小学奥数几何燕尾模型

1、燕尾定理 例题精讲 燕尾定理： 在三角形 ABC 中, AD , BE , CF 相交于同一点 O , 那么, S ABO : S ACO BD : DC A F E O B DC上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,由于 ABO 和 ACO 的形状很象燕子的尾巴,所 以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于 任何一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间供应相互联系的途径 . 通过一道例题 证明燕尾定理： 如右图, D 是 BC 上任意一点,请你说明： S1 : S4 S2 : S3 BD : DC A S2 E S3 B

2、 S1 S4 C D【解析】 三 角形 BED 与三角形 CED 同高,分别以 BD , DC 为底,所以有 S1 : S4 BD : DC ； 三角形 ABE 与三角 EBD 同高, S1 : S2 ED : EA ； 形 三角形 CED 同高, S4 : S3 ED : EA ,所以 S1 : S4 S2 : S3 ； ACE 与三角形 综上可得, S1 : S4 S2 : S3 BD : DC . 可编辑 word, 供参考版！ 第 1 页,共 5 页【例 1】 （ 2022 年第七届期望杯五年级一试试题）如图,三角形 ABC 的面积是 1, E 是 AC 的中点,点 D 在 BC 上,

3、且 BD : DC 1: 2 , AD 与 BE 交于点 F 就四边形 DFEC 的面积等于 A A A B DF E B 3 F 233E CB F E C1CD D【解析】 方 法一：连接 CF , 依据燕尾定理, S ABF BD 1S ABF , S CBF AE 1, S ACF DC 2EC 设 S BDF 1 份,就 S DCF 2 份, S ABF 3 份, S AEF S EFC 3 份,如图所标 所以 SDCEF 5S ABC 512 12 方法二：连接 DE ,由题目条件可得到 S ABD 1 S 3 ABC 1 , 3S ADE 1S ADC 12S ABC 1,所以

4、BF S ABD 1, FE S ADE 12233S DEF 1S DEB 11SBEC 111 S ABC 1, 22323212 而 S CDE 21S ABC 1所以就四边形 DFEC 的面积等于 5 32312 【巩固】如图,已知 BD DC , EC 2 AE,三角形 ABC 的面积是 30 ,求阴影部分面积 . A A A E E E F F F B DCB DCB DC【解析】 题 中条件只有三角形面积给出具体数值,其他条件给出的实际上是比例的关系,由此我们可以初步 判定这道题不应当通过面积公式求面积 . 又由于阴影部分是一个不规章四边形,所以我们需要对它 进行改造,那么我们需

5、要连一条帮忙线, 法一 连接 CF ,由于 BD DC , EC 2AE ,三角形 ABC 的面积是 30, 1 1所以 S ABE S ABC 10 , S ABD S ABC 15 3 2依据燕尾定理, S ABF AE 1, S ABF BD 1 , S CBF EC 2 S ACF CD 1所以 S ABF S ABC , S BFD 15 7.5 , 4所以阴影部分面积是 30 10 1 法二 连接 DE ,由题目条件可得到 S ABE S ABC 10 , 3S BDE 1 S BEC 1 2 S ABC 10 ,所以 AF S ABE 1, 2 2 3 FD S BDE 1可编辑

6、 word, 供参考版！ 第 2 页,共 5 页S DEF 1 S DEA 1 1 S ADC 1 1 1 S ABC , 2 2 3 2 3 22 1而 S CDE S ABC 10 所以阴影部分的面积为 3 22【巩固】 如图,三角形 ABC 的面积是 200 cm ,E 在 AC 上,点 D 在 BC 上,且 AE: EC 3:5 , BD : DC 2:3 , AD 与 BE 交于点 F 就四边形 DFEC 的面积等于 A A A E E E F F F B D C B D C B D C【解析】 连 接 CF , S ABF BD 2 6 S ABF AE 3 6依据燕尾定理, ,

7、, S ACF DC 3 9 SCBF EC 5 10 设 S ABF 6 份,就 S ACF 9 份 , S BCF 10 份, S EFC 9 5 45 份, SCDF 10 3 6 份, 35 8 23所以 SDCFE 200 6 9 10 45 6 8 45 6 93 cm 28 8【巩固】 如图,已知 BD 3DC ,EC 2 AE ,BE 与 CD 相交于点 O , 就 ABC 被分成的 4 部分面积各占 ABC 面积的几分之几？ A A 18 30 份,所以四部 O E 911E O 22B DCB 3D1C【解析】 连 接 CO ,设 S AEO 1 份,就其他部分的面积如以下

8、图,所以 S ABC 129分按从小到大各占 ABC 面积的 1 2 , 30 30 13 9 , 60 30 3 , 30 910 20 CA , BQ 与 AP 相交于 【巩固】 2022 年香港圣公会数学竞 如以下图,在 ABC 中, CP 1 2CB , CQ 13赛 点 X ,如 ABC 的面积为 6 ,就 ABX 的面积等于 CCCP Q 41P 1 X 4B Q P Q X X B A A B A 【解析】 方 法一：连接 PQ CA ,所以 S ABQ 2 1S ABC , S BPQ S BCQ 3 21S ABC : S ABC 4:1 , 61S ABC 由于 CP 1C

9、B , CQ 1236S ABQ : S BPQ 2由蝴蝶定理知, AX : XP 3可编辑 word, 供参考版！ 第 3 页,共 5 页所以 S ABX 4S ABP 4 1S ABC 2S ABC 26 5 5 2 5 5方法二：连接 CX 设 S CPX 1 份,依据燕尾定理标出其他部分面积, 所以 S ABX 6 1 14 4 4【巩固】如图,三角形 ABC 的面积是 1, BD 2DC , CE 2 AE , AD 与 BE 相交于点 F ,请写出这 4 部分 的面积各是多少 .A A E 6 1 E 2F 8 F 4B B D C D C【解析】 连 接 CF ,设 S AEF

10、1 份,就其他几部分面积可以有燕尾定理标出如以下图,所以 S AEF 1 , S ABF 6 2 , S BDF 8 , SFDCE 24 221 21 7 21 21 7【巩固】 如图, E 在 AC 上,D 在 BC 上,且 AE : EC 2:3 , BD : DC 1: 2 ,AD 与 BE 交于点 F 四边形 DFEC 2的面积等于 22 cm ,就三角形 ABC 的面积 A A A E E E F F 2 F B B B 1 2D C D C D C【解析】 连 接 CF ,依据燕尾定理, S ACF S ABF BD DC 1 , 2 S ABF S CBF EC AE 2 ,

11、3设 S BDF 1 份 , 就 S D C F 2 份 , S ABF 2 份 , S AFC 4 份 , S AEF 4 21 . 623份 , S EFC 4 3 2.4 份,如图所标 ,所以 SEFDC 2 份 , S ABC 23 4 9 份 2 32所以 S ABC 22 9 45 cm 【巩固】三角形 ABC 中, C 是直角,已知 AC 2 , CD 2 , CB 3, AM BM ,那么三角形 AMN 阴影 部分 的面积为多少？ A A M MN NC D B C D B 【解析】 连 接 BN ABC 的面积为 3223CD : BD 2:1 ； 依据燕尾定理, ACN :

12、 ABN 可编辑 word, 供参考版！ 第 4 页,共 5 页同理 CBN :CAN BM : AM 1:1 设 AMN 面积为 1 份,就 MNB 的面积也是 1 份,所以 ANB 的面积是 1 1 2份, ACN 的面积就是 224 份, CBN 也是4 份,这样 ABC 的面积为 4 4 11而 10 份,所以 AMN 的 面积为 310 1 【巩固】如图,长方形 ABCD 的面积是 2 平方厘米, EC 2DE , F 是 DG 的中点阴影部分的面积是多少 平方厘米 .A G F DA A 3Dy D5平方厘米 . 1 3 F x2F E 3 x y C G E E B CB B G

13、 C【解析】 设 S DEF 5 S BCD 12 1 份,就依据燕尾定理其他面积如以下S 阴12 图 影 【例 2】 如 图所示,在四边形 ABCD 中, AB 3BE , AD 3AF ,四边形 AEOF 的面积是 12,那么平行四边 形 BODC 的面积为 A A F 4F B E O CDB E 12O 686CD【解析】 连 接 AO, BD ,依据燕尾定理 S ABO : S BDO AF : FD 1: 2 , S AOD : SBOD AE : BE 2 :1 ,设 S BEO 1 , 就其他图形面积,如图所标,所以 SBODC 2SAEOF 2 12 24 . 【例 3】 ABCD 是边长为 AGCD 的面积是 12 厘米的正方E , F 分别是 AB , BC 边的中点, AF 与 CE 交于 G ,就四边形 形, 平方厘米 DCDCG F G F A E B A E B 11） 2