高考链接立体几何中的向量方法

1、第六节 立体几何中的向量方法高考试题考点一 用向量方法求空间角1. 陕西卷 , 理 5 如下列图 , 在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1,CA=CC 1=2CB,就直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为 A 错误！未找到引用源；B 错误！未找到引用源；C 错误！未找到引用源；D 错误！未找到引用源；错误！未找到引用源；AB =-2,2,1, 解析 : 不妨令 CB=1,就 CA=CC 1=2. 可得 O0,0,0,B0,0,1,C10,2,0, A2,0,0,B10,2,1, 错误！未找到引用源；BC =0,2,-1,cos=错误！未找到引用源；BC 1AB 1=错误！未找到引用

2、源；4 19=1 5错误！未找到引用源； =错误！未找BC 1AB 15到引用源； 0. 错误！未找到引用源； 与错误！未找到引用源； 的夹角即为直线 BC1 与直线 AB1的夹角 , 直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为 错误！未找到引用源； . 应选 A. 答案 :A 2. 大纲全国卷 , 理 10 已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,AA1=2AB,就 CD与平面 BDC所成角的正弦值等于 B 错误！未找到引用源；C 2D1 3错误！A 错误！未找到引用源；3未找到引用源；解析 : 建立如下列图的空间直角坐标系 , 设 AA1=2AB=2, 就 B1,1,0,C0,1,0,

3、D0,0,0,C 10,1,2, 故错误！未找到引用源；DB =1,1,0, 错误！未找到引用源； =0,1,2, 错误！未找到引用源； =0,1,0. 设平面 BDC 1的法向量为 n=x,y,z, 就错误！未找到引用源；n DB 0,n DC 1 0,x y 0,得错误！未找到引用源；y 2 z 0,令 z=1, 就 y=-2,x=2, 所以平面 BDC 1的一个法向量为 n=2,-2,1. n DC=错误！未找到引用源；.设直线 CD与平面 BDC 1 所成的角为 , 就 sin =|cos|=nDC应选 A. 答案 :A 3.2022 年大纲全国卷 , 理 16 已知点 E、F 分别在

4、正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 BB1、CC1上, 且 B1E=2EB,CF=2FC 1, 就面 AEF与面 ABC所成的二面角的正切值等于 . 解析 : 如下列图 , 建立空间直角坐标系 . 就平面 ABC的一个法向量为 n1=0,0,1, 设平面 AEF的法向量为 n2=x,y,z. 设正方体的棱长为 1, A1,0,0,E1,1, 错误！未找到引用源； , F0,1, 错误！未找到引用源； , AE=0,1, 错误！未找到引用源；, 错误！未找到引用源；EF =-1,0,错误！未找到引用源； , 就错误！未找到引用源；yx1 3zz0,取 x=1, 就 y=-1,z=3. 10,

5、3故 n2=1,-1,3, cos=错误！未找到引用源；n 1n n=错误！未找到引用源；3 11 11, n 1设平面 AEF与平面 ABC所成的二面角为 0 90 , 就 cos =错误！未找到引用源； ,sin 误！未找到引用源； . 答案 : 错误！未找到引用源； =错误！未找到引用源； , tan =错4. 新课标全国卷 , 理 18 如图, 三棱柱 ABCA1B1C1 中,CA=CB,AB=AA 1, BAA1=60 . 1 证明 ABA1C; 2 如平面 ABC平面 AA1B1B,AB=CB,求直线 A1C 与平面 BB1C1C所成角的正弦值 . 1 证明 : 取 AB的中点 O

6、,连接 OC、OA1、A1B. 由于 CA=CB,所以 OCAB. 由于 AB=AA 1, BAA1=60 , 故 AA1B 为等边三角形 , 所以 OA1AB. 由于 OCOA1=O, 所以 AB平面 OA1C. 又 A1C. 平面 OA1C,故 ABA1C. 2 解: 由1 知 OCAB,OA1AB. 又平面 ABC平面 AA1B1B, 交线为 AB, 所以 OC平面 AA1B1B, 故 OA,OA 1,OC两两垂直 . 以 O为坐标原点 , 错误！未找到引用源； 的方向 为 x 轴的正方向 , | 错误！未找到引用源； | 为单位长 , 建立如下列图的空间直角坐标系 O xyz. 设 A

7、B=2,就 A1,0,0,A 10, 错误！未找到引用源； ,0,C0,0, 3 , B-1,0,0. 就错误！未找到引用源； =1,0, 错误！未找到引用源； , 错误！未找到引用源；=错误！未找到引用源； =-1, 错误！未找到引用源；,0, 错误！未找到引用源； =0,- 错误！未找到引用源； , 错误！未找到引用源； . 设 n=x,y,z 是平面 BB1C1C的法向量 , 就错误！未找到引用源；n BC 0,n BB 1 0.x 3 z 0,即错误！未找到引用源；x 3 y 0.可取 n=错误！未找到引用源； ,1,-1. 故 cos=错误！未找到引用源；n AC=-10错误！未n

8、AC5找到引用源； . 所以 A1C与平面 BB1C1C所成角的正弦值为 10 . 55. 重庆卷 , 理 19 如图 , 四棱锥 P ABCD中,PA底面 ABCD,BC=CD=2,AC=4,ACB=ACD=错误！未找到引用源； ,F 为 PC的中点 ,AFPB. 1 求 PA的长; 2 求二面角 B AF D的正弦值 . 解:1 如图 , 连接 BD交 AC于点 O, 由于 BC=CD, 即 BCD为等腰三角形 , 又 AC平分 BCD, 故 ACBD. 以 O为坐标原点 , 错误！未找到引用源； , 错误！未找到引用源； , 错误！未找到 引用源； 的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的

9、正方向 , 建立空间直角坐标系 O xyz, 就 OC=CDcos错误！未找到引用源； =1, 而 AC=4, 得 AO=AC-OC=3, 又 OD=CDsin 错误！未找到引用源； =错误！未找到引用源； , 故 A0,-3,0,B错误！未找到引用源； ,0,0,C0,1,0,D-错误！未找到引用源； ,0,0. 因 PA底面 ABCD,可设 P0,-3,z, 由 F 为 PC边中点 ,F0,-1,错误！未找到引用源；. 又错误！未找到引用源； =0,2, 错误！未找到引用源；= 错误！未找到引用源； ,3,-z, 由于 AFPB, z , 错误！未找到引用源；2故错误！未找到引用源； 错误

10、！未找到引用源； =0, 即 6- 错误！未找到引用源； =0,z=2 错误！未找到引用源； 舍去 z=-2 3 , 所以 | 错误！未找到引用源； |=2 错误！未找到引用源； . 2 由1 知错误！未找到引用源； =- 错误！未找到引用源； ,3,0, 错误！未找 到引用源； =错误！未找到引用源； ,3,0, 错误！未找到引用源； =0,2, 错误！未找到引用源；. 设平面 FAD的法向量为 n1=x1,y1,z1, 平面 FAB的法向量为 n2=x2,y2,z2, 由 n1 错误！未找到引用源； =0,n 1错误！未找到引用源； =0, 得错误！未找到引用源；23 x 13y 10,y

11、 13 z 10,因此可取 n1=3, 错误！未找到引用源； ,-2. 由 n2 错误！未找到引用源； =0,n 2错误！未找到引用源； =0, 得错误！未找到引用源；23x 23 y20,y23 z20,故可取 n2=3,- 错误！未找到引用源； ,2. 从而法向量 n1,n2的夹角的余弦值为cos=错误！未找到引用源； =错误！未找到引用源；1. 8故二面角 B AF D的正弦值为3 7 8错误！未找到引用源； . 6. 四川卷 , 理 19 如图 , 在三棱柱 ABCA1B1C1 中, 侧棱 AA1底面 ABC,AB=AC=2AABAC=120 ,D,D1分别是线段 BC,B1C1 的中

12、点 ,P 是线段 AD的中点 . 1 在平面 ABC内, 试作出过点 P与平面 A1BC平行的直线 l, 说明理由 , 并证明直线 l 平面 ADD 1A1; 2 设1 中的直线 l 交 AB于点 M,交 AC于点 N,求二面角 A A1M N的余弦值 . 解:1 如图 , 在平面 ABC内, 过点 P 作直线 l BC,由于 l 在平面 A1BC外,BC 在平面 A1BC内, 由直线与平面平行的判定定理可知由已知 ,AB=AC,D是 BC的中点 , ,l 平面 A1BC. 所以 BCAD,就直线 l AD. 由于 AA1平面 ABC,所以 AA1直线 l. 又 AD,AA1 在平面 ADD

13、1A1内, 且 AD与 AA1相交 , 所以直线 l 平面 ADD 1A1. 2 法一 连接 A1P,过 A 作 AEA1P于 E,过 E 作 EFA1M于 F, 连接 AF. 由1 知,MN平面 AEA1, 所以平面 AEA1平面 A1MN. 所以 AE平面 A1MN,就 A1MAE. 所以 A1M平面 AEF,就 A1MAF. 故 AFE为二面角 A A1MN的平面角 设为 . 设 AA1=1, 就由 AB=AC=2AA 1, BAC=120 , 有 BAD=60 ,AB=2,AD=1. 又 P 为 AD的中点 , 所以 M为 AB的中点 , 且 AP=错误！未找到引用源； ,AM=1,

14、所以在 Rt AA1P中,A 1P=5 2; 在 Rt A1AM中,A 1M=错误！未找到引用源； . 从而 AE=错误！未找到引用源；AA 1AP=1 5错误！未找到引用源； ,AF=错误！未25. A P找到引用源；AA 1AM=1 2, A M 1所以 sin =错误！未找到引用源；AE AF=所以 cos =错误！未找到引用源；1sin2=122错误！未找到引用源；5=15 5. 故二面角 A A1M N的余弦值为 错误！未找到引用源； . 法二 设 A1A=1.如图, 过 A1 作 A1E平行于 B1C1, 以 A1 为坐标原点 , 分别以 错误！未找到引用源；A E , A D 错

15、误！未找到引用源；, 错误！未找到引用源；1A A的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向 , 建立空间直角坐标系O xyz 点 O与点 A1 重合 . 就 A10,0,0,A0,0,1. 由于 P 为 AD的中点 , 所以 M,N分别为 AB,AC的中点 , 故 M错误！未找到引用源； , 错误！未找到引用源； ,1,N-错误！未找到引用源； , 错误！未找到引用源； ,1, 所以 错误！未找到引用源； =错误！未找到引用源； , 错误！未找到引用源； ,1,错误！未找到引用源； =0,0,1,NM = 错误！未找到引用源； ,0,0. 设平面 AA1M的一个法向量为n1=x 1,y 1,z

16、 1, 就n 1A M0,错误！未找到引用源；n 1n 1A M,即错误！未找到引用源；A A ,n 1A A0,故有 错误！未找到引用源；x 1,y z 13 1 ,2 2,10,从而 错误！未找到引用源；x 1,y z 10,0,10,3x 11y 1z 10,22z 10.取 x1=1, 就 y1=-错误！未找到引用源； , 所以 n1=1,- 错误！未找到引用源； ,0. 设平面 A1MN的一个法向量为n2=x 2,y 2,z 2, 就n 2A M0,错误！未找到引用源；n 2n 2A M,即错误！未找到引用源；NM,n 2NM0,故有 错误！未找到引用源；x 2,y 2,z 23 1

17、 ,2 2,10,x 2,y 2,z 23,0,00,3x 21y2z 20,从而 错误！未找到引用源；223x 20.取 y2=2, 就 z2=-1, 所以 n2=0,2,-1. 设二面角 A A1M N的平面角为 , 又 为锐角 . 就 cos =n 1n 2n 1n2=1,3,0 0, 2, 125=错误！未找到引用源； . 故二面角 A A1M N的余弦值为 错误！未找到引用源； . 7. 四川卷 , 理 19 改编 如下列图 , 在三棱锥 P ABC中, APB=90 , PAB=60 ,AB=BC=CA,平面 PAB平面 ABC. 1 求直线 PC与平面 ABC所成的角的正弦值 ;

18、 2 求二面角 B AP C的余弦值 . 解:1 如下列图 , 设 AB的中点为 D,作 POAB于点 O,连接 CD. 由于平面 PAB平面 ABC, 平面 PAB平面 ABC=AD, 所以 PO平面 ABC. 所以 POCD. 由 AB=BC=CA,知 CDAB. 设 E 为 AC的中点 , 就 EO CD, 从而 OEPO,OEAB. 如下列图 , 以 O为坐标原点 ,OB、OE、OP所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直 角坐标系 O xyz. 不妨设 PA=2,由已知可得 AB=4,OA=OD=1,OP= 错误！未找到引用源； ,CD=2错误！未找到引用源； . 所以 O0,0,0

19、,A-1,0,0,C1,2错误！未找到引用源；,0,P0,0,错误！未找到引用源； , 所以 错误！未找到引用源；CP =-1,-2错误！未找到引用源； , 错误！未找到引用源； . 而错误！未找到引用源； =0,0, 错误！未找到引用源； 为平面 ABC的一个法向 量, 设 为直线 PC与平面 ABC所成的角 , 就 sin =CP OP CP OP=0 1603 3=错误！未找到引用源；. 故直线 PC与平面 ABC所成的角的正弦值为 错误！未找到引用源； . 2 由1 有错误！未找到引用源； =1,0, 错误！未找到引用源； , 错误！未找到 引用源； =2,2 3 ,0. 设平面 AP

20、C的一个法向量为 n=x 1,y 1,z 1, 就错误！未找到引用源；nAP ,. 错误！未找到引用源；n AP0,nAC,n AC0. 错误！未找到引用源；x y z 11,0, 30,x y z 12,23,00.从而 错误！未找到引用源；x 13z 10,2 x 12 3y 10.取 x1=-错误！未找到引用源； , 就 y1=1,z 1=1, 所以 n=- 错误！未找到引用源； ,1,1. 设二面角 B AP C的平面角为 , 易知 为锐角 . 而平面 ABP的一个法向量为 m=0,1,0, 就cos =n m n m= 3 1 1 1= 5错误！未找到引用源；5 . 故二面角 B A

21、P C的余弦值为 错误！未找到引用源；. 8. 浙江卷 , 理 20 如图 , 在四周体 A BCD中,AD平面 BCD,BCCD,AD=2,BD=2错 误！未找到引用源；,M 是 AD的中点 ,P 是 BM的中点 , 点 Q在线段 AC上, 且 AQ=3QC. 1 证明 :PQ 平面 BCD; 2 如二面角 C BMD的大小为 60 , 求BDC的大小 . 1 证明 : 如下列图 , 取 BD的中点 O, 以 O为原点 ,OD,OP所在射线为 y,z 轴的正半轴 , 建立空间直角坐标系O xyz. ,2,B0,-错误！未找到引用源； ,0, 由题意知 A0, 错误！未找到引用源；D0, 错误

22、！未找到引用源； ,0. 设点 C的坐标为 x 0,y 0,0, 由于 AQ 错误！未找到引用源； =3 QC错误！未找到引用源； , 所以 Q错误！未找到引用源；3 4x0, 错误！未找到引用源； +错误！未找到引用源；y0, 错误！未找到引用源； . 由于点 M为 AD的中点 , 故 M0, 错误！未找到引用源； ,1. 又点 P 为 BM的中点 , 故 P0,0, 错误！未找到引用源； , 所以 错误！未找到引用源； =错误！未找到引用源；+错误！未找到引用源； y0,0. 又平面 BCD的一个法向量为 a=0,0,1, 故 PQ 错误！未找到引用源； a=0. 又 PQ.平面 BCD,

23、 所以 PQ 平面 BCD. 2 解: 设 m=x,y,z 为平面 BMC的一个法向量 . x0, 错误！未找到引用源；由错误！未找到引用源；CM =-x 0, 错误！未找到引用源； -y 0,1, 错误！未找到引用源；BM =0,2 错误！未找到引用源； ,1, 知错误！未找到引用源；x xz2y0yz0,2 2y0.取 y=-1, 得 m=错误！未找到引用源； ,-1,2错误！未找到引用源； . 又平面 BDM的一个法向量为 n=1,0,0,于是9y0 x 0 x222=|cos|=m n m n错误！未找到引用源； =错误！未找到引用源；0y 0错误！未找到引用源； , 即y 0 x 0

24、2错误！未找到引用源； 2=3. 又 BCCD, 所以CB错误！未找到引用源； 错误！未找到引用源； =0, 故-x 0,- 错误！未找到引用源； -y 0,0 -x 0, 错误！未找到引用源； -y 0,0=0, 即 x 错误！未找到引用源； + y 错误！未找到引用源； =2. x 0 0,联立 , 解得 错误！未找到引用源；y 0 2 舍去或x 0 6 ,2y 0 2 .2所以 tan BDC= x 0 =错误！未找到引用源； . 2 y 0又 BDC是锐角 , 所以 BDC=60 . 考点二 用向量法证明直线、平面的平行或垂直关系 安徽卷 , 理 18 平面图形 ABB1A1C1C如图

25、所示 , 其中 BB1C1C是矩形,BC=2,BB1=4,AB=AC=错误！未找到引用源； ,A 1B1=A1C1=错误！未找到引用源； .现将该平面图形分别沿 BC和 B1C1折叠 , 使 ABC与 A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直 , 再分别连接 A1A,A1B,A1C,得到如图所示的空间图形 , 对此空间图形 解答以下问题 . 1 证明 :AA1BC; 2 求 AA1 的长; 3 求二面角 A BCA1的余弦值 . 1 证明 : 取 BC、B1C1的中点分别为 D和 D1, 连接 A1D1、DD1、AD. 由 BB1C1C为矩形知 ,DD1B1C1. 由于平面 BB1C1C平

26、面 A1B1C1, 所以 DD1平面 A1B1C1. 又由 A1B1=A1C1知,A 1D1B1C1. 故以 D1为坐标原点 , 可建立如下列图的空间直角坐标系 D1 xyz. 由题设 , 可得 A1D1=2,AD=1. 由以上可知 AD平面 BB1C1C,A1D1平面 BB1C1C, 于是 AD A1D1. 所以 A0,-1,4,B1,0,4,A 10,2,0,C-1,0,4, D0,0,4, 故错误！未找到引用源；AA =0,3,-4,错误！未找到引用源； =-2,0,0,错误！未找到引用源； 错误！未找到引用源； =0, 因此 错误！未找到引用源； 错误！未找到引用源；, 即 AA1BC

27、. 2 解: 由于 错误！未找到引用源； =0,3,-4, 所以| 错误！未找到引用源； |=5,即 AA1=5. 3 解: 法一 连接 A1D. 由 BCAD,BCAA1, 可知 BC平面 A1AD,所以 BCA1D, 所以 ADA 1为二面角 A BC A1的平面角 . 错误！未找到引用源；=0,2,-4, 由于 错误！未找到引用源；DA =0,-1,0,所以 cos=-错误！未找到引用源；1222 42=-5 5错误！未找到引用源； , 即二面角 A BCA1的余弦值为 - 错误！未找到引用源； . 法二 设平面 A1BC的法向量为 n1=x1,y1,z1, 又由于 错误！未找到引用源；

28、 =-1,-2,4,所以 错误！未找到引用源；AC n 10,A B n 10,错误！未找到引用源； =1,-2,4, 即错误！未找到引用源；x 12y 14z 10,. 错误！未找到引用源；x 10,.2402z 1x 1y 1z 1y 1令 z1=1, 就 n1=0,2,1. 又由于平面 ABCz 轴, 所以取平面 ABC的一个法向量 n2=0,0,1, 就 cos=错误！未找到引用源；n 1n n=错误！未找到引用源；21=错误！n15未找到引用源； , 所以二面角 A BCA1的余弦值为 - 错误！未找到引用源； . 考点三 用向量法求点到面的距离或两点间的距离 1.2022 年福建卷

29、 , 理 20 如图, 四棱锥 P ABCD中,PA底面 ABCD,四边形 ABCD 中,ABAD,AB+AD=4,CD= 错误！未找到引用源； , CDA=45 . 1 求证 : 平面 PAB平面 PAD. 2 设 AB=AP. 如直线 PB与平面 PCD所成的角为 30 , 求线段 AB的长 ; 在线段 AD上是否存在一个点 G,使得点 G到点 P,B,C,D 的距离都相等 .说明理 由. 1 证明 : 分别以 AB、AD、AP所在直线为 x 轴、y 轴、 z 轴, 建立空间直角坐标系A xyz, 如下列图 . 易知平面 PAB的一个法向量为 n1=0,1,0,n1 n2=0, n1n2,

30、 平面 PAB平面 PAD. 2 解: 设 AB=AP=a0a4, 平面 PAD的一个法向量为 n2=1,0,0, 就 P0,0,a,Ba,0,0,D0,4-a,0,C1,4-a-1,0, PB =a,0,-a, 设平面 PCD的一个法向量为 m=x,y,z, 由错误！未找到引用源；m PD0,得错误！未找到引用源；4a yaz0,xy0.m CD0,令 y=a 得 m=a,a,4-a. 由直线 PB与平面 PCD所成的角为 30 , 得 sin 30 =|cos|=a23a48a16=错误！未找到2 aa2a引用源； , 整理 , 得 5a 2-24a+16=0, 解得 a=错误！未找到引用

31、源； 或 a=4舍去 , 即 AB长为错误！未找到引用源； . 假设线段 AD上存在点 G0,t,00t 4-a, 使|GP|=|GB|=|GC|=|GD|, 错误！未找到引用源； =0,-t,a, 错误！未找到引用源； =1,3-a-t,0,错误！未找到引用源； =a,-t,0, 错误！未找到引用源； =0,4-a-t,0, 由| 错误！未找到引用源； |=| 错误！未找到引用源；| 得 1 2+3-a-t2=4-a-t2, 即 t=3-a. 由| 错误！未找到引用源； |=| 错误！未找到引用源；| 得4-a-t2=t2+a 2, 得 8-4a-4t+at=0.联立消去 t 得 a 2-3

32、a+4=0. 由于方程的判别式 =-32-4 40,故方程无实根 . 所以在线段 AD上不存在一个点 G,使得点 G到点 P、B、C、D的距离都相等 . 2.2022 年江苏卷 ,22 如图 , 在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,AA1=2,AB=1,点 N是 BC 的中点 , 点 M在 CC1 上. 设二面角 A1 DNM的大小为 . 1 当 =90 时 , 求 AM的长 ; 2 当 cos =错误！未找到引用源；6 6时, 求 CM的长. 解: 建立如下列图的空间直角坐标系 D xyz. 设 CM=t0t 2, 就各点的坐标为 A1,0,0,A 11,0,2,N 错误！未找到引用源

33、； ,1,0,M0,1,t. 所以DN错误！未找到引用源； =错误！未找到引用源；,1,0, 错误！未找到引用源； =0,1,t, 错误！未找到引用源； =1,0,2. 设平面 DMN的法向量为 n1=x 1,y 1,z 1, 就 n1 错误！未找到引用源； =0,n 1即 x1+2y1=0,y 1+tz 1=0. 令 z1=1, 就 y1=-t,x 1=2t. 错误！未找到引用源； =0. 所以 n1=2t,-t,1 是平面 DMN的一个法向量 . 设平面 A1DN的法向量为 n2=x2,y2,z2, 就 n2 错误！未找到引用源； =0,n 2即 x2+2z2=0,x 2+2y2=0. 令

34、 z2=1, 就 x2=-2,y 2=1. 错误！未找到引用源； =0. 所以 n2=-2,1,1 是平面 A1DN的一个法向量 . 1 由于 =90 , 所以 n1n2=-5t+1=0, 解得 t= 错误！未找到引用源； . 从而 M0,1, 错误！未找到引用源； . 所以 AM=错误！未找到引用源；1252 112=错误！未找到引用源；51 5. 1. 52 由于 |n1|= 错误！未找到引用源；t21,|n2|= 错误！未找到引用源； , 所以 cos=错误！未找到引用源；n 1n n=错误！未找到引用源；265t5 t1n 12由于 = 或 - , 所以65t5t11=错误！未找到引用

35、源； , 解得 t=0 或 t= 错误！未找到引用源； . 2依据图形和 1 的结论可知 t= 错误！未找到引用源； , 从而 CM的长为 错误！未找 到引用源； . 3.2022 年江西卷 , 理 20 如图 , BCD与 MCD都是边长为 2 的正三角形 , 平面 MCD平面 BCD,AB平面 BCD,AB=2错误！未找到引用源； . 1 求点 A 到平面 MBC的距离 ; 2 求平面 ACM与平面 BCD所成二面角的正弦值 . 解: 取 CD中点 O,连接 OB,OM,就 OBCD,OMCD. 又平面 MCD平面 BCD,所以 MO平面 BCD. 取 O为原点 , 直线 OC、BO、OM

36、为 x 轴、y 轴、z 轴, 建立空间直角坐标系如图 ,OB=OM= 错误！未找到引用源； , 就各点坐标分别为C1,0,0,M0,0,错误！未找到引用源； ,B0,-错误！未找到引用源； ,0,A0,-错误！未找到引用源； ,2 错误！未找到引用源； . 1 设 n=x,y,z 是平面 MBC的法向量 . 错误！未找到引用源； =1, 错误！未找到引用源； ,0, 错误！未找到引用源；=0, 错误！未找到引用源； , 3 . 由 n错误！未找到引用源； 得 x+错误！未找到引用源； y=0; 由 n错误！未找到引用源； 得错误！未找到引用源；z=0. y+错误！未找到引用源；取 n=错误！未

37、找到引用源； ,-1,1,错误！未找到引用源； =0,0,2错误！未找到引用源； , BA n就所求距离 =错误！未找到引用源；n =2 3 5=错误！未找到引用源； . 2 错误！未找到引用源；CM =-1,0, 错误！未找到引用源； , 错误！未找到引用源； =-1,-错误！未找到引用源； ,2 错误！未找到引用源； . 设平面 ACM的法向量为 n1=x 1,y 1,z 1, 由 n1错误！未找到引用源； ,n1错误！未找到引用源；得错误！未找到引用源；x 13 z 10,0,x 13y 12 3 z 1解得 x1=错误！未找到引用源； z1,y 1=z1, 取 n1=错误！未找到引用源

38、； ,1,1. 又平面 BCD的法向量为 n2=0,0,1, 所以 cos=错误！未找到引用源； =1 5错误！未找到引用源； . 设所求二面角为 , 就 sin =2 5 5错误！未找到引用源； . 故所求二面角的正弦值为 错误！未找到引用源； . 模拟试题考点一 求空间角1.2022 浙江温州高三适应性测试 垂直 , 且BAC= 如下列图 , 已知 ABC与 BCD所在平面相互BCD=90 ,AB=AC,CB=CD,点 P,Q 分别在线段 BD,CD上, 沿直线 PQ将 PQD向上 翻折 , 使 D与 A 重合. 1 求证 :ABCQ; 2 求直线 AP与平面 ACQ所成的角 . 1 证明

39、 : 平面 ABC平面 BCQ, 平面 BCQ平面 ABCD=BC, 又 CQBC,CQ平面 ABC,CQAB. 2 解: 取 BC的中点 O,BD的中点 E,连接 OA,OE, 就 OE CD, OEBC. AB=AC, AOBC, AO平面 BCD. 如下列图 , 以 OB所在直线为 x 轴, 以 OE所在直线为 y 轴, 以 OA所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 . 不妨设 BC=2,就 A0,0,1,E0,1,0,C-1,0,0,D-1,2,0, 设 Px,1-x,0, 由|AP|=|DP|, 即 x 2+1-x 2+1=x+1 2+x+1 2, 解得 x=0, 所以 P0,1,

40、0, 故错误！未找到引用源； =0,1,-1,P 与 E 两点重合 . 设 n=x,y,z 为平面 ACQ的法向量 , 错误！未找到引用源； =-1,0,-1, 设 CQ 错误！未找到引用源； = OE 错误！未找到引用源； = 0,1,0, 由错误！未找到引用源；n AC0,得错误！未找到引用源；xz0,y0,n CQ0,可取 n=1,0,-1. 设直线 AP与平面 ACQ所成的角为 , 就 sin =|cos|= 错误！未找到引用源；212=错误！未找到引用源； , 所以 =错误！未找到引用源；, 即直线 AP与平面 ACQ所成的角为 错误！未找到引用源；. 2.2022 海南琼州模拟 已

41、知在四棱锥 P ABCD中, 底面 ABCD是矩形 , 且AD=2,AB=1,PA平面 ABCD,E、F 分别是线段 AB、BC的中点 . 1 证明 :PFFD; 2PA 上是否存在点 G,使得 EG 平面 PFD.说明理由 ; 3 如 PB与平面 ABCD所成的角为 45 , 求二面角 A PD F 的余弦值 . 1 证明 :PA平面 ABCD,ABAD, AB=1,AD=2, 建立如下列图的空间直角坐标系 A xyz, 就 A0,0,0,B1,0,0,F1,1,0,D0,2,0. 不妨令 P0,0,t, 就错误！未找到引用源；PF =1,1,-t, 又错误！未找到引用源；=1,-1,0,

42、错误！未找到引用源； 错误！未找到引用源； =1 1+1 -1+-t 0=0, 即 PFFD. 解:2 设平面 PFD的法向量为 n=x,y,z, 由错误！未找到引用源；n PF0,得错误！未找到引用源；xytz0,xy0,n DF0,令 z=1, 解得 x=y=错误！未找到引用源； , 此时,n= 错误！未找到引用源； , 错误！未找到引用源； ,1. 设 PA上存在 G0,0,m 满意条件 , 又 E错误！未找到引用源； ,0,0, 就错误！未找到引用源； =- 错误！未找到引用源； ,0,m, 要使 EG 平面 PFD,只需 错误！未找到引用源；EG n=0, 即- 错误！未找到引用源；

43、 错误！未找到引用源； +0 错误！未找到引用源；+1 m=0, 得 m=错误！未找到引用源； t, 从而点 G存在且满意 AG=错误！未找到引用源； AP. 3 易知 AB平面 PAD, 错误！未找到引用源； 是平面 PAD的一个法向量 , 易得错误！未找到引用源；=1,0,0, 又 PA平面 ABCD, PBA是 PB与平面 ABCD所成的角 , 得 PBA=45 . PA=1,平面 PFD的一个法向量为 n=错误！未找到引用源； , 错误！未找到引用源； ,1, cos= 错误！未找到引用源； =错误！未找到引用源；111+1=6 6错误！未找到引用源； , 2+44故所求二面角 A P

44、DF 的余弦值为 错误！未找到引用源； . 考点二 向量法证直线、平面的平行、垂直关系 1.2022 山东临沂高三上期末 如下列图 , 在三棱锥 S ABC中,SC平面 ABC,点 P、M分别是 SC和 SB的中点 , 设 PM=AC=1,ACB=90 , 直线 AM与直线 SC所成的角为 60 . 1 求证 :BC 平面 AMP; 2 求证 : 平面 MAP平面 SAC; 3 求二面角 M AB C的余弦值 . 1 证明 : P,M分别为 SC,SB中点 , PM 错误！未找到引用源；BC.由 PM=1,得 BC=2, 又 BC.平面 AMP,MP. 平面 AMP, BC 平面 AMP. 2

45、 证明 : 分别以 CA、CB、CS所在直线为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 , 如下列图 . 就 A1,0,0, 设 M0,1,mm0, 就 AM 错误！未找到引用源； =-1,1,m,S0,0,2m, 错误！未找到引用源；SC=0,0,-2m, 由直线 AM与直线 SC所成的角为 60 得 , cos 60 =错误！未找到引用源； =22m24m2, 错误！未找到引用m2解得 m=6 3错误！未找到引用源； . 此时 P0,0,6 3,M0,1,源； . 设平面 MAP的法向量是 n=x,y,z, 由错误！未找到引用源；n PA0,得错误！未找到引用源；x6z0,3n MP0

46、,y0,令 z=1, 得 n=错误！未找到引用源； ,0,1. 又平面 SAC的一个法向量为 错误！未找到引用源； =0,2,0, nCB 错误！未找到引用源；=0, n错误！未找到引用源； , 即平面 MAP平面 SAC. 3 解: 设平面 MAB的法向量为 m1=x,y,z, 又错误！未找到引用源； =-1,1, =-1,2,0, 错误！未找到引用源； , 错误！未找到引用源；由错误！未找到引用源；m 1AM0,得错误！未找到引用源；x yy6 3z0,m 1AB0,x20.令 z=错误！未找到引用源； , 得 m1=4,2, 错误！未找到引用源； , 又平面 ABC的一个法向量 m2=0

47、,0,1, cos=错误！未找到引用源；1666=错误！未找到引用源；, 4即二面角 M AB C的余弦值为39 13错误！未找到引用源； . 2.2022 山东临沂高三一模 如下列图 , 在四棱锥 P ABCD中,E 是 PC的中点 ,PA、AB、AD两两垂直 ,AB CD,AB=1,PA=AD=CD=2. 1 求证 :BE 平面 PAD; 2 求证 :BE平面 PCD. 证明 :1 建立如下列图的空间直角坐标系 , 就 B0,1,0,C-2,2,0,P0,0,2, E-1,1,1, BE 错误！未找到引用源； =-1,0,1. 又平面 PAD的一个法向量 n=错误！未找到引用源；=0,1,

48、0, 错误！未找到引用源； n=0, 错误！未找到引用源； n, BE 平面 PAD. 2 设平面 PCD的法向量 m=x,y,z, 又 D-2,0,0,错误！未找到引用源；=0,2,0, PD 错误！未找到引用源；=-2,0,-2, 就由 错误！未找到引用源；m DC0,得错误！未找到引用源；y0,0,xzm PD0,令 z=-1 得 m=1,0,-1. 错误！未找到引用源； =-1,0,1=-m, 即 BE平面 PCD. 考点三 向量法求空间的距离错误！未找到引用源； m, 2022 山东淄博高三上期末考试 在三棱锥 S ABC中, ABC是边长为 4 的正三角 形, 平面 SAC平面 A

49、BC,SA=SC=2错误！未找到引用源； ,M、N分别为 AB、SB的 中点 . 1 证明 :ACSB; 2 求二面角 N CMB 的余弦值 ; 3 求 B 点到平面 CMN的距离 . 1 证明 : 取 AC的中点 O,连接 SO,OB, SA=SC,O为 AC中点, SOAC, 又 ABC是正三角形 ,O 为 AC中点 , OBAC. 又 SOOB=O,AC平面 SOB, SB. 平面 SOB,ACSB. 解:2 平面 SAC平面 ABC,平面 SAC平面 ABC=AC,SO . 平面 SAC,SOAC, SO平面 ABC. 分别以 OA、OB、OS所在直线为 x 轴、 y 轴、z 轴, 建

50、立空间直角坐标系 O xyz, 如 图所示 . 在 Rt AOB中,AB=4,AO=2,OB=2错误！未找到引用源； , 在 Rt SAO中,SA=2 错误！未找到引用源； ,OA=2,SO=2错误！未找到引用源； , A2,0,0,B0,2 错误！未找到引用源； ,0,M1, 错误！未找到引用源； ,0,S0,0,2 错误！未找到引用源；,N0, 错误！未找到引用源； , 错误！未找到引用源； ,C-2,0,0, 错误！未找到引用源； CN =2, 错误！未找到引用源； , 错误！未找到引用源；, NM错误！未找到引用源； =1,0,-错误！未找到引用源； . 设平面 NCM的法向量 m=x

51、,y,z, 由错误！未找到引用源；m CN0,得错误！未找到引用源；2x3y0.2 z0,m NM0,x2z令 z=1, 得 m=错误！未找到引用源； ,- 错误！未找到引用源； ,1, 又平面 CMB的一个法向量 n=0,0,1, cos=错误！未找到引用源； , 就二面角 N CMB 的余弦值是 错误！未找到引用源；1 3. 3 错误！未找到引用源；BM=1,- 错误！未找到引用源； ,0, 设点 B到平面 CMN 的距离为 d, 就 d=| 错误！未找到引用源； | 到引用源；BM m mcos|=错误！未找=错误！未找到引用源；2 3 2 =错误！未找到引用源； , 3即 B 到平面

52、CMN的距离为 错误！未找到引用源；4 3. 2综合检测 1.2022 山东临沂一中高三模拟 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M、N分别是 CD、CC1 的中点 , 就异面直线 A1M与 DN所成的角是 A30 B45 C60 D90 解析 : 以 D为原点 , 分别以 DA、DC、DD1所在直线为 x 轴、 y 轴、z 轴, 建立空间直 角坐标系 D xyz, 如下列图 . 设正方体棱长为 1, 就 D0,0,0,A11,0,1,M0,错误！未找到引用源；,0,N0,1,错误！未找到引用源； , 1A M =-1, 错误！未找到引用源； ,-1,错误！未找到引用源； =0,1, 错误

53、！未找到引用源； , 错误！未找到引用源； 错误！未找到引用源； =错误！未找到引用源； - 错 误！未找到引用源； =0, 错误！未找到引用源； DN 错误！未找到引用源； , 即 A1MDN,异面直线 A1M与 DN所成的角是 90 . 答案 :D 2.2022 山东泰安一模 在三棱柱 ABCA1B1C1 中, 各侧面均为正方形 , 侧面 AA1C1C的 . 对角线相交于点 M,就 BM与平面 AA1C1C所成角的大小是 解析 : 由题意可知 , 三棱柱 ABCA1B1C1是各棱均相等的正三棱柱 , 分别取 AB、A1B1 的中点 O、O1, 连接 OO 1,OC,建立如下列图的空间直角坐标系 O xyz. 设三棱柱棱长为 1, 就 B0,- 错误！未找到引用源； ,0,A0, 错误！未找到引用源； ,0,C-错误！未找到引用源； ,0,0,C 1- 错误！未找到引用源； ,0,1,A 10, 错误！未找到引用源； ,1, M-错误！未找到引用源； , 错误！未找到引用源；1 4, 错误！未找到引用源； ,错误！未找到引用源； =- 错误！未找到引用源；,3 4错误！未找到引用源； , 错误！未找到引用源； . 错误！未找到引用源； =-=0,0,1, 3 2,- 错误！未找到引用源； ,0, 错误！未找到引用源；设平面 ACC 1A1的法向量 n=x,y,z, 0,得错误