拓扑学第2章拓扑空间连续映射

1、九九第二章拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础,从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念:拓扑空间、连续映射,分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.教材中先介绍度量空间概念，由于刚刚结束泛函分析课程，所以此节不讲，而补充如下内容。2-1数学分析中对连续性的刻画由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以，我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。设f:ElE1是一个函数，xeEl，则f在x处连续的定义有如下几种描述方法：00（1）序列语言若序列x收敛于x,则序列f（x

2、）收敛于f（x）；TOC o 1-5 h znn，1,2,0nn，1,2,0（2）8一语言对于Vs0，总可以找到0，使当xx时，有f（x）f（x0）|80（3）邻域语言若V是包含f（x）的邻域（开集），则存在包含x的邻域U,使得f（U）uV。00解释：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述；对于没有度量的场合，可以用（3）来描述；所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）结构的空间。2-2拓扑空间的定义一、拓扑的定义注：这是关于拓扑结构性的定义定义设X是一非空集，X的一个子集族t2x称为X的一个拓扑，若它满足（1）X,0GT；（2）T中任意多个元素（即X的子集）的并仍属于T；3T

3、中有限多个元素的交仍属于T。集合X和它的一个拓扑T一起称为一个拓扑空间，记（X,T）。T中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。下面我们解释三个问题：开)集定义的完备性。拓)扑公理定义的理由；(2为)什么中的元素称为开集；先解释拓扑定义的理由从8-,语言看：|x-xj,和|f(x)-f(x0)|s分别为E1上的开区间；从邻域语言看：U,V是邻域，而f(U)是f(x)的邻域，连续的条件是f(U)V，即一个0邻域包含了另一个邻域，也就是说，f(x)是V的内点，有内点构成的集合为开集。0在数学分析中要定义区间的内点、外点、聚点等概念，这些概念的定义都要用到球形邻域的概念，并且那里的球形邻域都是开集。解释

4、为什么(1)、(2)、(3)可以表述为开集：回顾一下度量空间中开机的定义。在度量空间中，开机的定义：“由内点组成的集合”。即,若A是开集，则VxeA，一定存在x的8-邻域B(x,8)A。这也是开集的判定条件。例R上的开区间(a,b),(g,a),(s,s)都是开集。而(a,b,a,b,(a,a,b,a)都不是开集，因为存在边界点a或b，它们不存在8-球形邻域含于集合之中。例2任意多个开集的并仍是开集；但是，对于交运算不成立，即任意多个开集的交不一定是开集，如E1中开集A=(-1-,1+-)，=A=-1,1nnnnn=1前面给出的是拓扑的结构性的表述，下面给出代数性质的(逻辑的)表述，最终将其作

5、为拓扑的公理化定义。性质：度量空间(X,d)中开集具有下述性质X与0是开集；A,A是开集二AcA是开集(或有限多个交)；1212九(任何指标集)，若A是开集nUA是开集。九九(1)3)(1)由于X中每一点x的邻域必然包含于X中(X是整个空间，没有X以外的元素),(2)证明故X满足开集条件；其次，0中没有任何元素，可以自然认为是开集。(2)设A,A是X上的开集。若xeAcA，则必有是，则存在A21212xeA且xeA(核心说明AcA中的点是内点)。于是，存1212A在x的球形邻域B(x,8)uA及B(x,8)uA.1122取8=min8,8，则B(x,8)是x的球形邻域，且有12B(x,8)uA

6、,B(x,8)uA，于是12B(x,8)uAcA12故AcA2是开集。|1()设VxeUA,于是存在某个九，使xeA；由于是A开集,九九九B(x,8)uA,nB(x,8)uUA.故UA是开集。九九九解释利用开集刻画邻域的“完备性”我们熟知，在度量空间中，用开集表示邻域有如下好的性质：xeX，至少有一个邻域，使X属于该邻域；对于xeX的任意两个邻域U,U,存在x的另一邻域V,使得V,UnU对于闭集不1212成立若X的邻域中还有点yX，贝存在y的邻域含于X的邻域中分析中最有用的性质）U2这表明：一、邻域可以用邻域来刻画，二、邻域中有更精细的邻域，易于刻画收敛性质。二、拓扑空间的例子判断是否为拓扑，

7、主要检查是否满足三条公理：、X与0是否在其中；、对于有限交是否封闭（通常只要两个集合的交封闭）；3、对于任意并是否封闭。例设X=a,b,c,在X上可以构造29个拓扑，如0,a,b,c0,a,b,c,a,b0,a,b,c,a0,a,b,c,a,b,c0,a,b,c,a,a,b0,a,b,c,a,a,b,a,c0,a,b,c,a,b,a,b,b,c0,a,b,c,a,b,c,a,b,a,c,b,c（共29个，其他的有同学自己列举）例设X二x,y,z，下列哪些是拓扑，哪些不是。如果不是请添加最少的子集，使其成为拓扑。X,0,X,y,zX,0,X,y,X,zX,0,X,y,X,z,y,zX,0,X,y

8、解：是；不是，须添加x；不是，须添加x,y,z不是，须添加x,y。例若和都是X上的拓扑，则OT是X上的拓扑吗？1212解：不一定。如设Xa,b,c，贝IpX,0,a,a,c,a,b,t二X,0,c,a,c,b,c12都是X上的拓扑，而t5X,0,a,c,a,c,a,b,b,c12不是X上的拓扑，因为a,bb,cb工512例若t和t都是X上的拓扑，则tt是X上的拓扑吗？1212解：是。（1）X,0wtt；（因为X,同属于t和t）1212（2）若A,BeTtnA,BeT且A,BeTnABeTt；121212（3）将（2）中AB改为AuB，仍成立。下面给出几个常见的重要拓扑的例子。1离散拓扑一一非空

9、集合X的所有子集构成的集族T2X（包括,）。2平庸（平凡）拓扑X是非空集合，TX,。3余有限拓扑设X是无穷集，称TAcA是X的有限集u,f为X上的余有限拓扑。4余可数拓扑设X是不可数无穷集，称TAcA是X的可数子集u,C为X上的余可数拓扑。5欧氏拓扑R是全体实数集合，称U|U是若干个开区间的并为R上的欧氏拓扑。注：“若干”可表示无穷，有穷或零个，故R,均含于其中严格讲，上述集族为拓扑需要证明，下面仅证明3（余有限拓扑）证明：（1）因为,是有限集，而，cX，则XeT；f又由定义，在T中，即，eT。ff于是，（2）设A,BeT，若A,B中有一个是,，则自然有AB=0eT；ff若A,B均非空，则存在

10、X的有限子集A,B，使得AAc,B=Be（有限集）,1111ABAcBc（AuB）c111111（3）设Aa的有限集，于是由于A,B为有限集，则AuB仍是有限集，则AB是有限集的余，则ABeT.TOC o 1-5 h z11feT,aeT（指标集），且存在a，使A非空。又设A=Be这里BaaaUAUBe门Bc（根据摩根律）aaa故UAeTaaefaeTaeTaeT因为B是有限集,a则IIB也是有限集，而UA是有限集的余,aaaeTaeT利用类似的方法，可以证明上面的所有例子。作为本节的一个知识要求：能够证明一个集族是拓扑。三、度量拓扑利用集合X上定义的度量d，可以在X上定义-邻域，即可以在X上

11、导出一个拓扑。这意味着，每个度量空间也都是拓扑空间。度量空间，,x0eX,，称集合B(x,)x|为以x为中心的，为半径的球形邻域。引理：度量空间(X,d)的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集。证明：如右图所示，设UB(x,)cB(x,)1122，xeU，贝有d(x,x),d(x,x)1122记mind(x,x),d(x,x)x1122则知B(x,x)uU，于是UB(x,)xxeU证毕。利用上述引理，我们可以在度量空间(X,d)上构造一个拓扑。定理：设X(度量空间)的子集族打U|U是若干个球形邻域的并集则T是X上的一个拓扑。d证明：(先明确“若干个”的含义，可以是无穷，有穷或零个)由于

12、球形邻域是开集，于是X可以表示为无穷个球形邻域的并，0表示为零个球形邻域的并，故拓扑公理1成立；又由T的定义知，任意多个邻域的并必属于T，则公理2成立;dd3)下面证明拓扑公理3成立。设U，VeTd，记|UB(x,),VB(x,卩卩)由分配率)UcV(|B(x,)c(|B(x,卩卩|B(x,)cB(x,)卩卩,卩由引理，B(x,)cB(x,)定满足P的条件，即属于P，故UcV是若干个球形邻域0，B(x,8)与A和Ac的交均非空,则称x是A的一个边界点。内部A中所有内点的全体称为A的内部，记为intA或i(A)。外部A的外点全体。边界A的所有边界点全体，记为b(A)或0A。开集一一如果A中的每一

13、点都是A的内点，即AintA。例如：开区间(a,b)一定是R中的一个开集；开圆盘一定是R2中的一个开集；一般的，任意维开球一定是Rn中的开集(但开集未必是开球)。此外，整个Rn当然是Rn中的开集约定：空集也是开集。闭集一一若AcX-A是X中的开集，则称A是X中的闭集。聚点设A是(X,d)的一个子集，x,X，若0，有B(x,e)n(A-x)H0则称x是A的一个聚点(或极限点)。说明：如果x是A的一个聚点，那么必存在一列x,A(1,.)，x丰x，nn使xTx，这表明在A内存在一列点积聚在x周围，即谓之“聚”也。n注意，聚点本身可能属于A，亦可能不属于A。A的内点一定是A的聚点，A的外点一定不是聚点

14、。问题：A的边界点是不是A的聚点呢？(不一定，有可能是孤立点)导集一一A的所有聚点全体之集合，称为A的导集，记为d(A)。闭包AAod(A)称为A的闭包。例如：直线上(a,b)的闭包是a,b。稠密子集若AX,贝I称A为(X,d)的稠密子集，或称A在(X,d)中是稠密的。(疏子集疏朗集若intA0，称A为(X,d)的疏子集。孤立点若x,A不是A的聚点，即存在使得B(x,e)nAx则称x是A的孤立点。思考：1)xA，也不是A的聚点，x是A的什么点？2)孤立点与边界点关系？完全集若A是无孤立点的闭集，则称A为(X,d)的完全集。二、拓扑空间中的相关概念的定义我们在邻域概念中回避半径e(度量)，将含点

15、x的集合称为x的邻域。于是有如下定义：设(X,T)为拓扑空间，有邻域x,X,U为X的子集。若存在一个包含x的开集V(注：V是T中的元素)，且x,VuU，则称U为x的邻域。注：由定义知，开集本身也是所含元素的邻域。邻域可以不是开集，但它是由开集来定义的，即邻域U可以不再拓扑T中。凡是包含x的开集(T中的元素)均为x的邻域，称为点x的开邻域。点x的所有邻域构成X的子集族，称为点x的邻域系。开集一一在拓扑空间中，对开集不再另行定义，而将拓扑T中的元素称为开集，这是公理性定义。定理：拓扑空间X的子集U是开集U为其每一点的邻域。即xeU，则U为x的邻域。证明：，(必要性)由邻域的定义，这是显然的。U(充

16、分性)设U为其每一点的邻域，于是，xeU，存在开集V使得xeVuU。xx(注：拓扑空间开集使用公理给出的，所以此条件还不能证明U是开集由VuU，有UV。因为V是开集，故U是开集.xxxxeU重点理解该定理的意义：对于(X,T)中的子集U，有U是非空开集U是其每一点的邻域下面的结论是明显的(不加以证明)X是拓扑空间，xex，U为x的邻域系：xxeX,U鼻0；x若UeU，则xeU；x若U,Ve，则UnVeU；(由开集的代数性质可得)xx若UeU，且UuV，则VeU；xx若UeU，则存在VeU满足：xxa).VuU,b).对于任一yeV,VeU(由邻域的定义及定理可得)y闭集一一拓扑空间X的一个子集

17、A称为闭集，若Ac是开集。注释：i、由于Xc0,0cX，则X,0也是闭集；平凡拓扑空间TX,0也是闭集构成的。ii、在离散拓扑空间中，任何子集都是开集，于是，也都是闭集。上述说明，我们不能用欧氏空间中开、闭集的概念来理解拓扑空间中相应的概念。拓扑的定义是逻辑的，不是分析的。内点A是(X，T)的子集，xeA，若存在开集U(即T中元素)使得xeUuA，则称x是A的一个内点。内部A的所有内点的集合，记为intA或i(A)。聚点A是(X,d)的子集，xeX，若x的每一邻域U中都含有A-x中的点，则称x是A的一个聚点(或极限点)。(注：用x的邻域而不是开集)导集一一A的所有聚点的集合，称为A的导集，记为

18、d(A)或A。闭包称AAud(A)为A的闭包。稠密集一一若AX,则称A关于X是稠密的。如果X有可数的稠密子集，称X是可分的拓扑空间。思考题：余有限拓扑(R，1)是可分的。余可数拓扑(r，t)是不可分的。c三、拓扑空间上集合的一些重要性质性质1（关于闭集的性质）拓扑空间的闭集满足1）X与是闭集；2）任意多个闭集的交是闭集；3）有限多个闭集的并是闭集。证明：（1）已经证过；（2）和（3）可用开集的公理（2）和（3）经摩根律得出。性质（关于内点的性质）设A,B是拓扑空间的子集，有若AuB，则intAuintB；intA是包含在A中的所有开集的并集，因此，是包含在A中的最大开集;intA，AoA是开集

19、；int（AB），intAintB；int（AB）二intAintB证明：提示：只要证明A的内点一定是B的内点设x是A的内点，则存在开集U，使得xeUuA；又AuB则必有UuB，于是，x也是B的内点。故intAuintB设行aeT是包含在A中的所有开集构成的子集族。提示：我们只要证明intA，UU即可aaeT首先，VaeT,UuA，于是，对于xeUuA，x是A的内点，即U中所有点x均是AaaaaaeT又，若xeintA，则必有一个开集U，使得xeU故对intA中的所有x，有UUnintA。aaaUaeT.一U。并且intA是开集aaeT根据，任意开集的并是开集，则intA是开集。又，设A是开集，由知，A是包含在自身内的最大开集，于是有A，intAintA是A中的内点。故有UuintA,于是UUuintAa开集并)一方面，由于(AB)uA，根据，有int(AB)uintA；又(AB)uB，则有int(AB)uintB，故得到int(AB)uintAintB。另一方面，由A二intA且B二intB，则有AB二intAintB而int(AB)二int(intAintB)，intAintB所以，有int(AB)，intA