Chap Ⅰ 函数、极限与连续041019155731

1、Chap函数是现代数学的基本概念之一，是高等数学的主要研究对象极限概念是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键连续是函数的一个重要性态本章将介绍函数、极限与连续的基本知识和有关的基本方法，为今后的学习打下必要的基础1.一、引言在现实世界中，一切事物都在一定的空间中运动着世纪初，数学首先从对运动（如天文、航海问题等）的研究中引出了函数这个基本概念在那以后的二百多年里，这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置二、集合的概念集合（或简称集）是指具有某种特定性质的事物的总体组成这个集合的事物称为该集合的元素aMaM有限集由有限个元素组成的

2、集合无限集由无穷多个元素组成的集合集合的表示：列举法和描述法A,a,a,B.，b,b,12n12nM帚1%所具有的特湎HI例如，平面xoy上坐标适合方程x2J21的点事,y的全体组成的集合M,y*x,yR,x2y21.自然数集合N整数集合Z有理数集合Q无理数集合;实数集合R复数集合A*.A；Z*,Q*,R*；参考课时：微积分是近代数学中最伟大的成就对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分冯诺伊曼注:冯诺依曼（,匈牙利人），世纪最杰出的数学家之一，在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支，从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面，他都作出了重要贡献他与经济学家合著的博弈论与经济行为奠定了对

3、策论的基础，他发明的“流程图”沟通了数学语言与计算机语言，制造了第一台计算机，被人称为“计算机之父”AA,；N,Z,Q,R子集AB(BA)xAxBNZ;ZQ;QR集合相等ABAB且BA空集不含任何元素的集合()例如事xR,x210.三、集合的运算交集并集差集A交集并集差集A*BlxAxbABlxAxbABlxAx2求f(x)xx2作业：习题、单利与复利利息是指借款者向贷款者支付的报酬它是根据本金的数额按一定比例计算出来的利息又有存款利息、贷款利息、债券利息、贴现利息等几种主要形式单利计算公式设初始本金为p元银行年利率为r则第一年末本利和为sprpp(1r)i第二年末本利和为sp(1r)rp(1

4、2r)2第n年末的本利和为sp(1nr)复利计算公式设初始本金为p元银行年利率为r则第一年末本利和为sprpp(1r)1第二年末本利和为sp(1r)rp(1r)p(1r)22第n年末的本利和为sp(1r)n二、多次付息单利付息情形因每次的利息都不计入本金故若一年分n次付息则年末的本利和为spn-p(Hr)即年末的本利和与支付利息的次数无关复利付息情形因每次支付的利息都记入本金故年末的本利和与支付利息的次数是有关系的设初始本金为p元银行年利率为r若一年分m次付息则一年末的本利和为s靖；m易见本利和是随付息次数m的增大而增加的而第n年末的本利和为sp口-；m三、贴现票据的持有人为在票据到期以前获得

5、资金从票面金额中扣除未到期期间的利息后得到所余金额的现金称为贴现钱存在银行里可以获得利息如果不考虑贬值因素那么若干年后的本利和就高于本金如果考虑贬值的因素则在若干年后使用的未来值相当于本利和就有个较低的现值考虑更一般的问题确定第n年后价值为R元钱的现值假设在这n年之间复利年利率r不变利用复利计算公式有Rp(1Br)n得到第n年后价值为R元钱的现值为p-R-(1Br)n式中R表示第n年后到期的票据金额r表示贴现率而p表示现在进行票据转让时银行付给的贴现金额若票据持有者手中持有若十张不同期限及不同面额的票据且每张票据的贴现率都是相同的则一次性向银行转让票据而得到的现金_n_R_R_RpR12n0(

6、1r)(1r)2(1r)n式中R为已到期的票据金额R为n年后到期的票据0n金额_称为贴现因子，它表示在贴现率r下n年后到(1Br)n期的元钱的贴现值由它可给出不同年限及不同贴现率下的贴现因子表四、需求函数需求函数是指在某一特定时期内市场上某种商品的各种可能的购买量和决定这些购买量的诸因素之间的数量关系假定其它因素如消费者的货币收入、偏好和相关商品的价格等不变则决定某种商品需求量的因素就是这种商品的价格此时需求函数表示的就是商品需求量和价格这两个经济量之间的数量关系qf(P)其中q表示需求量p表示价格需求函数的反函数pf(q)称为价格函数习惯上将价格函数也统称为需求函数五、供给函数供给函数是指在

7、某一特定时期内市场上某种商品的各种可能的供给量和决定这些供给量的诸因素之间的数量关系六、市场均衡对一种商品而言如果需求量等于供给量则这种商品就达到了市场均衡以线性需求函数和线性供给函数为例令qqdsapbcpddbpp0ac0这个价格p称为该商品的市场均衡价格0市场均衡价格就是需求函数和供给函数两条曲线的交点的横坐标当市场价格高于均衡价格时将出现供过于求的现象而当市场价格低于均衡价格时将出现供不应求的现象当市场均衡时有qqqds0图示称q为市场均衡数量0根据市场的不同情况，需求函数与供给函数还有二次函数、多项式函数与指数函数等但其基本规律是相同的都可找到相应的市场均衡点pq00七、成本函数产品

8、成本是以货币形式表现的企业生产和销售产品的全部费用支出成本函数表示费用总额与产量或销售量之间的依赖关系产品成本可分为固定成本和变动成本两马克思资本论部分所谓固定成本是指在一定时期内不随产量变化的那部分成本所谓变动成本是指随产量变化而变化的那部分成本一般地以货币计值的总成本C是产量x的函数即CC(x)(x0)称其为成本函数当产量x0时对应的成本函数值C(0)就是产品的固定成本值设C(x)为成本函数称CC(x0)为单位成本函x数或平均成本函数成本函数是单调增加函数其图象称为成本曲线八、收入函数与利润函数销售某种产品的收入R等于产品的单位价格p乘以生产目的销售量x即RP,称其为收入函数而销售利润L等

9、于收入R减去成本C即LRC,称其为利润函数当LRC0时生产者盈利；当LRC0时生产者亏损；当LRC0时生产者盈亏平衡使L(x)0的点x称为盈亏平衡点又称为保本点0例现有初始本金按单利计算按复利计算按复利计算元若银行年储蓄利率为,例现有初始本金按单利计算按复利计算按复利计算年末的本利加为多少年末的本利和为多少需多少年能使本利和超过初始本金的一倍例某人手中有三张票据其中一年后到期的票据金额是元二年后到期的是元五年后到期的是元已知银行的贴现率现在将三张票据向银行做一次性转让银行的贴现金额是多少例某种商品的供给函数和需求函数分别为Q25P10,Q2005Pds求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量例某批

10、发商每次以元台的价格将台电扇批发给零售商在这个基础上零售商每次多进台电扇则批发价相应降低元批发商最大批发量为每次台试将电扇批发价格表示为批发量的函数并求零售商每次进台电扇时的批发价格例某工厂生产某产品每日最多生产单位它的日固定成本为元生产一个单位产品的可变成本为元求该厂日总成本函数及平均成本函数例某工厂生产某产品年产量为台每台售价元当年产量超过台时超过部分只能按折出售这样可多售出台如果再多生产，本年就销售不出去了试写出本年的收益入函数例已知某厂单位产品时，可变成本为元，每天的固定成本为元，如这种产品出厂价为元，求()利润函数；()若不亏本，该厂每天至少生产多少单位这种产品例某电器厂生产一种新产

11、品在定价时不单是根据生产成本而定还要请各销售单位来出价即他们愿意以什么价格来购买根据调查得出需求函数九W0OP45000.该厂生产该产品的固定成本是元而单位产品的变动成本为元为获得最大利润出厂价格应为多少例已知该商品的成本函数与收入函数分别是C123试求该商品的盈亏平衡点并说明盈R11x亏情况作业：习题4.一、极限概念的引入极限是研究变量的变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上极限方法又是研究函数的一种最基本的方法朴素的极限思想一尺之棰，日取其半，万世不竭一庄周割之弥细所失弥少割之又割以至于不可割则与圆周合体而无所失矣一刘徽割圆术极

12、限悖论龟兔赛跑二、数列的定义称尔DN的函数为数列(序列)xf(n)nx有界M0,xIBM(Hn)nn单调性xxxxxn12nnxxxxx!.n12nn112358314xxx.nnnH2xx121J01x()n)n,n5522、Y卫0.618(黄金分割数)x2n数列，繁殖数列，(马尔萨斯人口论)123n,TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark32 234n12,4,6,8,2n； HYPERLINK l bookmark40 1111 HYPERLINK l bookmark42 I2,4,8，2n1,m,1,m,(,)n几何意义数轴上的一系列动点三、数列的极限1

13、43n(m)n数列2,丁.7,(二，当n越来越无限大234n时，越来越无限地接近于“N”语言数学语言“N”语言数学语言N不唯一“袋子”(形象)lim%A或xAn&R,0nnnN()当nN时xBAn如果数列有极限，也称数列收敛；eg/如果数列没有极限，也称数列发散dgt几何意义(AA/x至多只有有限个点落在n区间以外动态解释()n例已知工，77SK7,证明：limx0n(n11)2nn例设M1，则limqn0n例limn/n1n四、收敛数列的有界性设limxA根据定义，对于1IN当nN时nx(xA)AXAA1A,nnn令MmaxR1,1x1,1xl,1-lA1则12NlxIBM(Un)inn即x

14、有界n收敛数列一定有界逆命题不成立但无界数列必发散五、子数列的收敛性xAxA(lk)nnnkkxAxA,xA推广n2n2n例设xC(C为常数)，证明limxCnnn例设x0,且limxa0,求证limJx4annnnn例用数列极限定义证明lim注n2n13n3例用数列极限定义证明limn221nn2nHl例证明数列x()n.是发散的n作业：习题5.数列可看作自变量为正整数n的函数xf(n)数n列x的极限为4，即：当自变量n取正整数且无限增大n(n)时，对应的函数值f(n)无限接近数a若将数列极限概念中自变量n和函数值f(n)的特殊性撇开，可以由此引出函数极限的一般概念显然，极限A与自变量x的变

15、化过程紧密相关，自变量的变化过程不同，函数的极限就有不同的表现形式一、自变量趋向无穷大时函数的极限用“误差”分析1面义生3xxlimf(x)A改R,0,或(0当1x!X时xf(x)BAf()A几何意义yA喙HHX使曲线yf(x)(1x!X)落在“袋子”之中limf(x)AIAR,0,IX(0当xX时xf(x)BAf(Alimf(x)AAR,0,(0当xHHX时xf(x)BAf(Af()Af(f(Alimarctanx,limarctanxx2x2数学方法：从特殊到一般“X”语言数学语言X不唯一图示动态解释几何意义图示动态解释几何意义图示动态解释nlimarctanx不x1例证明lim一0(k0

16、)xxk二、自变量趋向有限值时函数的极限用“误差”分析lim3x22用“误差”分析lim3x22x印4x1xHlimf(x)A改R,0,0当0 xxxx0时f(x)BA几何意义ByA喙x使曲线yf(x)0“”语言数学语言不唯一limf(x)与f(x)xx0无关图示动态解释0 xx落在“袋子”之中0三、左右极限(单侧极限)三、limf(x)AIAR,0,0当x-喟xx时fxx时f(x)A0图示动态解释左极限f(x0)f(xlimf(x)AIAR,0,0当xxx时xx时f(x)HA0图示动态解释右极限/(x0)f(xIDlimf(x)Af(x0)f(x0)Alim区,lim|x-J1；x0l证明x

17、0 xIxI-lim不x0 x证明limccxx0limxxxx01，此处c为常数证明lim(2x1)1x1例证明lim上!E2x1x1例证明当x0时，lim、Xcj0 xx001当x0例设f(x)二0当x0，求limf(x)limf(x)不|x1当x0 x0 x.0抛开上述七种极限n,x,x,xx,xx00的具体涵义，抽象出共同点“任给一个误差限制可找到一个范围在该范围误差小于限制”就可得到一般的极限概念limA改R,0时亥U)T0当tT时A四、极限的性质唯一性设limA则A唯一反证法，同一法局部有界性设lim则在某范围有界保号性设limA(110，则在某范围(国0逆命题不成立弱保号性设li

18、mA,在某范围00则Ag0推论设lim在某范围AB则AlimB数列极限与函数极限的关系lim设(x)Axx0 xx,xx,limf(x)An0n0nnx可为,x00例证明：limsnC0 xxj1x例证明limxx1作业：习题数学抽象方法的逆否命题6.一、无穷小的概念对无穷小的认识问题，可以远溯到古希腊，那时，阿基米德就曾用无限小量方法得到许多重要的数学结果，但他认为无限小量方法存在着不合理的地方直到年，柯西在他的分析教程中才对无限小(即这里所说的无穷小)这一概念给出了明确的回答而有关无穷小的理论就是在柯西的理论基础上发展起来的为无穷小量lim00,T0当tT时1无穷小量不是是无穷小量二、无穷

19、小与变量极限的关系imAA(lim0)三、无穷小的运算性质lim0M则lim0无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量有限个无穷小量的和、差、代数和、积、线性组合仍为无穷小量四、无穷大的概念为无穷大量11mHM0,IT0当tT时M为正无穷大量limHM0,IT0当tT时M为负无穷大量limHM0,IT0当tT时M不成立没有任何问题可以像无穷那样深深地触动人的感情，很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想，然而也没有任何其它的概念能像无穷那样需要加于阐明大卫希尔伯特与过程有关分析定义非常重要五、各种极限的分析定义见六、无穷小与无穷大的关系1一limlim-01lim0,0lim-有限个无

20、穷大量的积为无穷大量lim%cos%Xj1一一一、.例证明y%2sin一当0时为无穷小%例求limsin%X%j1例证明lim%i%.例证明lim(a%Hl)a1)%ii.11一.一一、一_例当%0时sin是一个无界变量但不、是无穷大%例求lim%4%35作业：习题无穷大量与有界变量的乘积不一定为无穷小量(1)limnxxxA0N当nN时1xA!n0X0当IxIBX时If(x)A0X0当xX时If(x)A0X0当xHHX时If(x)A00IN当nN时xt0X0当IxIX时If(x)I0X0当xX时If(x)I0X0当xHHX时If(x)M0IN当nN时1xIBMnM0X0当IxIX时If(x)

21、IMM0X0当xX时If(x)IMM0X0当xHHX时If(x)IMM0IN当nN时xMnM0X0当IxIBX时f(x)MM0X0当xX时f(x)MM0X0当xHHX时f(x)MM0IN当nN时xBIMfnM0X0当IxIBX时f(x)”M0X0当xX时f(x)M0X0当xHHX时f(x)”limXX0XX0XX0limA0,0当0 xx1时0If(X)A10,0当XXX时00If(X)A0,0当XXX时00If(X)A0T0当tT时IA00,0当0XX时0If(X)0,0当x10 xx时00If(X)0,0当XXX时00If(X)0T0当tT时IIBBM0,0当0XX时0If(X)I-MM0

22、,0当X10XX时00If(X)I-MM0,0当XXX时00If(X)I-MM0T0当tT时IIBMM00当0XX时0f(X)MM00当X10XX时00f(X)MM00当XXX时00f(X)MM0T0当tT时MM0,0当0XX时0f(X)M0,0当X10XX时00f(X)M0,0当XXX时00f(X)M0T0当tT时HIM7.设limA,limBlimA,limB,.A!Blim-0)(AB)(ab(a-BnaaiaHAB;AB.lim()ABlimlimlimABlimmlimlimABlimmlimA则Blim(B0)传统经典证明和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商若AB有意义则l

23、imABlimlim(m)(，)(m)(，)lim;limCClim;limiiilim.ii极限符号可与有限求和、有限连乘符号交换次序有限个变量四则运算的极限等于极限的四则运算代数和的极限等于极限的代数和线性组合的极限等于极限的线性组合形式复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则设fg(x)在点x的某去心邻域内有定义且g(x)0limf(u)A则limfg(x)limf(u)Ami3x27xH53例limx2x26x92例limPn9hII0|IIHnP5)I1.3x22x1_例lim2x1x2.1因式分解例例.n/1H印.1lim-xxn例3晨婢2,2lim-Ix2屈理3/分子、分母有

24、理化，广义因式分解例lim(.上)1n.n2n2n22易犯错误，积累例lim(.1)1n135(2nHl)(2nBl)2拆项，推广分子有理化limQ，琳2nn-n2n).1例n例xnHllimx1xm；lim(%:x21xnHllimx1xm；lim(%:x21x弋x21x)不xlim(sin%.xHlsin%.x)x已知lim(5xtax2bxc)2x作业：习题8.一、极限存在准则两边夹定理夹逼定理设在某范围limAlim则limA单调有界数列必有极限(xcgtcgt0,.(当n,mN时n!n!1lim0(0-)nnnlim(Innn21(二nn2nlimn二、两个重要极限I、limx0nn

25、nxxnm1M,1kn)n2knn21(2cos-n2nsinxtanx11limsinxxtanx(0 x2x,1limx不(sinxsinxx(x0)IsinxIHxI(xRsin(x)tan,x)lim11lim,(lim(x)0)图示解释经典证明图示解释柯西收敛准则理论意义了解重点先讲无穷小的比较主要用于处理与三角函数和幂函数有关的0型极0limX0sinaxa1limxsin1tanbxbX.一,1limxsin0limnxMlimX0limXlimX0arcsinxyarcsinxlimy0sinylimX0tanxsinx原式limx0 xz.(sin_xX3tanx)0例lim

26、xasinxsina,cosa三角函数的变换必须非常熟悉eeK2.7182818284590451II、lim(1B-)nenlanX(1-nnn1Hln(n)J.2!n2n(n)(n2)J3!n!1)(12)nn2!n3!nn(1nn(1nn1n!nI1)(1.)(11nB13!nB1n1).1B)nHln(n.1)nHl112x11一一1_1113!12!L)213()n32!3!X”且2limX3Ik1,n_,UnxnH1xn(1二)n11.e_n1_(1)n(1)x1-_1_nHlnHlnHl(11)x(1U)x(11)n(11)n(11)exnnnnlim(1i)xe；又lim(1B

27、i)xe；xxxxlim(1Bi)xelim(1Bt)；exxt01lim(1-x)/)e,(lim(x)0),一，111例lim(1B一)n1;lim(1B-)20;lim(1-)n2nn2nnnnn2例lim()nenn3例lim(tanx)tan2xexJ4例lim1nx)limln(1Bx)：lnlim(1x)：(?)lne1x0 xx0 x0例limfL?：yexBilimy1x0 xy01n(1y)三、连续复利设初始本金为p元银行年利率为r按复利付息若一年分m次付息则第n年末的本利和为sp：-:；m如果利息按连续复利计算即计算复利的次数m趋于无穷大时t年末的本利和为splim，-:

28、pert若要年mm末的本利和为则初始本金pset1例lim(12n3n)nn主要用于处理1型极限提出问题TOC o 1-5 h z111例lim?11；n就2(n1)2(nn)2例limJn111n例limxX0 x例设xJ3,x/3x,xJ3x-求limx21nnnn例设a0为常数数列xn由下列定义axtf.n1,2,)n2.nx.n其中x为大于零的常数，求limxn.0nn例一投资者欲用元投资年设年利率为试分别按单利、复利、每年按次复利和连续复利付息方式计算到第年末该投资者应得的本利和A注连续复利的计算公式在其它许多问题中也常有应用如细胞分裂、树木增长等问题作业：习题9.一、无穷小的比较无

29、穷小比的极限不同反映了无穷小趋向于零的快慢程度不同设limlim0,lim:l,l0时称为比高阶的无穷小量；o()；l时称为比低阶的无穷小量；0l1时称与为同阶的无穷小量；O()lH1时称与为等价的无穷小量；如果某种关系“U”满足以下性质反身性A-A；对称性ABBA；传递性A.B,BCA_C则称该关系“u”为等价关系，马.d“朋友”nrsx印_x(x0)n设limlim,lim!l则l时称为比高阶的无穷大量；l0时称为比低阶的无穷大量；0l1时称与为同阶的无穷大量；等号的含义x2(x遇ax0)x3o(x)但x2x3三、l1时称与三、l1时称与为等价的无穷大量；常用等价无穷小tanxarcsin

30、x_arctanx_ln(1x)_LexM;x1.;1cosxnxlna(?).等价无穷小替换定理设limlimlimlimlim则lim则limlim.例.巫互则处亘亘等价无穷大量也可以替换x0(2618x51)(419x7Hl)等价无穷大量也可以替换4x3J6x9lim213-(n：TBxnx)1TOC o 1-5 h zx.0IBx59xx7n32611“四、等价无穷小的充要条件.设limlim0，则o()例证明当x0时4xtan3x为x的四阶无穷小tanxsinx例limx0sin32xlimx01tanxlimx01S2xH例lim融作业：习题10.客观世界的许多现象和事物不仅是运动

31、变化的，而且其运动变化的过程往往是连绵不断的，比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等，这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是函数的连续性本节将要引入的连续函数就是刻画变量连续变化的数学模型、世纪微积分的酝酿和产生，直接肇始于对物体的连续运动的研究例如伽利略所研究的自由落体运动等都是连续变化的量但直到世纪以前，数学家们对连续变量的研究仍停留在几何直观的层面上，即把能一笔画成的曲线所对应的函数称为连续函数世纪中叶，在柯西等数学家建立起严格的极限理论之后，才对连续函数作出了严格的数学表述连续函数不仅是微积分的研究对象，而且微积分中的主要概念、定理、公式法则等，往往都要求函数具有连续性一

32、、无穷小的比较增量改变量小xx,xxMX；00好f(x)f(x)f(xMx)f(x)；000f(x)f(x)f(x)00f(x)在xx点连续limiy00lx0limf(x)f(x)xx000,x)当1xx时f(x)f(x)10001设limf(x)Ax,limx则limf()A00 xx0f(x)在x点连续limf(x)f(x)f(limx)0 xx00 xx0自变量增量函数增量图示几何意义有向线段分析连续性极限值等于函数值分析定义与极限的区别x可为,x-00f(x)在x点连续limBxlimf()f(x)f(lim)000极限符号可与连续函数符号交换次序二、左右连续f(x)在x点连续f(x

33、0)f(x0)f(x)0000单侧连续左连续f(x0)f(x)；00右连续f(x0)f(x)00三、连续函数与连续区间f(x)在D连续f(x)在D的每一点连续f(x)C(D),f(x)C(a,b),f(x)Ca,b闭区间连续端点a,b单侧连续四、函数的间断点不连续点也叫间断点间断点的分类第I类间断点f(x0),f(xB0)00“”可去间断点“”不可去间断点跳跃间断点第n类间断点f(x0),f(x0)至少有一个不00无穷间断点；振荡间断点例f(x)；tanxxk21类可去间断点定义f(k5)0则连续22x0I类可去间断点定义f(0)1则连续xk(k0)n类无穷间断点例f(x)tanxtan/x有可列个间断点：x0,叫,，1，一，23n图示仅在x0点连续S1,xQ无连续点；|f(x)|无间断点,xRQ仅在有理数点连续黎曼函数证明f(x)x0在x0处连续x0设f(仅在有理数点连续黎曼函数证明f(x)x0在x0处连续x0设f(x)是定义于”,b上的单调增加函数x(a,b)0如果limf(x)存在试证明函数f(x)在点x处连续2,讨论f(x)2,xI0 x0在x0处的连续性x0已知f(x)x0在点x0处连续，求b的值x0证明函数ysinx在区间()内连续求下列函数的间断点并判断其类型若为可去间断点试补充或修改定义后使其为连续点f(x)/xl(x2Bl)I0,x,及0 x作业:讨论f(