高数09-2多元函数的极限

1、 第 9 章 第 2 节2. 1 多元函数的极限2.2* 二次极限2.3 多元函数的连续性多元函数的极限与连续 2.1 多元函数的极限定义 2.1(x0 , y0) 是 D 的聚点.若存在常数 A ,使得当(x, y) D 并且存在相应的 0,时, 都有则称 A 为记作设 f ( x, y ) 是定义在 D R2 上的二元函数,使得对任意 0,或等价定义(用方邻域):使得当时, 都有并且类似地, 可以定义三元函数以至于 n 元函数的极限.(x, y) D ,补充例 1用定义证明证因此注意到补充例 2 设证明证因此总有注意到并且当关于一元函数的极限的运算法则,例如四则运算,理,复合函数的极限等,

2、对于多元函数的极限仍然成立.例 2.2求极限解令因此于是由极限的四则运算的法则, 得夹挤定根据定义 ,于不同值或极限不存在，若动点 (x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,是否存在.则可以断定函数的极限不存在.则有由于当 k 取不同值时, 极限不同 !故该极限不存在.函数趋例 2.3意味着动点以任意函数 f ( x, y ) 都趋近于同一极限 A .讨论极限解方式趋近于 时,因此,若动点 以不同方式趋近于 时,2.2* 二次极限在 2.1节讨论的极限若对任意的类似地可以定义另一顺序的二次极限:称为二重极限.存在极限并且极限 存在,则称 为先的二次极限(或称为累次极限),

3、记作下面定义二次极限.时(1) 仅知其中一个存在或两个存在,不能保证另一个(2) 如果它们都存在, 则三者相等.二重极限, 两个二次极限相互之间的关系:也存在.由结论 (2) 知道,若两个二次极限都存在, 但不相等, 则二重极限不存在.结论 (2) 需要证明, 但这里从略.这个结论有时可以用了判定二重极限不存在.例 2.4讨论下列函数在点 (0, 0) 处的二重极限与二次极限:解(1) 当 时,所以当 时,根据结论 (2) ,二重极限两个二次极限都存在但不相等.不存在.因为当 时,(2)所以不存在.由于所以极限极限 不存在,因为当 时,因此二重极限(3)由于而不存在,因此极限不存在,从而二次极

4、限不存在.类似地可知另一顺序的二次极限因此二重极限由于也不存在.设则例 2.5略(用下面的补充例代替).补充例但由例 2.3 知道 在点 处的二重极限不存在 .2.3 多元函数的连续性 如果则称在点处连续. 如果函数 f ( x, y ) 在 D 上各点处都连续, 但 在点处不连 则称为间断点 .定义 2.2设 f ( x, y ) 是定义在 D R2 上的二元函数,(x0 , y0) 是 D 的聚点,并且 (x0 , y0) D .在 D 上连续.则称 f ( x, y )若(x0 , y0) 是 D 的聚点,续, 由常数和不同变量 (例如 x, y 等) 的一元基本初等函数,经过有限次四则

5、运算和有限次复合得到多元函数称为多元初等函数.结论:例如, 函数在平面上的其它点处是连续的.上除在圆周不连续,又如,函数在点 (0 , 0) 处极限不存在, 故 (0 , 0) 为其间断点.多元初等函数在其定义区域内是连续的.根据连续函数的定义,若 f ( x, y ) 在点 (x0 , y0) 处连续,则成立这有时可以用来求极限.解例 5 求定理 2.1 - 定理 2.4 f ( x, y ) 在 D 上是一致连续的. f ( x, y ) 在 D 上可取得最大值和最小值.(3) 介值定理:(1) 有界性定理: (4) 一致连续性定理: 有界闭域上多元连续函数有与一元函数类似的性质. 证明 略 . 设 f ( x, y ) 在有界闭域 D 上连续, 则下面以二元函数为例, 叙