品质统计原理之机率导论教案

1、授 課 目 錄 導 論統計資料的整理與描述機率導論常用的機率分佈與統計分佈描樣方法與描樣分佈統計估計統計檢定變異數分析相關分析與迴歸模式無母數統計檢定類別資料分析-列聯表與卡方檢定第三章 機率論3.1 集合論集合論(Set Theory)機率論(Probability)群體分佈集合是元素的聚合，而元素是集合的單位。A=1, 2, 31, 2, 3為A集合的單位 1A無元素的集合存在，稱之為空集合，記做 或例 集合B=X|X2+6X+5=0求B=-1, -5元素和集合的關係A=1, 2, 31A； 4A集合和集合的關係子集關係：AB(A含於B或B包含A)即A中任一元素均在B集合中可找到A=1,

2、2, 3B=1, 2, 3, 4ABBA等集關係：A=B(A等於B)即集合A與集合B中的元素完全相同A=0, 1B=X|X(X-1)=0A=BA=B對等關係：AB(A對等於B) 即集合A中每一元素可與集合B中的每一元素一對一對應關係合格品不合格品A集合合B集合合10A=0, 1B=合格品，不合格品集合之運算聯集運算：AB交集運算：AB去集運算：A-BBAAB結合律：ABC=(AB)C=A(BC)交換律：AB =BA分配律：A(BC)=(AB)(AC)餘集：設W為全集，則W-A稱之為A之餘集，記作A，W-A=AAA若AA=WAA=(A)=A另A-B= A B分割：設W為全集，集合A、B均含於W，

3、當滿足(a)AB=W(b) AB=時，則稱為A、B為W上的分割。AB餘集律：(AB)=AB(AB)=AB*符號說明：X：隨機變數，P：機率，p：不合格率p(x)：機率密度函數(離散型)f(x)：機率密度函數(連續型)F(x)：累積機率分配函數(連續型、離散型)EX = m (期望值)，VX = s2 (變異數)m ：母體平均值，s2：母體變異數：樣本平均值，S2：樣本變異數*3.2 機率的概念機率論是現代統計學的基礎。機率是為了衡量不確定結果，而建構出來的一種測度。其中差不多的概念為：機率空間(Probability Space)：系統中，集合所有可能出現的事件而構成的一個抽象空間，通常以W表

4、示。有時亦稱樣本空間(Sample Space)或結果空間(Outcome Space)。事件(Events)：系統中所要討論合理且可能發生的現象，是機率空間的差不多元素。隨機實驗(Random Experiment)：可能出現的結果有专门多種，重複實驗時無法明確預知得到什麼結果的實驗方式。隨機變數(Random Variables)：定義在機率空間的一個量測機率的工具，通常以一個一對多的不確定函數表示。它對實驗的每一種結果指定一數值與之對應。或將文字敘述轉換成數字敘述(將實驗結果以數值表示，省略一一列出可能實驗結果的煩雜)。常以X表示之，且其結果常符合某一特定分佈。函數係針對定義域與對應域(

5、值域)之間一對一或多對一的關係，即輸入某一數值就對應輸出另一數值，過程與結果均是確定的(Deterministic)。但當輸入一事件卻可能出現好幾種其他情況時，如擲一骰子對應的是可能出現六種情況，此即隨機變數。簡言之，隨機變數是一種一對多的廣義函數。實數值x(事件)之機率P(X=x)決定機率分佈函數p(x)。範例、某品牌相同原子筆n支，內有不合格品，某同學任意選1支，試寫出樣本空間?(合格品=G，不合格品=NG)W = G，NG=21若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)X的可能值有0，1；W = X|0，1；如x=1=NG(X：隨機變數表選得不合格品數；x：事件)範例、承上題，某

6、同學任意選2支，試寫出樣本空間?W = (G，G)，(G，NG)，(NG，G)，(NG，NG) =22若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)X 的可能值有0，1，2；X = X|0，1，2如x=1=(G，NG)，(NG，G)範例、承上題，某同學任意選3支，試寫出樣本空間?W = (G，G，G)，(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)，(G，NG，NG)，(NG，G，NG)，(NG，NG，G)，(NG，NG，NG) =23若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)X的可能值有0，1，2，3；X = X|0，1，2，3如x=1=(G，G，NG)，(G，NG，G)，

7、(NG，G，G)實驗檢驗真理，真理只有一個。然隨機實驗中，其產生之結果是不確定的(Uncertainty)。機率确实是衡量此不確定結果，而建構出來的一種測度。如何決定機率值-決定機率值的方法(1) 理論機率= 古典機率= 機會均等機率樣本空間W內有n(W)個元素，若事件A為W之部份集合，含n(A)個元素，則事件A的機率為：P(A)= n(A)/ n(W)範例、承上題，某同學任意選1支，為不合格品之機率?n(W)=21事件= NGn(A)=1 P(A)= 1/ 2若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)X 的可能值有0，1；W = X|0，1；則x=1=NGP(A)= n(A)/ n(

8、W)P(x=1) =P(NG)=1/2範例、承上題，某同學任意選2支，有1不合格品之機率?n(W)=22事件= (G，NG)，(NG，G)n(A)=2 P(A)= 2/22=1/2若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)X 的可能值有0，1，2；X = X|0，1，2x=1=(G，NG)，(NG，G) ； P(x=1) =P(G，NG)，(NG，G)= 2/4 =1/2範例、承上題，某同學任意選3支，有1不合格品之機率?n(W)=23事件=(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)n(A)=3 P(A)= 3/23=3/8若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)X

9、的可能值有0，1，2，3；X = X|0，1，2，3則x=1=(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)P(x=1) =P(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)= 3/8 計算理論機率的方法亦稱古典方法，此法依靠抽象的推理與邏輯分析，而不必進行實際的試驗。(2) 經驗機率= 客觀機率一隨機實驗重複試行n次，其中A事件共發生fA次，則A事件發生之機率可視為發生次數與總次數比：P(A)= fA/n當實驗的次數愈多，事件的相對次數比將愈趨穩定；即P(A)= limn fA/n(3) 主觀認定機率一事件發生之機率，常由人們對此事的經驗，或心理的感覺而決定。此機率較有爭議。機率公

10、設在樣本空間W中，事件A發生的機率記做P(A)，機率必須符合以下公設：P(W)=1，P()=0P(A)0P(A)=1-P(A)，其中A=W-A若BW，P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)樣本空間計算差不多法則法則一(加法原理)：完成一件事有二種方式，第一種方式有n1種方法，第二種方式有n2種方法，則完成此事件共有n1+n2種方法。法則二(乘法原理)：完成一件事有k個階段，第一階段有n1種方法，第二階段有n2種方法，第k階段有nk種方法，則完成此事件共n1n2nk種方法。法則三：在n個不同事物中，任取r個予以組合，其方法有C(n, r)=n!/(n-r)!r!。範例、甲、乙二人擲骰子，約定

11、甲擲出點數是1, 2時，甲可得2元；點數是3, 4時可得4元；點數是5時可得10元；點數是6時，則甲需付給乙20元。令X表擲骰子後甲所得的錢，求X的機率分佈?W=1, 2, 3, 4, 5, 6；n(W) = 6X的可能值有2，4，10，-20；X=X|2, 4, 10, -20P(x=2) =P(1, 2)= n(A)/n(W) = 2/6 P(x=4) =P(3, 4)= n(A)/n(W) = 2/6P(x=10) =P(5)= n(A)/n(W) = 1/6P(x=-20) =P(6)= n(A)/n(W) = 1/6x2410-20p(x)2/62/61/61/6p(x) (x) p

12、(x=2)1)p(x=4)p(x=10)p(x=-20)x=2x=4x=10 x=-20範例、甲擲一枚銅板2次，令X表出現正面的次數，求X的機率分佈?W=正正, 正反, 反正, 反反；n(W) = 4X的可能值有0, 1, 2；X=X|0, 1, 2P(x=0) =P(反反)= n(A)/n(W) = 1/4 P(x=1) =P(正反, 反正)= n(A)/n(W) = 2/4P(x=2) =P(正正)= n(A)/n(W) = 1/4x012p(x)1/42/41/4p(x)p(x=0)p(x=1)p(x=2)x=0 x=1x=2上述二範例均為離散型資料係屬離散型隨機變數，即實驗結果其對應之

13、數值只有可數的幾種可能值，且可一一列出此種情況，以機率P(X=x)決定機率分配函數p(x)(離散型)。反之，連續型資料係屬連續型隨機變數，即實驗結果其對應之數值不能列出各種可能值，則以機率P(Xa)決定機率分配函數f(x) (連續型)。3.3 統計獨立與條件機率定義：統計獨立(Statistically Independent)在樣本空間W中有兩事件A與B，若A發生的機率不受B影響，即P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與B為統計獨立。範例：(獨立無關聯)愛足球不愛足球合計男648252900女7228100P(男)= 900/1000 = 0.9；P(女)= 100/1000 = 0.1

14、= 1-0.9P(愛足球)= (648+72)/1000 = 0.72P(不愛足球)= (252+28)/1000 = 0.28 =1-0.72P(男愛足球)= 648/1000 = 0.648P(男不愛足球)= 252/1000 = 0.252P(女愛足球)= 72/1000 = 0.072P(女不愛足球)= 28/1000 = 0.028由於P(男愛足球) = 0.648 = P(男) P(愛足球)P(男不愛足球) = 0.252 = P(男) P(不愛足球)P(女愛足球) = 0.072 = P(女) P(愛足球)P(女不愛足球) = 0.028 = P(女) P(不愛足球)定義：互斥事

15、件(Disjoint Events)在樣本空間W中有兩事件A與B，若其集合無共同元素，即AB= ，則稱事件A與B互斥。P(AB)= 0。定義：條件機率在樣本空間W中有兩事件A與B。在事件A已發生的條件下，事件B發生的機率稱為條件機率，以P(B|A)表示，則P(B|A)=P(B A)/P(A)。範例、擲一枚銅板2次，求2次均出現相同結果下，至少出現一次正面的機率?W=正正, 正反, 反正, 反反；n(W) = 4A：2次均出現相同結果=正正, 反反；n(A)=2P(B|A) = P(B A)/P(A) = (1/4)/(1/2) = 1/2範例、甲到玉市購玉，已知某玉店的10塊玉中有4塊為膺品。

16、甲欲買該店2塊玉，則2塊均為真品的機率?設A為第一塊玉為真品的事件，B為第二塊玉為真品的事件，則P(B A) = P(A) P(B|A)= (6/10)*(5/9) = 1/3定理：貝氏定理設B1, B2,Bn為互斥事件，且事件A為含有各種事件Bi某種共同特性之任意事件。在事件A已發生情況下，則事件Bk發生之機率為P(Bk|A) = P(Bk)P(A|Bk)/ni =1P(Bi)P(A|Bi)範例、甲製造車廠有二條生產線B1 , B2，分別各佔60%和40%的生產量。已知生產線B1有2%的不合格率，生產線B2有3%的不合格率，茲某人購買該車廠乙部車有瑕疵，則此車為生產線B1之產品的機率?B1=

17、 0.6B2= 0.4A/ B1= 0.02A/ B2= 0.03P(B1) = 0.6，P(A| B1) = 0.02；P(B2) = 0.4，P(A| B2) = 0.03P(B1) = P(B1)P(A| B1)/P(B1)P(A| B1)+P(B2)P(A| B2)= (0.6)(0.02)/(0.6)(0.02)+(0.4)(0.03)= 0.53.4 機率分佈函數及其特徵值機率分佈函數(Probability Distribution Function)可了解事件在機率空間中，其密度分佈的情況，或樣本在母體中出現的頻率的情形。機率分佈函數通常指累積機率分佈函數(CDF, Cumul

18、ative Probability Distribution) 以F(x)表示之，或機率密度函數(PDF, Probability Density Function)分別以p(x)-離散型與f(x)-連續型表示之。機率分佈之性質X離散型： (1)0 p(xi) 1所有xi值(2)P(X = xi) = p(xi)所有xi值(3)S p(xi) = 1所有xi值X連續型： (1)0 f(x)(2)P(a x b) =ba f(x)dx(3)- f(x)dx = 1一個隨機變數X之累積機率分配函數F(x)定義為：F(x) = P(X x)F(x)表示隨機變數X之值小於或等於x的機率。x1 X x2

19、時P(x1 0P(X a) EX/a定理：謝比雪夫不等式(Chebyshev Inequality)若隨機變數X具有期望值 m 與變異數 s2，則對任意k 0P(|X-m| k) s2/ k2P(|X-m| 1- s2/ k2平均數與標準差的關係若平均數= 5、標準差 = 0.5 (常態分配)(4.5, 5.5)間之機率= 68.27 %(4.0, 6.0)間之機率= 95.45 %(3.5, 6.5)間之機率= 99.73 %若平均數= 5、標準差 = 0.5 (任何分配-謝比雪夫)(4.5, 5.5)間之機率 0P(|X-m| 1- s2/ k2P(4.5 X 5.5)=P(|X-5| 1

20、- s2/ k2= 0(4.0, 6.0)間之機率= 95.45 %P(|X-m| 1- s2/ k2P(4 X 6)=P(|X-5| 1- s2/ k2= 1-0.25/1=0.75(3.5, 6.5)間之機率= 99.73 %P(|X-m| 1-s2/ k2P(3.5 X 6.5)=P(|X-5| 1-s2/ k2= 1-0.25/1.52= 8/9 = 0.89範例、隨機變數X表示某醫院每日接生新生兒數，其期望值10 。(a) 國慶日接生超過15個新生兒的機率? (b) 若X的變異數為4，則聖誕節當日接生新生兒數6至14個的機率? SOL：(a) 接生超過15個新生兒的機率，依馬可夫不等

21、式P(X a) EX/a，可知，P(X 15) 10/15 = 0.67(b) 接生新生兒數6至14個的機率，謝比雪夫不等式P(|X-m| k) s2/ k2 P(|X-m| k) 1- s2/ k2P(6 X 14) = P(|X-10| 4) = 1 4/16 = 0.75習題一1. 假如事件A，B獨立，則(A) P(AB)=1 (B)P(AB)=P(A)P(B) (C)A，B必定互斥。2. 假如事件A，B互斥，則(A) P(AB)=1 (B) P(AB)=P(A)且P(BA)=P(B) (C) P(AB)=P(A)P(B)。3. 假設P(A)=1/2，P(B)=1/4且A與B為互斥事件，

22、則P(AB)等於(A) 1/8 (B) 3/4 (C) 2/5 (D) 0。4. 假設P(A)=1/4，P(B)=1/5且A與B為獨立事件，則P(AB)等於(A) 1/20 (B) 9/20 (C) 2/5 (D) 0。5. 假如A、B為獨立事件，試證A，B亦為獨立事件。6. 三個製造汽車煞車系統零件的工人A，B，C，在製造過程中，他們出錯之機率分別是0.02，0.01和0.06。現有一批已完成之零件，其中45%是A工人製造的，35%是B製造的，20%是C製造的。則整批零件中，不良品所佔的比率是多少? (0.45*0.02+0.35*0.01+0.2*0.06)=0.02457. 某電子公司向

23、台南、新竹供應商以1：3的比例購入IC半導體零件。台南供應商的產品不良率6%，新竹供應商的產品不良率4%。若台強電子公司隨機檢驗一零件，發現竟是不良品，試問此零件來自台南供應商之機率為多少?(0.06*0.25)/(0.06*0.25+0.04*0.75)=1/38. 假設隨機變數X之機率密度函數如下： 1/6，x=1 f(x)= 3/6，x=2，試求 (A) P(x2) =P(x=1)+P(x=2)=1/6+3/6=2/3 2/6，x=3 (B) EX =1*1/6+2*3/6+3*2/6=13/6 (C) VarX=EX2+(EX)2=31/6-(13/6)2=17/36。 ( EX2=1

24、2*1/6+22*3/6+32*2/6=31/6)。9. 假設隨機變數X之機率密度函數如下： f(x)= 2x，0 x1 0 其他 試求P(X0.3)= 0.302xdx= 0.9 ，(B) EX = 102x2dx= 2/3 VarX= EX2-(EX)2= 1/18 (EX2 = 102x3dx= 1/2)。10. 設隨機變數X與Y的聯合機率分配f(x,y)如下表：yx10203010.080.080.0420.120.120.0630.200.200.10 試求隨機變數X與Y的邊際效率分配，並檢驗隨機變數X和Y是否獨立。fx (x)=0.2, x=1；fx (x)=0.3, x=2；fx

25、 (x)=0.5, x=3，fy (y)=0.4, y=10；fy (y)=0.4, y=20；fy (y)=0.2, y=30fx(1)fy(10)=0.2*0.4=f(1,10), fx(1)fy(20)=0.2*0.4=f(1,20),.fx(x) fy(y)=f(x,y)So X and Y are Independent.11. 隨機變數X和Y有聯合機率函數為： f(x,y)= 1/3，(x,y)=(0,1),(1,1),(1,0) 0其他範圍 試求隨機變數X和Y的邊際機率密度，共變異數CovX,Y，和相關係數rXY 。fx (x)=1/3, x=0；fx (x)=2/3, x=1，

26、fy (y)=1/3, y=0；fy (y)=2/3, y=1；CovX=CovY=2/9CovX,Y=EX-EXEY=-1/9rXY = -1/212. 台南縣地區空氣污染指數每日平均75，請根據 (A)馬可夫不等式求取空間污染指數大於100之機率上限。P(X a) EX/a ，P(X 100) 75/100=0.75(B)若已知標準差為5，根據謝比雪夫不等式，求空氣污染指數大於50，小於100之機率上限。P(|X-m| k) s2/ k2，P(|X-m| 1- s2/ k2，P(50 X 100) = P(|X-75| 25) = 1 52/252 = 0.8習題二1. 下列何種抽樣方法，

27、抽樣作為估計群體誤差為最小 (1)單純隨機抽樣法 (2)系統抽樣法 (3)分層隨機抽樣法 (4)集體抽樣法 (5)視情形。2. 亂數表 03 92 18 27 46 57 99 16 96 56 30，若在50件(編號0049)要抽5件時，則抽樣第5件之編號為( 16 )。3. 進貨50件，系統抽樣，要抽5件，若第一件為編號3，則第四件之編號為( 33)4.(1) 一班學生50人之重量(群體/樣本)(2) 一桶溶液取一杯量來分析，一杯量為(群體/樣本)(3) 每批中取30個量測尺寸(群體/樣本)(4) 100箱（當抽樣數為5）該箱可視為(無限群體/有限群體)(5) 30箱(當抽樣數為5時)該箱

28、可視為(無限群體/有限群體)5. 亂數表 03 92 18 27 46 57 99 16 96 56 30，若在1000件(編號000999)要抽五件時，則抽樣第3件之編號為( 274 )6. 某批取12個量測尺寸，其數據之特性必有(中位數/平均數/眾數)。7. 常態分配平均值3，標準差0.2，則2.63.4間之次數約佔全部次數( 95.45% )。8. 和中心值無關統計量(標準差/平方和/R值/平均偏差/變異數)。9. 寫出1至30中可被5整除之集合。5, 10, 15, 20, 25, 3010. 集合B=XX2+6X+5=0求B= -1, -5 11. A=1，3 B=3，5，6 C=1

29、，3，5，8AB=1, 3, 5, 6 AB= 3 A-B=112. 樣本空間=1，2，3，4 A=1，2 B=3A=3, 4 A-B=1, 2, (AB)=1, 2, 3=4, BA=33, 4=313. 某公司有五架同型電視機，內有二架故障，王小姐任意挑選二架，試寫出樣本空間=G G, G NG, NG G, NG NG14. 一批製品有4個良品，3個疵品，自其中抽取二個時，其樣本空間以不良品數目表示時，其樣本空間為G G, G NG, NG G, NG NG= X| 0, 1, 2。15. 一銅幣，其出現正反面之機會相等，擲一銅幣二次，樣本空間以正面出現次數表示，樣本空間為正正, 正反,

30、 反正, 反反=X| 0, 1, 2。16. 某製程要操纵溫度，原料及水份，今考慮有4種水準的溫度，5種原料及2種不同水份，則製造方法共有( 4*5*2=40)種方法。17. 7題是非題總共有幾種答法。18. 求C(20，4)= 4845 ；C(100，3)=161700； C(100，97)=16170019. 從10件製品送驗批中，任取3件加以檢驗，選取的方法有多少種?C(10,3)=12020. 五男三女選4人組成委員會，可能組成若干委員會(2男2女)。 C(5,2)*C(3,2)=30 21. 撲克牌52張中，隨機取出4個，全部均為紅磚的機率(C(13,4)C(39,0)/C(52,4

31、)=0.00264)。22. 投一個六面骰子，出現偶數的機率= ( 1/2 )。23. 投二個六面骰子，出現和大於10機率= ( 1/12 )。24. P(A-B)=0.4 P(AB)=0.7 求P(B)=？ P(B)=0.325. 設A，B為互斥事件P(A)=0.4 P(B)=0.5 (1) P(AB)=(0.9) (2) P(AB)=( 0 ) (3) P(A)=( 0.6 ) (4)P(AB)=(0.5 ) (5) P(AB)=( 0.4 )。26. P(A)=0.3， P(B)=0.4，P(AB)=0.7 則 P(AB)=( 0 )。27. P(A)=0.4 P(AB)=0.7 P(B)=Y 若A及B互斥事件則Y=(0.3 )28. P(ABCD)寫出上列公式。29. P(AB)=0.8 P(B)=0.6 P(A)=0.2 P(AB)=( 0 )。30. P(B)=0.6 P(AB)=0.4 P(AB)=(0.4/0.6= 2/3 )。31. A，B，C互斥事件，P(A)=0.2 P(B)=0.4 P(C)=0.1求P(A(BC)=(0.5 )。