2022-2023学年北京樱花园中学高三数学理联考试题含解析

1、2022-2023学年北京樱花园中学高三数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，要使函数恰有一个零点，则实数m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 参考答案：B【分析】先利用导数求出函数的单调性和极值，画出函数的大致图象，令，由函数的图象可知方程，只能有一个正根，且若有负根的话，负根必须小于，分类讨论，即可求解【详解】由题意，函数，则，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以函数的最小值为，函数的大致图象，如图所示：函数恰有一个零点，等价于方程只有一个根，令，由函数的图象可知方程，只能有

2、一个正根，且若有负根的话，负根必须小于，当时，方程为，符合题意，当时，若，即时，方程为，解得，符合题意，若，即时：设，（）当时，二次函数开口向下，又，要使方程只有一个正根，且负根小于，则，即，可得，（）当时，二次函数开口向上，又因为，则方程有两个不等的正根，不符合题意，综上所求，实数的取值范围是：或，故选：B【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中把函数的零点问题转化为方程的解，构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，结合根的分布求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力2. 设a，bR，则“a+b1=2-1”是“ab=-2”的 A充分不必要条件 B必要不

3、充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：A3. 有六名同学数学竞赛选拔赛，他们的编号分别是16号，得第一名者将参加全国数学竞赛。今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜：不是1号就是2号；乙猜：3号不可能；丙猜：4号、5号、6号都不可能；丁猜：是4号、5号、6号中的某一个。以上只有一个人猜测对，则他应该是（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁 参考答案：C4. Direchlet函数定义为：，关于函数的性质叙述不正确的是（ ）A的值域为 B为偶函数 C不是周期函数 D不是单调函数参考答案：C略5. 定义域是一切实数的函数，其图像是连续不断的，且存在常数()使得 对任意实数

4、都成立，则称是一个“伴随函数” 有下列关于“伴随函数”的结论：是常数函数中唯一一个“伴随函数”；“伴随函数”至少有一个零点；是一个“伴随函数”；其中正确结论的个数是 （ ）A1个； B2个； C3个； D0个；参考答案：A设是一个“伴随函数”，则，当时，可以取遍实数集，因此不是唯一一个常值“伴随函数”，故不正确；令，得，所以，若，显然有实数根；若，又因为的函数图象是连续不断，所以在上必有实数根因此任意的“伴随函数”必有根，即任意“伴随函数”至少有一个零点，故正确。用反证法，假设是一个“伴随函数”，则（x+）2+x2=0，即（1+）x2+2x+2=0对任意实数x成立，所以+1=2=2=0，而此式

5、无解，所以f（x）=x2不是一个“伴随函数”，故不正确；所以正确的为1个，选A.6. 若函数（ ） A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数 C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数参考答案：D7. 已知函数是定义在上的偶函数，为奇函数，当时，log2x，则在内满足方程的实数为A B C D 参考答案：C8. 复数，则它的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：C试题分析：复数的共轭复数为，在复平面内对应点的坐标为，所以位于第三象限。选C考点：复数的概念及运算9. 已知数列满足，且，则的值是()A B C D参考答

6、案：D10. 设，且满足则（ ）A1 B2 C3 D4参考答案：，.考点：1.函数图象2.三角函数的性质.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若直线y=kx与曲线y=x2+x所围成的封闭图形的面积为，则k= 参考答案：1+或1考点： 定积分专题： 导数的概念及应用分析： 先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限和积分上限，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义建立等式，即可求出k的值解答： 解：函数的导数为f（x）=2x+1，则f（0）=1，将y=kx代入y=x2+x得x=0或x=k1，若k1，则对应的面积S=（kxx2x）dx=（k1）x23|=（k

7、1）3（k1）3=（k1）3=，即（k1）3=，即k1=，即k=+1，若k1，则对应的面积S=（kxx2x）dx=（k1）x23|=（k1）3（k1）3=（k1）3=，即（k1）3=，即k1=，即k=1，综上k=1+或k=1，故答案为：1+或1点评： 本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，属于中档题12. 函数y=的单调递增区间是参考答案：0，【考点】两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象【专题】三角函数的图像与性质【分析】化简可得y=sin（x+），解不等式2kx+2k+可得函数所有的单调递增区间，结合x0，可得【解答】解：化简可得y

8、=sinxcos+cosxsin=sin（x+），由2kx+2k+可得2kx2k+，kZ，当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为，由x0，可得x0，故答案为：0，【点评】本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数的单调性，属基础题13. 已知函数的图象恰好经过三个象限，则实数a的取值范围是_参考答案：或【分析】分类讨论函数的单调性，计算在上的最小值，根据函数经过的象限得出最小值与零的关系，从而求出实数的取值范围.【详解】（1）当时，在上单调递减，又，所以函数的图象经过第二、三象限，当时，所以，若时，恒成立，又当时，所以函数图象在时，经过第一象限，符合题意；若时，在上恒成立，当时，令，解，所以

9、在上单调递减，在上单调递增，又所以函数图象在时，经过第一象限，符合题意；（2）当时，的图象在上，只经过第三象限，在上恒成立，所以的图象在上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当时，在上单调递增，故的图象在上只经过第三象限，所以在上的最小值，当时，令，解得，若时，即时，在上的最小值为，令.若时，则在时，单调递减，当时，令，解得，若，在上单调递增，故在上的最小值为，令，所以；若，在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为，显然，故；结上所述：或.【点睛】本题考查了函数单调性的判断和最值计算，考查了数学运算能力.14. 若 二项展开式中的第5项是常数项，则中间项的系数为 参考答案：160略15.

10、 已知x，y满足约束条件，则的取值范围为_参考答案：【分析】先画出可行域，求的范围，再求的取值范围。【详解】由题得，可行域为图中阴影部分所示，则，作直线，结合图像可知，所以有。【点睛】本题考查线性规划的有关知识和数形结合的思想。16. 的展开式中的系数是 参考答案：17. 已知P是双曲线上的一点,F1，F2是双曲线的两个焦点，且F1PF2=60,则= ，SF1PF2= 。参考答案：36，略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的

11、极坐标方程为.（）求曲线C1的极坐标方程及曲线C2的直角坐标方程；（）已知曲线C1，C2交于O，A两点，过O点且垂直于OA的直线与曲线C1，C2交于M，N两点，求的值.参考答案：（）曲线的参数方程为（为参数），利用平方关系可得：，化为直角坐标方程.利用互化公式可得：曲线的极坐标方程为，即.曲线的极坐标方程为，可得：，可得：曲线的直角坐标方程为.（）联立，可得，设点的极角为，则，可得，则，代入，可得：.，代入，可得：.可得：.19. 已知抛物线E：y2=2px（p0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：（x2）2+y2=1的两条切线，切点为M，N，|MN|=（1）求抛物线E的方程（2）设A、B是

12、抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且=（其中O为坐标原点）求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值参考答案：【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）求得K的坐标，圆的圆心和半径，运用对称性可得MR的长，由勾股定理和锐角的三角函数，可得CK=3，再由点到直线的距离公式即可求得p=2，进而得到抛物线方程；（2）设出直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定点Q；运用弦长公式和四边形的面积公式，换元整理，结合基本不等式，即可求得最小值【解答】（1）解：由已知可得K（，0），圆C：（x

13、2）2+y2=1的圆心C（2，0），半径r=1设MN与x轴交于R，由圆的对称性可得|MR|=，于是|CR|=，即有|CK|=3，即有2+=3，解得p=2，则抛物线E的方程为y2=4x；（2）证明：设直线AB：x=my+t，A（，y1），B（，y2），联立抛物线方程可得y24my4t=0，y1+y2=4m，y1y2=4t，=，即有（）2+y1y2=，解得y1y2=18或2（舍去），即4t=18，解得t=则有AB恒过定点Q（，0）；解：由可得|AB|=|y2y1|=?，同理|GD|=|y2y1|=?，则四边形AGBD面积S=|AB|?|GD|=?=4，令m2+=（2），则S=4是关于的增函数，则当

14、=2时，S取得最小值，且为88当且仅当m=1时，四边形AGBD面积的最小值为8820. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）.在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，求.参考答案：解法一：（1）由得的普通方程为， 1分又因为， 所以的极坐标方程为 由得，即， 所以的直角坐标方程为（2）设的极坐标分别为，则 由消去得， 化为，即，因为，即，所以，或， 即或所以 解法2： （1）同解法一 （2）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的

15、圆 将的参数方程化为标准形式(其中为参数)，代入的直角坐标方程为得，整理得，解得或 设对应的参数分别为 ，则所以，又因为是圆上的点，所以 解法3： （1）同解法一 （2）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆 又由得的普通方程为， 则点到直线的距离为， 所以，所以是等边三角形，所以， 又因为是圆上的点，所以 21. 某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表： 支持不支持合计中型企业8040120小型企业240200440合计320240560（）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业

16、规模”有关？（）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望附：K2=P（K2k0）0.0500.0250.010k03.8415.0246.635参考答案：解：（）K2=5.657，因为5.6575.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关（4分）（）由（）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家设9家获得奖励的企业中，中小企业

17、分别为m家和n家，则（m，n）可能为（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）与之对应，X的可能取值为90，130，170，210（6分）P（X=90）=，P（X=130）=，P（X=170）=，P（X=210）=，（10分）分布列表如下：X 90 130 170 210P 期望EX=90+130+170+210=180（12分）考点： 独立性检验的应用专题： 应用题；概率与统计分析： （）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K25.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（）按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家X的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X的分布列和期望解答： 解：（）K2=5.657，因为5.6575.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关（4分）（）由（）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家设9家获得奖励的企业