控制理论课件chapter

1、2022/9/6 6:57P59-1第四章 根轨迹法 1948年，W.R.Evans根据反馈控制系统开环传递函数与其闭环特征方程式之间的内在联系，提出了一种非常实用的求取闭环特征方程式根的图解法根轨迹法。 当系统特征方程式中的某一参数（例如开环增益 、时间常数 ）连续由零变化到无穷大时，特征方程式的根连续变化而在 平面上形成的运动轨迹，即为闭环系统特征根的根轨迹。 根轨迹法简单、实用，是经典控制理论的基本分析方法之一。2022/9/6 6:57P59-2第一节 根轨迹图 系统开环传递函数为对应的闭环传递函数为系统特征方程为系统特征根为2022/9/6 6:57P59-3第一节 根轨迹图当 时，

2、 为两相异的实根；当 时， 为两相等实根；当 时， 为一对共轭复根，实部为 ，虚部为 意味着这些复根都集中在根平面上离虚轴 的垂直线上。实际中，最常用的可变参数是系统的开环增益 ，以 为可变参数得到的根轨迹称为常规根轨迹。 系统特征根2022/9/6 6:57P59-4第二节 绘制根轨迹的数学依据及其性质 开环传递函数的两种表达式K为开环零极点形式的传递系数或增益与K之间具有如下关系为开环放大系数、传递系数或增益2022/9/6 6:57P59-5闭环特征方程有几种常用的表达形式，可根据需要选择 闭环传递函数表示形式 第二节 绘制根轨迹的数学依据及其性质闭环特征方程式的几种表达形式六种表达方式

3、实质是一致的，都是根据特征方程 得到的（1）（2）（3）（4）（5）（6）2022/9/6 6:57P59-6可得由于系统闭环特征方程为上式就是绘制根轨迹的相角条件和幅值条件相角条件是绘制根轨迹的依据-根平面上凡满足相角条件的点的全体就是根轨迹。或第二节 绘制根轨迹的数学依据及其性质2022/9/6 6:57P59-7利用相角条件就可画出根轨迹，即绘制根轨迹无需考虑幅值条件。而幅值条件用于确定根轨迹上某一点所对应的 值，即根轨迹上凡满足幅值条件的点就是相应 值所对应的系统闭环极点，反之亦然。 相角条件与幅值条件的不同在于相角条件与 值无关。因此，将满足相角条件的 值代入幅值条件，定能求得与之对

4、应的 值，即凡满足相角条件的点必定同时满足幅值条件。反之，满足幅值条件的点未必都能满足相角条件。 第二节 绘制根轨迹的数学依据及其性质2022/9/6 6:57P59-8 图示系统由幅值条件可得令 ，上式化为即可见，系统的等增益轨迹是一簇同心圆。对某个 值，对应圆周上无穷多个 值都能满足上式，但只有同时满足相角条件的 值才是特征根。第二节 绘制根轨迹的数学依据及其性质2022/9/6 6:57P59-9如图中 点，由于相角 ，满足根轨迹的相角条件，表明该点是根轨迹上的一个点。至于该 值所对应的 值，根据幅值条件得 。不难看出，图中 实轴段上的 值均满足相角条件，因此该部分线段是系统的根轨迹。

5、综上所述，根轨迹就是 平面上满足相角条件点的集合。由于相角条件是绘制根轨迹的基础，因此绘制根轨迹的一般步骤是：先找出 平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线；然后根据需要，用幅值条件确定相关点对应的 值。第二节 绘制根轨迹的数学依据及其性质2022/9/6 6:57P59-10用相角条件画出图示系统 变化时的根轨迹，并用幅值条件确定使闭环系统的一对共轭复数极点的阻尼比 时的 值。上述系统的相角条件和幅值条件为第二节 绘制根轨迹的数学依据及其性质2022/9/6 6:57P59-11 在 平面上画出开环极点系统特征方程有两个开环极点 、 确定实轴上的根轨迹则 ，不满足相角条件。因此，正实轴上没

6、有根轨迹。首先确定正实轴上是否有根轨迹。在正实轴上任取一点 ，在负实轴 间任取一点 ， 满足相角条件，是根轨迹的一部分。第二节 绘制根轨迹的数学依据及其性质2022/9/6 6:57P59-12 确定 平面上除实轴以外的其它根轨迹在 平面上任取一点 ，令 、 。若 位于根轨迹上，则满足相角条件 ，显然，只有位于坐标原点0与 间线段的垂直平分线上的点，才能满足相角条件，因此该垂直平分线也是根轨迹的一部分。 确定一对阻尼比 的共轭复数闭环极点 由于闭环极点位于 的直线上，所以第二节 绘制根轨迹的数学依据及其性质2022/9/6 6:57P59-13第三节 绘制根轨迹的一般规则 规则1 根轨迹的连续

7、性 当 由0连续变化到时，系统的闭环特征根也一定是连续变化的，所以根轨迹也必然是连续的。 由于闭环特征方程为实系数代数方程，相应的特征根或为实数，或为共轭复数，或两者兼而有之。因此，根轨迹必然对称于实轴。 规则2 根轨迹的对称性 这样，只需画出 上半平面的根轨迹，下半平面的根轨迹可根据对称性原理作出。2022/9/6 6:57P59-14 规则3 根轨迹的分支数及其起点和终点 当 变化时，根轨迹共有 条分支，它们分别从 个开环极点出发，其中 条根轨迹分支的终点为 个开环零点， 条根轨迹分支的终点在无穷远处。如果把无穷远处的终点称为无限零点，则根轨迹的终点有 个有限零点， 个无限零点。 第三节

8、绘制根轨迹的一般规则2022/9/6 6:57P59-15当 时，特征方程根的位置即根轨迹的起点，此时 当 变化时，特征方程中的任一根由起点连续地向其终点变化的轨迹，即为根轨迹的一条分支。由于 ，因而闭环特征方程式 的最高阶次必等于开环传递函数的极点数 ，系统根轨迹共有 条分支。表明根轨迹的起点 就是开环传递函数的极点第三节 绘制根轨迹的一般规则 证明 设系统闭环特征方程为2022/9/6 6:57P59-16当 时，特征方程根的极限位置就是根轨迹的终点，由 表明，开环传递函数的零点 是 条根轨迹分支的终点得 式 的幅值条件为第三节 绘制根轨迹的一般规则2022/9/6 6:57P59-17当

9、 时，上式为可见，当 时， 能满足上式，此时 条根轨迹分支的终点在无穷远处 第三节 绘制根轨迹的一般规则2022/9/6 6:57P59-18 规则4 根轨迹在实轴上的分布 在 平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在该线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数对于实轴根轨迹上的任一点 ，其右边的开环零点或极点指向该点矢量相角为 ；其左边的开环零点或极点指向该点的矢量相角为零；一对共轭开环零点或极点指向该点的矢量相角相互抵消，其和为零。 第三节 绘制根轨迹的一般规则2022/9/6 6:57P59-19由相角条件可知，只有在右边开环零点、极点的总数为奇数的实轴线段上，才有根轨迹存在。除此之外，

10、实轴上其它线段上的点均不能满足相角条件。例4-1 设一单位反馈控制系统如图所示，试绘制该系统的根轨迹第三节 绘制根轨迹的一般规则解 由规则3可知，系统的根轨迹在 时分别从三个开环极点 、 、 出发， 时根轨迹的二条分支趋向开环零点 、 ，另一条趋向无穷远处2022/9/6 6:57P59-20按照规则4可以判定，在实轴的0至-1线段、-2至-3线段、-4至 线段上存在根轨迹第三节 绘制根轨迹的一般规则2022/9/6 6:57P59-21 规则5 根轨迹的渐近线 伸向无穷远处根轨迹的渐近线与实轴的交点为（ ， ），相角为 ，其中 第三节 绘制根轨迹的一般规则2022/9/6 6:57P59-2

11、2由于开环复数极点和零点总是成对出现，因此 总是一个实数。为便于记忆，上式可简化为例4-2 设一单位反馈控制系统如图所示，试绘制该系统的根轨迹。解 系统有3条根轨迹分支，它们的起点为开环极点（0，-1，-2）第三节 绘制根轨迹的一般规则2022/9/6 6:57P59-23 因系统无开环零点，所以3条根轨迹分支均沿渐近线趋向无穷远 渐近线的相角为 实轴上的0至-1线段和-2至 线段 是根轨迹渐近线与实轴的交点为第三节 绘制根轨迹的一般规则2022/9/6 6:57P59-24 规则6 根轨迹的分离点与会合点 二条以上根轨迹分支的交点称为根轨迹的分离点或会合点。如果根轨迹分支在实轴上相交后走向复

12、平面，则该交点称为根轨迹的分离点。 如果根轨迹分支由复平面走向实轴，则它们在实轴上的交点称为会合点。根据根轨迹的对称性，分离点和会合点或位于实轴上，或产生于共轭复数对中。第三节 绘制根轨迹的一般规则2022/9/6 6:57P59-25如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间，则在这两个相邻极点之间，至少存在一个分离点。如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点（其中一个零点可以位于无穷远处）之间，则在这两个相邻零点之间，至少存在一个会合点。如果根轨迹位于实轴上一个开环极点与一个开环零点（有限零点或无限零点）之间，则在这两个相邻的极、零点之间，或既不存在分离点也不存在会合点，或既存在分离点又存在

13、会合点。第三节 绘制根轨迹的一般规则2022/9/6 6:57P59-26如果系统的特征方程式为则根轨迹的分离点和会合点可由下述方程的根确定需要说明的是，此处用来确定分离点或会合点的条件只是必要条件，而非充分条件。按上式求得的根并非都是实际的分离点或会合点，只有位于根轨迹上的那些重根才是实际的分离点或会合点 第三节 绘制根轨迹的一般规则2022/9/6 6:57P59-27此外，在分离点或会合点处，根轨迹两两之间的夹角为 ， 为趋向或离开根轨迹的分支数 证明 由于分离点或会合点是特征方程的重根，对于重根所在点 ，下列两个方程式成立即第三节 绘制根轨迹的一般规则2022/9/6 6:57P59-

14、28例4-3 求图示系统根轨迹的分离点 解 特征方程式为根据根轨迹在实轴上的分布，可知 是根轨迹的实际分离点第三节 绘制根轨迹的一般规则2022/9/6 6:57P59-29 规则7 根轨迹的出射角和入射角 根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角，称为根轨迹的出射角。根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角，称为根轨迹的入射角。第三节 绘制根轨迹的一般规则2022/9/6 6:57P59-30第三节 绘制根轨迹的一般规则证明 设 为非常靠近开环复数极点 的根轨迹上点，该点与开环复数极点的连线所成的角度即为出射角( )。由于 位于根轨迹上，满足相角条件，即2022/9/6 6:

15、57P59-31 规则8 根轨迹与虚轴的交点 当根轨迹与虚轴相交时，表示特征方程式存在纯虚根，此时系统处于等幅振荡状态。根轨迹与虚轴的交点，可通过下述方法求得： 采用劳斯稳定判据； 令特征方程中的 ，然后再使其实部和虚部分别等于零，求出 、 ，这时得到的 值，就是根轨迹与虚轴交点的频率，而 值则为临界稳定增益第三节 绘制根轨迹的一般规则2022/9/6 6:57P59-32第三节 绘制根轨迹的一般规则2022/9/6 6:57P59-33第三节 绘制根轨迹的一般规则2022/9/6 6:57P59-34第四节 例题例4-4 绘制图示系统的根轨迹解 根据例4-2、4-3已知系统根轨迹的分支数、起

16、始点、分离点，实轴上的根轨迹和渐近线与实轴的交点及相角，现求系统根轨迹与虚轴的交点。 令特征方程中 ，得2022/9/6 6:57P59-35 解本题的MATLAB程序为 % 1/s(s+1)(s+2) n=1； d=conv(1,1,1,2),0； rlocus(n,d)令实部和虚部分别等于零，可得因此，根轨迹在 点与虚轴相交，交点对应的 值等于6第四节 例题2022/9/6 6:57P59-36例4-5 设一单位反馈控制系统的开环传递函数为试绘制该系统的根轨迹。解 根轨迹的起点、终点及分支数系统有3条根轨迹分支，它们的起点为开环极点（0，-2，-3），终点为开环零点-1和无穷远 实轴上的根

17、轨迹 实轴上0至-1和-2至-3间的线段是根轨迹的一部分第四节 例题2022/9/6 6:57P59-37 根轨迹的渐近线 根轨迹的分离点根据 ，可得分离点 第四节 例题2022/9/6 6:57P59-38 解本题的MATLAB程序为 % k(s+1)/s(s+2)(s+3) k=1 z=-1； p=0,-2,-3； n,d=zp2tf(z,p,k) rlocus(n,d)第四节 例题2022/9/6 6:57P59-39第四节 例题解 根轨迹的起点、终点及分支数 实轴上的根轨迹 实轴上的0至-3线段是根轨迹的一部分 例4-6 设一单位反馈控制系统的开环传递函数为试绘制该系统的根轨迹。系统有

18、4条根轨迹分支，它们的起点为开环极点（0，-3， ），终点为无穷远处2022/9/6 6:57P59-40第四节 例题 根轨迹的渐近线 根轨迹的分离点渐近线与实轴的夹角分别为 、 ，渐近线与实轴的交点为根据 ，可得分离点为 ，分离角为 ，对应分离点的 值 复数极点 的出射角2022/9/6 6:57P59-41第四节 例题 根轨迹与虚轴的交点 系统特征方程为 解本题的MATLAB程序为 % k/s(s+3)(s2+2s+2) g=tf(1,conv(1,3, 1,2,2), 0) rlocus(g) 令 ，实部和虚部分别为零，得2022/9/6 6:57P59-42确定闭环极点的方法有时已知一

19、对主导共轭极点的阻尼比，要求确定闭环极点及其相应的开环增益。为此可先画出一条给定的 线，根据它与复平面上根轨迹的交点确定一对共轭闭环极点。然后用幅值条件求相应的开环增益K，再求出其他实数极点。 第四节 例题当 值满足幅值条件时，对应的根轨迹上的点，就是此时的闭环极点。同样，利用幅值条件可确定根轨迹上任一点所对应的 值2022/9/6 6:57P59-43在图中作60线可得它与根轨迹的交点s,设例4-2中，若给定一对主导极点的阻尼比 ，则 第四节 例题根据相角条件得到2022/9/6 6:57P59-44根据幅值条件，对应的开环增益为闭环特征方程为可以确定此时的另一个闭环极点为 ，则系统的闭环传

20、递函数为第四节 例题2022/9/6 6:57P59-45第五节 参数根轨迹和多回路系统的根轨迹以开环增益 为可变参量的常规根轨迹是最常见的。若需要研究除 外的其它参数对系统性能的影响，就要绘制以其它参数为可变参量的根轨迹，即参数根轨迹或广义根轨迹。若系统可变参量为时间常数 ，此时不能采用前述的方法直接绘制系统根轨迹，而需要把闭环特征方程式中不含 的各项去除该方程，使原方程变为 其中： 为等效开环传递函数， 在其中相当于 的位置。这样，前述的各项规则依然有效。2022/9/6 6:57P59-46第五节 参数根轨迹和多回路系统的根轨迹 解 系统开环传递函数为例4-7 设反馈系统如图所示，试绘制

21、以 为参变量的根轨迹特征方程为 以不含 的项 ，除上式得 2022/9/6 6:57P59-47系统等效开环传递函数为式中 根轨迹的起点、终点及分支数 实轴上的根轨迹 负实轴为根轨迹的一部分 系统有2条根轨迹分支，起始于开环极点 ，终止于开环零点0和无穷远处。第五节 参数根轨迹和多回路系统的根轨迹2022/9/6 6:57P59-48 根轨迹的会合点 根据 ，可得会合点为 ，会合角为 ，相应的 ， 复数极点 的出射角 解本题的MATLAB程序为 % ks/(s2+2s+10) n=1 0 d=1 2 10 rlocus(n,d) 第五节 参数根轨迹和多回路系统的根轨迹2022/9/6 6:57

22、P59-49对多回路系统而言，需先作内环根轨迹，再用幅值条件求出内环的闭环极点，进而作为外环的部分开环极点，再画出外环的根轨迹。例4-8 试绘制以 为参变量的根轨迹解 内环的根轨迹内环开环传递函数为 ，其根轨迹与例4-2相同。第五节 参数根轨迹和多回路系统的根轨迹2022/9/6 6:57P59-50 内环的闭环传递函数为 求出 时的内环闭环极点为： ， 内环化简后的外环开环传递函数为式中， 第五节 参数根轨迹和多回路系统的根轨迹2022/9/6 6:57P59-51第五节 参数根轨迹和多回路系统的根轨迹 外环（系统）的根轨迹 实轴上的根轨迹在0至-1，-2.33至-3处 根轨迹的4条分支分别

23、始于开环极点0、-2.33和 ，终于开环零点-1，-3和无穷远处 根轨迹的渐近线与实轴的交点为 ，相角 复数极点 处的出射角 根轨迹与虚轴的交点为2022/9/6 6:57P59-52第六节 正反馈回路和非最小相位系统根轨迹正反馈系统的闭环传递函数相应的特征方程式为或可见，正反馈回路根轨迹的幅值条件与负反馈回路完全相同，为 正反馈回路根轨迹2022/9/6 6:57P59-53第六节 正反馈回路和非最小相位系统根轨迹 但相角条件却变为 故又称零度根轨迹。在绘制零度根轨迹时，需要对有关涉及相角条件的规则进行修改 规则4 在 平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在这些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为偶数。 规则5 根轨迹的 条渐近线与实轴的相角为2022/9/6 6:57P59-54第六节 正反馈回路和非最小相位系统根轨迹 规则7 根轨迹的出射角和入射