t 0AB 4 55假 设G0，m，0（其中0m4

13、t ，得设G0，m，0（其中0m4t ，得(4tm)2 12 3tm)2，得(4tm)2 m2 t2由上述两式消去t，化简得m23m40，此方程无实数根，所以个点G ，使得点G P，C，D的距离都相等AD 由GC GD，得GDC 45从而CGD90，即CG AD，GDCDsin45ABt AD4t AG ADGD3t22t 31，这与GBGD 在RtABG 中，GB AB2 AG2 t2 (3t)2 2所 1 BCABC图A图 CC1BC，CC1 AC即ACBA1 CC1 BACB90BC AC 【CA CB CC1 两两垂直ABF DF EF 1DF 1BBDF C EBC1 12DFEC1

14、 是平行四边形 A以点C为原点，分别以CACBCC1 xyzDEFDEAB2AA1 4DEA1B1CC1 z 11B1D E设AB2AA1 4DEA1B1CC1 z 11B1D E设平面A1BE 的法向量为n (x，y，z) nAB 02x2y2z C，By12y z Ax又C1D A1BE ，C1DA1BE 又由A1BE 的法向量为n (1，1，2) n23 6sin cosn，BC 12 2 n 3 6BC ABE11【例6）ABCDA1B1C1D1 EAB:AD:AA11:2:4EFA1DAF A1EDA1EDFzBC CC1CF AB 2CE FDAyDBxCEBCE】解法1建AB1，

15、由CF AB2CEABADAA1 1:24AD 2，AA 4，CF 1，CE 1 123，121 EF 02FA00 121 EF 3于是cos EF，AD 15A102 12 02 22 212由于异面直线所成的角的范围是 0， EF AD所成角的余弦值为 3125 310 1 22AF00 121 EF 3于是cos EF，AD 15A102 12 02 22 212由于异面直线所成的角的范围是 0， EF AD所成角的余弦值为 3125 310 1 22AFEA1 0AFED0AFEA1 AF EDEA1 EDE，AF A1ED 1 yz uEF 2EFD的法向量u x，y，z 即1 x

16、y 2u由可知AF 为平面A1ED的一个法向量，又AF 1，2，12u 4 2，从而sin u125 3所以cos u，AF 36 3 5 3A EDF1AB1AD 2，AA 4，CF 1，CE 1 12 EFBC 1所以BMCEFA1DBM CM 1BC 1 22 42 5122BM2 CM2 BC3所以由余弦定理有cosBMC52BM D3EF AD所成的角的余弦值为 5B1NCEACAC DE NCD CE 1 RtDCERtCBA从而CDE BCA又由于CDECED90，所以BCACED90AC DE又因为CC1 DE，且CC1 AC C DEACF AF DEBF BC1 ABF A

17、F B1C AF A1DAFDEAFA1DDEA1DDAF A1EDA1N ，FN 由DE ACF 因此A1NF A1 ED F 的平面角易知 ERtCBA，则CN EC ，又AC 5，所以CN 5 5FAMu 在 F中，NF CF2 CN2 30 在RtAAN中，AN 4 30 AN2 A11155连接AC ，AF，在RtAC F 中，AF AC2 C F2 14 1 1 11 AN2FN2 AF25在ANF cosA在 F中，NF CF2 CN2 30 在RtAAN中，AN 4 30 AN2 A11155连接AC ，AF，在RtAC F 中，AF AC2 C F2 14 1 1 11 AN

18、2FN2 AF25在ANF cosANF ，所以sinANF 112AN13315 3A EDF11（2008 PAPBC PACBABPCPOAB于点OPABABC【过点OBCACD yzPAPB 6PAPBzPAB2 3，POBO AOBCABtan302 3 OAByMDCxB033， PA 0 3 PABC0PABC又PA PB，PAPBC作OM ACM PM PO ABC，PO AC ；加上OM AC，AC POM ；AC PM ，AC OM 在RtAMOOMAOsin30 AO 3 2234，0，从而MO44 ，0，MP44 3M45 5 MOMO5 53，0 ，PC 2，3，-

19、3，AB 0AB30 AB，PC 异面直线AB和PC所成角的余弦值2PABCDPAABCDABCDPAAD2EF ADPCEF PBPCE PBC3，0 ，PC 2，3，- 3，AB 0AB30 AB，PC 异面直线AB和PC所成角的余弦值2PABCDPAABCDABCDPAAD2EF ADPCEF PBPCE PBC E PC DABxADyAPz【 121cos EF ，PB 0，11 4 EF，PB 90EFPB所成角的大小为90由EF PB ， EFBC 0EF BC又BCPB B，EF PBC EF PCE ，PCE PBC DDH PC H RtPDCPD2 2 DC 2PC zP

20、FEAHBxC3 则CH 3H4， ， ，DH ， 422233232DH，EF ，2 6 23 DH，EF 30EPCD的大小为30PCEPCD的一个法向量分别是mx1，y1，z1nx2 ，y2 ，z2 PEm0 y12z10 EFm0 z 0 则2y 2z 0PDn0 2x DCn 023cos m，n 14112m，n 30，EPC D的大小为30【例7P ABCDABCDPAABCDPA AD4AB 2AC 的中点OAC PD23cos m，n 14112m，n 30，EPC D的大小为30【例7P ABCDABCDPAABCDPA AD4AB 2AC 的中点OAC PDM PC N

21、ABM PCD求直线CDACM 所成的角的正弦值；N ACM 的距离PMNADOCB【】ACAM MC 又PAABCD，PACD，又CD AD，CD PAD ，CD AM ，AM PCDABM PCD zPMN的一个法向量nx，y，zA2x4y Dyn AC n ：2y2z 0OCB x CD6 3设所求角为 ，则sin CD 6 3由条，AN NC在RtPAC 中PN 8 PA2 3NC PC PN 10NC 5 PACM 5PACM 距离为h9 AP 6 5h6 h n3x，y，1nAB且nACnAB0，且nAC0【2x2y10 xx，y，1nAB且nACnAB0，且nAC0【2x2y10

22、 x 1即 1n 1法向量n 即n2304x5y303y【演练2】（2009辽宁 ）】Dz【A为原点AB，AD，AA1 所在直线分x，y，z坐标轴立的空间直线坐标系，设正方体边长为1 的方向向量分别CD1 1，0则直线 CD1 ，y 10C3Bx2两直线所成的角为90 ，故选【演练3】（2009浙江理PACABCABC AC EF ，OPAPBACAC 16PA PC 10 设G 是OC FGBOE 证明：在ABO内存在一点M FM BOE，并求点M 到OAOBPEFGAOCB【】如图，连结OP，以点O为坐标原点，分别以OBOC OPxyz轴，建立空间直角坐标系OxyzzPEFGAOCyBxFG4，4，3，得nFG0FGBOE内，FGBOE设点M的坐标为(x0 ，y0 ，0)FM x0 4，y0 ，3FMBOE，FMnx 4y 9即点M 的坐标是4，9，00044xOyAOBx y，经检验，点Mx y 所以，在AOB内存在一点M FM B