方向导数与梯度在工程和生活中的应用

1、姓名：张江帆学号：201311217方向导数与梯度在工程和生活中的应用一、方向导数令xoy 上P G , y)去淀占的冬射纬e = (cosa,cos。)皇即概念 是，平面上以000为如占的条射线.i是与同方向的单位向量射线1的参数方程为x = x +1 cos ay = y0 +1 cos p(t 0)设函数z =f ny)在点P0(x 0,y 0)的某个邻域u侦0)内有定义， TOC o 1-5 h z P(x +1cosa,y +1cosp)为i 上早一点日 p g U(p ) p p 的距离|PP 0 00为上为点，日0 , 王U 0的距离0f (x +1 cosa, y +1 cos

2、 p )- f (x , y )若t当p沿着l趋于p 0即-0 +时的极O ”7f I )限存在，则称此极限为函数Z，y)在点p0沿方向l的方向导数.记作仞(x0,y0)即df |i， f (x +1 cosa, y +1 cos p)- f (x , y )dl (x0, y0) t-0+tf |,、,) M、,)，有定义可知初&，y0y，在点P0板0,沿方向1的变化率.f x, y)“ r P Cx , y ) /日日.jrl.-try,- e = i = G,0)刖 若 在点0 0，0偏导数存在l则堂 I 、=lim 寸 4 +，P 寸 V *)di (x v )t= f vx , yd

3、l 0,y00+tJ x 0”0又若广j = )则堂 |、=lim f G + *,- f(V y0)dl (x , y )t= f (x , y )0迎0t0+y 0 0 但反之若el =1冬 I竺 I_ :()dl (0,0)存在.则dx (0,0)不一定存在.如z =、x2 + y2在点S,0)处沿dz8z |dz .I /、 | /、I = 方向的方向导数初1=1，而偏导数办、异不存在.方向导数的存在性及其计算方法函数具备什么条件才能保证在P00, *)点沿任一方向的方向导数存在？它和该点偏导数又有什么关系？有如下定理定理 若f (x, y)在点P0(x0, y0 )可微分，则函数在该

4、点沿任一方向1的方向导数存在且瓦七,y )= f G ,y )cosa + f (x , y )cos pL 0，0 x 0 0y 0 0其中cosa,cosp是方向l的方向余弦证f (x, y)在点(x0, * )可微分f (x+Ax,y+Ay)- f G ,y )= f G ,y)A + f(x,y)Ay+ 0：(Ax* +(Ay*0000 x 00y 00+ Ax,y + Ay)什r、( (x ,y )、石乙匕alajal (I ，0 在以 0，0为始点的射线1上时应有Ax = t cosaAy - t cos p所f G lim1t项+这就证明了方向导数存在，且其值为+1 cos a,

5、 y +1 cos p)- f (x , y )= i = f(X , y )cos a + f (x , y )cos P面 L,y )= f (x , y)cosa + f (x , y )cos p0，0 x 0 0y 0 0同样可以证明f(x,y,z)在点G0,y0,z0)可微分，则函数在该点沿着方向 000，e = tosa ,cos p ,cos y)的方向导数-f (x , y , z )cos a + f (x , y , z )cos P + f (x , y , z )cos y初 l(x0,y0,z0)x 0 0 0y 0 0 0z 0 0 0二、梯度1.二元函数梯度定义

6、 设f (x, y)在区域D内具有一阶连续导数，点P0 (x0, y0 )g D , 则向量 TOC o 1-5 h z f (x , y)了 + f (x , y)7x 00y 00却如 f (x, y)五上 P (x , y )gradf (x , y )称为 在点0 0。的梯度，记作0。，即gradf (x , y )= f (x , y )了 + f (x , y )00 x 00y 002.二元函数梯度与方向导数的关系f x, y)什 I P x ,y)旬徂/te cosa,cos p)曰 u-. 1右，/在点0 0，0可微分，1是与方向1同向的单位向量，则fdi(=gra=f (x

7、 , y )cos以 + f (x , y )cos Px0, y0)x 0 0y 0 0df (x0, y0)gra了 00-eidf (x , y )| e cos 0 gradf (x , y )|cos0其中gradf (x , y ) e当0 =0时，方向导数初0,y0)取得最大值，这个最大值就是梯度的模Igrad(x0,y0由上知：函数在一点的梯度是个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的 方向，它的模等于方向导数的最大值.Z = f ( y)在几何上表示一个曲面这曲面被平面z = c( c是常数)所截得曲线L的方I z = f (x, y )程为z = c ，L在xy面

8、上的投影是一条平面曲线L，它在xy平面直角坐标系中的方程为f G y)= c，对L上一切点，已给函数的函数值都是c，称L为z = f G y)的等值线.f f( )P Y/若fx，fy不同时为零，则等值线 g y = c上任一点P0邕，y /处的一个单位法向量yf2 (x , y )+ f2 (x , y )V x 00 y 001(f (x , y ) f (x , y )x 00 y 00这表明gradf G 0,y 0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同.f而沿这个方向的方向导数dn就等于于是gradf q, y0 )=f*n三元函数梯度概念与方向导数关系设f G,y,z)在空间区域

9、g内具有一阶连续偏导数，则对于每P (x , y , z )e G0 0f 0都可以定出一个向量，f G , y , z + f G , y , z)j + f G , y , z Lx 000 y 000Z 000f (x, y, z)p (x, y , z )gradf(, y , z 九为在点0000的梯度，记做000即gradfG , y , Z )= f G ,y ,z 七 + f (x ,y ,z )j + f (x ,y ,z L 000 x 000 y 000 Z 000,与二元函数类似，三元函数的梯度也是一个向量，它的方向与取得最大导数的方向一致，它 的模为方向导数的最大值.f(x,y,z) c *f(x,y,z)f(x,y,z)p(