博弈论与信息经济学完全信息静态博弈

1、博弈论与信息经济学第一章 完全信息静态博弈 1838年库诺特（Cournot）寡头竞争模型（数量战） 1883年伯川德（Bertrand）寡头竞争模型（价格战） 1944年冯诺依曼和摩根斯坦发表博弈论和经济行为 1950年纳什（Nash）提出了纳什均衡的概念。 1965年泽尔腾（Selten）提出了子博弈精炼纳什均衡的概念 19671968年海萨尼（Harsanyi）提出了贝叶斯纳什均衡的概念博弈论概述：发展历程 19751991年泽尔腾（1975）、Kreps和Wilson（1982）、Fudenberg和Tirole（1991）提出了精炼贝叶斯纳什均衡的概念. 1994年纳什、海萨尼和泽尔

2、腾获诺贝尔经济学奖。博弈论概述：发展历程1996年维克里，米尔利斯获诺贝尔经济学奖。2001年阿克尔洛夫、斯彭斯和斯蒂格利茨获诺贝尔经济学奖。2005年奥曼和谢林诺贝尔经济学奖博弈的分类分类是一种深化认识的方法。博弈可以根据不同的标志从不同的角度进行多种分类。通过分类我们将对博弈有进一步的了解，同时对博弈理论的结构体系有初步的认识. 按参与人的多少分：二人博弈和多人博弈. 按策略空间是否有限分：有限策略博弈和无限策略博弈. 按各策略组合下参与人支付之和情况分：零和博弈、常和博弈和变和博弈. 按参与人行动的顺序分：静态博弈和动态博弈. 按信息是否完全分：完全信息博弈和不完全信息博弈. 按参与者是

3、否能达成具有约束力的协议分：非合作博弈与合作博弈博弈理论体系的结构框架按下面博弈类型安排：静态动态完全信息完全信息完全信息静态博弈动态博弈不完全信息不完全信息不完全信息静态博弈动态博弈博弈论的基本概念1、囚徒困境 囚徒2 坦白 抵赖 囚 坦白 徒 1 抵赖 1、参与人(局中人)Players:一个博弈中的决策主体，他们各自的目的是通过选择行动（策略）以最大化自己的目标函数（效用水平/支付函数）。他们可以是自然人或团体或法人，如企业、国家、地区、社团、欧盟、北约等。 虚拟参与人（pseudo-player）:指“自然” （nature）、“上帝” God，也即决定外生的随机变量的概率分布的机制。

4、“某事在人、成事在天”的“天”；如出远门去旅游，可能很开心，也可能很尴尬（生病住医院），两者概率分布90%、10%或98%与2%或其他，由上帝决定。 在以后的讨论中，我们记参与人为i,参与人集合记为，即=1,2, ,i , ,n ,即该博弈中共有n个参与人；为了讨论的方便，把某个参与人i之外的其他参与人称为的i对手记为- i ； N代表自然。 对参与人的决策来说，最重要的是必须有可供选择的行动集（策略集）和一个很好定义的支付函数。理性（rational)的两种定义 1. 如果一个决策者在追逐其目标时能前后一致地做决策，就称他是理性的。2. 广义而言指的是一种行为方式，就是在给定的约束条件下追求

5、效用最大化。具体地讲，理性大致有以下三项内容：（1）存在一组可供选择的备选或替代方案；（2）每一种方案均对应着某种特定的预期净收益或满足程度或目标实现程度；（3）人们总是选择那个能够带来最大预期净收益的方案。讨论：人真的是理性的吗？2. 行动（action or moves）行动是参与人在博弈的某个时点的决策变量。一般地，我们用ai表示第i个参与人的一个特定行动，Ai=ai表示可供i选择的所有行动的集合。在n人博弈中，n个参与人的行动的有序集a=（a1,.,ai,.an）称为行动组合，其中的第i个元素表示第i个参与人的行动。行动的顺序（the order of play）博弈中参与人实施决策活

6、动的顺序。同时或有先有后。其他因素不变，但顺序不同，参与人的最优选择就不同，博弈的结果也不同。事实上，不同的顺序安排意味着不同的博弈。静态博弈和动态博弈。 3. 信息（information）参与人有关该博弈的知识，如关于N的选择、其他参与人的策略集、支付函数、行动时间等。信息集（information set）主要出现在动态博弈中，可理解为参与人在特定时刻上对有关变量的值的知识；一个参与人无法准确知道的变量的全体属于一个信息集。买古董。完美信息（perfect information）指一个参与人对其他参与人（包括N）的行动选择有准确了解的情况，即一个信息集只包含一个值。动态博弈的概念。完全

7、信息（complete information）：指N不首先行动或N的初始行动被所有的参与人准确观察到的情况，即没有事前的不确定性。完全信息意味着各个参与人的支付函数是共同知识。 显然，不完全（incomplete）信息意味着不完美（imperfect）信息。共同知识（common knowledge） 是与信息有关的一个重要概念。共同知识指“所有参与人知道，所有参与人知道所有参与人知道，所有参与人知道所有参与人知道所有参与人知道”。在博弈论中，一般假定参与人的行动空间Ai和行动顺序是共同知识。一个关于共同知识的小游戏A还是B？两个人的推理过程：我看到你身上的A，如果我身上是B的话。因为我们俩

8、至少有一个人身上是A，因此你因此判断自己身上的是A。但是由于你没有说，因此我可以断定自己身上是A。脏脸博弈题目：三个学生的脸都是脏的，但是他们各自都看不到自己的脸。老师对他们说，你们中至少有一个人的脸是脏的。三个学生对视一番后无人举手，随即又都举手表明自己的脸是脏的。请问为什么？脏脸博弈的推理过程三个人分别称为1号，2号，3号1号看到2号和3号的脸是脏的，他就做了以下推理：首先1号假设自己的脸是干净的，那么2号将会看到一张干净的脸和一张脏脸。因此（1号知道）2号会想：“如果我（2号）的脸是干净的，那么3号将会看到两张干净的脸，那么他就知道自己的脸是脏的，因此他就会举手说自己的脸是脏的。但他并没

9、有举手，这就表明我（2号）的脸是脏的。”因此2号就会举手说自己的脸是脏的。但事实上2号也没有举手，这就表明了1号最初的假设（自己的脸是干净的）是错误的。因此1号可以断定自己的脸是脏的。同理每个人都会做这样的推理，因此在观察到没有人举手的情况下，他们都会举手表明自己的脸是脏的。共同知识以上的推断不仅要求每个参与人是理性的，还要求每个参与人知道每个参与人是理性的，以及每个参与人知道每个参与人知道每个参与人是理性的，等等。例如在两个人的例子中，你是理性的，所以如果你看到我身上的B就知道你身上的是A，但正因为我知道你是理性的，所以我才可以站在你的立场上推理。也因为我知道你知道我是理性的，因此我知道你也

10、会站在我的立场上推理。 4. 策略（strategies ）:又称策略，是参与人在给定信息集的情况下的行动规则，它规定参与人在什么时候的什么情况下采取什么行动。因而一个策略是参与人的一个“相机行动方案”（contingent action plan）。记参与人i的一个策略为si，参与人i在一个博弈中的全部可供选择的策略记为Si（策略集strategy set），即si Si ， Si =s1 ,s2 , si , sn,表示参与人i 在该博弈中共有n个可行的策略。如果n个参与人每人从自己的Si中选择一个策略si,则向量s=（ s1,s2,si, sn）是一个策略组合(strategy prof

11、ile),参与人i之外的其他参与人的策略组合可记为s-i=（ s1,s2,si-1 ,si+1 , sn）。注意： 1. 策略与行动是两个不同的概念，策略是行动的规则（告诉参与者在什么情况下应该做什么）而不是行动本身。回顾上章提到的父亲和女儿的博弈。 在静态博弈中，由于参与人同时行动，没有人能掌握他人的之前行动的信息，故没有可针对的行动，从而策略的选择就变成了行动的选择，即策略和行动是同一的. 2. 作为一种行动规则，策略必须是完备的，就是说，策略要给出参与人在每一种可能想象到的情况下的行动选择，即使参与人并不预期这种情况会实际发生。5. 支付（payoffs）：参与人从各种策略组合中获得的收

12、益。收益往往采用效用（utility）概念。它或者是一个特定策略组合下某个参与人得到的确定效用水平，或者是期望效用水平。它是策略组合的函数，所以也称支付函数（payoff function），记为ui(s)，ui(s)= ui(s1, s2, ,si,sn-1,sn). 1. 博弈的一个基本特征是一个参与人的支付不仅取决于自己的策略选择，而且取决于所有其他参与人的策略选择；是策略组合的函数。 2. 支付是参与人真正关心的东西，参与人在博弈中的目标就是选择自己的策略以最大化自己的支付函数。注意6. 均衡（equilibrium）均衡是所有参与人的最优策略组合。一般记为s*=（ s1*,s2*,s

13、i*, sn*）7. 结果（outcome）结果是（博弈达到均衡时）博弈分析者所感兴趣的所有东西，包括均衡策略组合，均衡行动组合，均衡支付组合等。博弈的策略式表述策略式表述又称为标准式表述，包括以下几方面的内容：1. 博弈的参与人集合=1,2, ,i , ,n 2. 每个参与人的策略空间Si, i=1,2, ,n 3. 每个参与人的支付函数ui(s1, s2, ,si,sn-1,sn)， i=1,2, ,n 策略式表述更适合于静态模型，但也可用于动态模型。博弈的策略式表述 囚徒困境 囚徒2 坦白 抵赖 囚 坦白 徒 1 抵赖G=S1 ,，Sn ；u1, ,un 博弈分析的目的：预测博弈的均衡结

14、果，即给定每个参与人都是理性的是共同知识，什么是每个参与人的最优策略？什么是所有参与人的最优策略组合？占优策略均衡（严格）占优策略与占优策略均衡的定义：见课本。一个参与人的最优策略可能并不依赖于其他参与人的策略选择，就是说，不论其他参与人选择什么策略，他的最优策略都是唯一的，这样的最优策略被称为“占优策略（dominant strategy）”。囚徒困境博弈中的占优策略均衡 囚徒困境 囚徒2 坦白 抵赖 囚 坦白 徒 1 抵赖智猪博弈有一头大猪和一头小猪住在同一个猪圈里，猪圈的一侧放者猪食槽，另一侧安装着一个控制食物供应的按钮。按一次按钮，有8个单位的食物进槽，但需承担2个单位的成本。偌大猪小

15、猪同时到达猪食槽，大猪吃到5个单位的食物，小猪吃到3个单位的食物；若大猪先到，大猪吃7个单位的食物，小猪只能吃到1个单位；若小猪先到，小猪吃到4个单位食物，大猪也吃到4个单位食物。智猪博弈中的占优策略 小猪 按 等待 按 3，1 2，4 大猪 等待 7，-1 0，0请列举“搭便车”的现象冲开水、搞卫生；股市上庄家与散户劣策略和严格劣策略令si 和si是参与人i可选择的两个策略,如果对于其他参与人任何选择s-i=（s1，si-1 , si+1 ,，sn），参与人i从si 得到的支付严格小于从si得到的支付，即：ui(si , s-i ) ui(si , s-i ), s-i 我们说策略si 严格

16、劣于策略si“重复剔除严格劣策略（iterated elimination of strictly dominated strategies）”首先，找出某个参与人的严格劣策略，并把它从他的策略空间中剔除，重新构造一个已不包含该严格劣策略的博弈；其次，剔除新博弈中某个参与人的严格劣策略；重复上述过程，直到只剩下唯一的策略组合。这个唯一剩下的策略组合就是博弈的均衡解，称为“重复剔除的占优均衡”。 博弈方2 左 中 右 博弈 上 方 1 下 参与人2 参与人2 左 中 左 中参与 上 参与 上人1 下 人1 消去参与人2 进一步消去 右策略后的博弈 参与人1下策略后的博弈重复剔除的占优均衡策略组合

17、s*=（s*1,s*i , ,s*n）称为重复剔除的占优均衡，如果它是重复剔除严格劣策略后剩下的唯一的策略组合。策略组合（上，中）是均衡结局，将实现支付（1，2）。第一第二第三思考：占优策略均衡、严格剔除的占优均衡与共同知识的关系。 参与人左中右上 , 4, 0 5, 3参与人中 4, 0 0, 4 5, 3下 3, 5 3, 5 6, 6每个参与人都不存在严格劣策略纳什均衡有n个参与人的策略式表述为博弈G=S1 ,，Sn ；u1, ,un ,策略组合s*=（s*1，s*i , ，s*n）是一个纳什均衡，如果对于每一个i , s*i是给定其他参与人选择s*-i=（s*1，s*i-1 , s*i

18、+1 ,，s*n）的情况下第i个参与人的最优策略，即：ui(s*i , s*-i )ui(si , s*-i ), siSi ,i为了理解纳什均衡的哲学含义，让我们设想n个参与人在博弈之前协商达成一个协议，规定每一个参与人选择一个特定的策略。我们要问的一个问题是，给定其他参与人都遵守这个协议，在没有外在强制的情况下，是否有任何人有积极性不遵守这个协议？显然，只有当遵守协议带来的效用大于不遵守协议时的效用，一个人才会遵守这个协议。如果没有任何参与人有积极性不遵守这个协议，我们说这个协议是可以自动实施的（self-enforcing），这个协议就构成一个纳什均衡；否则，它就不是一个纳什均衡。纳什均

19、衡是一种策略组合，使得每个参与人的策略是对其他参与人策略的最优放应。 纳什均衡是博弈将会如何进行的“一致”（consistent）预测，这意指，如果所有参与人预测特定纳什均衡会出现，那么没有参与人有动力采用与均衡不同的行动。因此纳什均衡（也只有纳什均衡）能具有性质使得参与人能预测到它，预测到他们的对手也会预测到它，如此继续。与之相反，任何固定的非纳什均衡如果出现就意味着至少有一个参与人“犯了错”，或者是对对手行动的预测上犯了错，或者是（给定那种预测）在最大化自己的收益时犯了错。 纳什均衡通过了一致预测检验并不就使得它们是好的预测，在一些博弈格局中如果认为可以获得精确预测那会过于轻率，由此我们想

20、提请注意一个事实，博弈的最可能结果实际上取决于比标准式所提供的更多的信息。例如，可能希望知道参与人对于此类博弈具有多少经验，他们是否来自同一种文化因此而分县分享关于博弈将会如何进行的特定期望，以及如此等等。 (Jean Tirole) P10-11每个参与人都不存在严格劣策略（下，右）是NE，将实现支付（6，6） 参与人左中右上 , 4, 0 5, 3参与人中 4, 0 0, 4 5, 3下 3, 5 3, 5 6, 6囚徒招认沉默招认 5, -5 0, -8囚徒沉默 -8, 0 -1 , -1囚徒的困境（沉默，沉默）帕累托优于（招认，招认） 有一头大猪和一头小猪住在同一个猪圈里，猪圈的一侧放

21、者猪食槽，另一侧安装着一个控制食物供应的按钮。按一次按钮，有8个单位的食物进槽，但需承担2个单位的成本。偌大猪小猪同时到达猪食槽，大猪吃到5个单位的食物，小猪吃到3个单位的食物；若大猪先到，大猪吃7个单位的食物，小猪只能吃到1个单位；若小猪先到，小猪吃到4个单位食物，大猪也吃到4个单位食物。练习：智猪博弈（boxed pigs game） 小猪 去按 等待 去按 3，1 2，4 大猪 等待 7，-1 0，0大猪的收益外部化，小猪不劳而获，免费搭了大猪的便车。小鸡博弈（the game of chicken） 设想汤姆和吉米是两个顽皮的小孩，他们在小伙伴的鼓动下要进行一场关于勇气的比赛：两人分别

22、从一条独木桥的两端冲向对方，谁退却谁就是“小鸡”。显然，如果两个人都向前冲，则两败俱伤，设支付水平为-2；如果一个勇进而另一个退却，则勇进者受到小伙伴的欢呼，退却者受到嘲讽，设支付分别为4和-1；若两人同时退却，则一起受到小伙伴的嘲笑，设支付为0，因为两人一起受到嘲笑比起一人单独受到嘲笑要好受些。箭头法 吉米 退却 勇进 退却 汤姆 勇进0，0-1，44，-1-2，-2有两个均衡。实际会怎样？混合策略NE定义Definition In the n-player normal-form game G=S1, , Sn; u1, , un, the mixed strategies(p1*，,pn

23、*) are a Nash equilibrium if each players mixed strategy is a best response to the other players mixed strategies: V (pi*，p-i*) V (pi，p-i*) must hold.（二）混合策略NE的求解支付等值法 112 113这种通过使对方选择各个纯策略的期望支付值相等来确定自己的策略空间上的最优概率分布的方法被称为“支付等值法”。支付最大化法 以猜硬币游戏为例。令盖硬币方以r的概率选正面，以1-r的概率选反面，即P盖=(r,1-r)；猜硬币方以q的概率猜正面，以1-q的

24、概率猜反面，即P猜=(q,1-q)，有： V盖(p盖， p猜)=r(-1) q+1 (1-q)+(1-r)1 q+(-1) (1-q)= -4qr+2q+2r-1 V猜(p盖， p猜)=q1r+(-1) (1-r)+(1-q)(-1) r+1 (1-r)=4qr-2q-2r+1解：MaxV盖(p盖， p猜)r得：q*=1/2MaxV猜(p盖， p猜)q得：r*=1/2混合策略NE是盖方在策略空间正面，反面上以概率分布P盖*，=（1/2，1/2）进行选择，猜方也在策略空间正面，反面上以概率p猜*=（1/2，1/2）进行选择。对混合策略的辩护：*混合策略表示使用不同纯策略的大量参与人。 *Hars

25、anyi：混合可以解释为参与人收益上微小的不可观测变动的结果。*博弈多次反复进行时参与人实施某一纯策略的不确定次数和时间。*P52 一个参与人实施混合策略的目的是给其他参与人造成不确定性，尽管其他参与人能推测到他选择某个纯策略的概率有多大，但却不知道他到底会选哪个纯策略。为了进一步理解混合策略的实际意义，下面分析“监察博弈”（Jean Tirole and Selten）监察博弈“监察博弈”是“Matching Pennies”的一种流行变种，它可以应用于武器控制、犯罪预防和工人激励。下图是这一博弈的简单版本。一个工人为一个老板工作（参与人）；工人可以偷懒或工作、老板可以监察或不监察（策略集）

26、；工人工作能为老板产生价值为v的产出，但会使自己花费成本g。老板监察要花费成本h，但可以提供工人是否偷懒的证据。工人得到工资w（假设老板不允许根据观测产出水平来条件化工资），如果工人被抓住在偷懒，则他得到0（由于有限责任的原因）。两认同时选择他们 的策略（特别地，老板在决定是否监察工人时不知道工人是否会选择偷懒）。为了限制要考察的情形数量，假设gh 0；为了使分析更有趣，还假设w g（否则工作对于工人来说会是一个严格劣策略）。 监察 不监察 偷懒 0，-h w，-w 不偷懒 w-g，v-w-h w-g，v-wP*（偷懒）=h/w，P*（监察）=g/w武器核查、工商打假、不定期抽查等等恋人之争

27、battle of the sexes一对恋人，小娟和大海，在不同的地方上班，两人都很珍惜周末能够在一起的时间。某周末，小娟花高价购得两张芭蕾舞门票，大海也好不容易搞到两张足球赛门票。小娟从小酷爱芭蕾，大海是个十足的足球迷，怎么办？显然如果各自分开过周末，那才是双方最不乐意的事。 大 海 芭蕾 足球 芭蕾 小娟 足球2，11，20，00，0Battle of the sexes存在两个纯策略NE：（芭蕾，芭蕾）和（足球，足球）。无法形成一致的预期，结果不确定。Schelling（1960）认为，在现实生活中，参与人可能使用某些被博弈模型抽象掉的信息来达到一个“聚点”（focalpoint）均衡

28、。这些信息可能与社会文化习惯、参与人过去博弈的历史等有关。促成出现的另一种方法是参与人在博弈开始之前进行不花什么成本的“廉价磋商”（cheaptalk）.Aumann(1974)证明，如果参与人可以根据某个共同观测到的信号进行博弈，就可能出现“相关均衡”(correlatedequilibrium)。如天气 抛硬币如果两个人都很任性，谁也不让步，谁也不肯让对方得意又确实离不开对方，那就变成实施混合策略：（小娟）选足球不甘心，选芭蕾又怕大海不乐意。大海也一样。那么最优的概率分布是什么？令小娟策略空间芭蕾，足球上的概率分布为（，），大海策略空间芭蕾，足球上的概率分布为（，），那么：小娟 (-)(1

29、-)=3rq+1-r-q最优化q*=1/3V大海=12 (-)(1-)=3rq+2-2q-2r最优化r*=2/3所以，混合策略NE是：小娟以2/3的概率选芭蕾，以1/3的概率选足球；大海以1/3的概率选芭蕾，以2/3的概率选足球。其效率是：小娟2/3 = V大海1最差的效率是两人都为对方着想，又没有事前沟通，结果小娟去了足球场，而大海去了剧场。（三）混合策略与反应对应 P56回顾Matching Pennies，双方都会实施混合策略，其NE是r* =q* =（1/2，1/2）。这里，从另一个角度说明这样的概率分布确实是一个“不动点”。按照NE的条件，一个策略组合如过是一个NE，那么其中的每一个

30、策略都是参与人针对其他参与人策略组合的最优反应，在纯策略NE中，这个“最优反应”可能是一个具体的纯策略（如在“Prisoners Dilemma”中），也可能是一个反应函数（reaction function）（如在“Cournot Model of Duopoly”中）。而在一个混合策略NE中，这个“最优反应”将是一个概率或很多个概率被称为“反应对应”（reaction correspondence）。以Matching Pennies 为例。r盖方选正面的概率，q猜方猜正面的概率先看盖方的最优反应，记为r*=R（q）：当q1/2r*=R（q）=1当q=1/20，1 当q1/20猜方的最优反

31、应反应，记为q*=R（r）当r1/2q*=R（r）=0，当r=1/20，1，当r1/21，反应对应与反应函数的区别：作为NE，各个参与人的反应应该同时为最优，那么只要求两个反应对应的交点，用图示法：rq01（正面）1(正面)1/21/2r*=R(q)q*=R(r)(四)Existence of Nash Equilibrium问题：是否所有的博弈都存在NE（纯的或混合的）？*Nash在1950年证明：任何有限博弈，都至少存在一个NE。Theorem(Nash 1950):In the n-player normal- form game G=S1, , Sn; u1, , un, if n i

32、s finite and Si is finite for every i then there exists at least one Nash equilibrium, possibly involving mixed strategies.Nash theorem 的证明 略Wilson（1971）证明，几乎所有有限博弈，都存在有限奇数个NE，包括纯策略NE和混合策略NE。Oddness TheoremP63 例证，P67-69 证明Problems1、In the following normal-form game,what strategies survive iterated e

33、limination of strictly dominated strategies ?What are the pure-strategy Nash equilibrium? L C R T 2,0 1,1 4,2 M 3,4 1,2 2,3 B 1,3 0,2 3,0 2、Players 1 and 2 are bargaining over how to split 10 thousand dollars.Both players simultaneously name shares they would like to have,s1 and s2 ,where 0 s1 ,s2 1.If s1+s2 1, then the players receive the shares the