高中数学：所有常用公式结论汇总

1、高中数学常用公式及常用结论.元素与集合的关系xg，xq( Ao x A.谯摩根公式品.(/n4); C;AuCl;BC:Au) = Q.JnCJi.包含关系ARB二 Ao AUE二 B o AuBcg,BuC。月nG B=6oC AU8二 R4,集合%,外,的子集个数共有2”个；其子集有2”-I个; 非交子集有2“ - I个：非空的真子集有2 -2个.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式 /(x) = ax、hx + c(ct # 0);(2)顶点式/( ; a(jr-/7 十4(a /0);(3)零点式/(r) = a(x- r, )(x- x2 )(a w 0).闭区间上的二次函数的最值

2、:次函数/(r) = ax+bx + c(a工0)在闭区间p,4上的最值只能在x = -d处 2a及区间的两端点处取得，具体如下，当a0时，若二_?W”,司，则丫)皿=/(-?)，/(肛心二必/()，/)： laLa若=-( /3，=z /()，/()，/(/)mn =z /)J(g)当水0 时,若 r=-，cp,司，则/(幻二 min /(),/(),若犬二一(星/，则/(k)=maxp)J/) , /(冷皿=111布/(),/(9),.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据在给定区阿上上含参数的二次不等式/U,/) 0 为参数)恒成立的充要条件是 fCV)nw 2 0a $ L)在给定

3、区间卜冽上含参数的二次不等式fxj) 0(/为参数)恒成立的充要条件是/)1 4 0a纪L)，/(戈)=#+及0恒成立的充要条件是0恒成立的充要条件是0 vOb2 -4nc 08.四种命题的相互关系9.充要条件8.四种命题的相互关系9.充要条件，/, (2)必要条件：若qn，(3)充要条件：若p = q s则是q充分条件.则是q必要条件.n夕=，则是q充变条件.注：如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件：反之亦然.函数的单调性(1 )设X . *2 W a/不 工 丫2 那么ao o，但)-o。八一在口”上是增函数;占一 X2(x, -x,)./ (A-,)- f(x2) 0 *)二工)V0

4、o /(犬)在a,司上是减函数./( 一工工设函数y = /(x)在某个区间内可导，如果/口)0,则.M为增函数：如 果/。) v 0，则fM为减函数.奇偶函数的图象特征有函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关y轴对称；反过来.如果 个函数的图象关原点对称，那么这个函数是奇函数；如果个函数的图象美广 y轴对称，那么这个函数是偶函数.1 2.对广函数V = _/*) ( .V R ), /(x I a) = fb 2恒成立，则函数/(*)的对称轴 是函数x- :两个函数JJ = /(A-4-Z/)与y - fh - X)的图象关门.线 ”史女对称.2.两个函数图象的对称性函数y = /(.V)。

5、函数y = /(r)的图象关于H线* = 0 (即y轴)对称.函数N = f(mx-a)与函数y = fh - nix)的图象片1线x =上?对称.2m函数y = /(x)和y=/ (t)的图象美 中工线 户 对称.若将函数尸= /(x)的图象右移I二移8个单位，得到函数)，= /*-) + /)的 图象；若将仙线人工4) = 0的图象分移a、上移个单位，得到前线 /(x-%)一/) = 0的图象.几个常见的函数方程正比例函数/(X)= ex, f(x + y) = /(x) + /(J),/1) = C.(2 指数函数 f(x) = ax, f(x + y)= /(x)/(j),/(I) =

6、 a 0.对数函数 /(x) = 106a x，/(4)=/W += 1(。 0, h I) (4)后函数 f(x) = N , /)=/(aWX/(1) = a .有理指数的运算性质(1 小(2 (aY=aC(aAO,r,se0).(3 aby = arbr(a 0, b 0,尸 w 0).注：a(), p是一个无理或，则表示一个确定的实数.上述行理指数 的运算性质，对于无理数指数暴都适用.指数式与对数式的互化式logu N = b o d = N (a 0,(7 1, X 0).对数的换底公式logr N = - 0，1 L。工 1, )。，I Lm h 1, 7V 0) log推论 lo

7、g hJ = - logtf / (a0, J=La 1,也 0, II加 w 1, 工 I, N 0). “ m.对数的四则运算法则若汁0, al. M0, NX),则 1。&(A/N) = logd M + logfl N ; 电 g = log., M - log,” ;N log”= log/W(n R) .等差数列的通项公式勺4 -l)d = dh + % - d5 s V)：贝;前n项和公式为fl+(/1 7 )/7 .等比数列的通项公式an = %夕 =幺夕（ N）； q其前n项的和公式为-s; = q叫，q = l.常见三角不等式(1)若 kw(O,X), H + tan a

8、tan J3 sin xx),则 1 vsinx+cosxM施.2|sin.r| + |cosx|l.同角三角函数的基本关系式sin: + cos2 = 1. tan8二-9 COS。.正弦、余弦的诱导公式奇变偶不变符号看象限.和角与差角公式sin(a /?) = sin acos /? cos a sin J3 ;cos(a p) = cos a cos /? + sin a sin ;un(a + /?)=1a tan 0asina+dcosa = Va2 + 2 sin（a + ）（辅助角（p所在象限由点（。,力）的象限决定,tan（p= ）. a.二倍角公式sin 2tz = sinz

9、zcosa.cos 2cz = cos2 a - sin a = 2cos2a - 1 = l-2siir cr.tan 2a =tan 2a =2 tanaI - tan2 a.三角函数的周期公式函数y = sin(VM + 0), x e R 及函数y = cos(wx + g), xe R (A, 3 , 0 为常数， 且AHO, 30)的周期7 =立： tt)函数y = tan(0X+e) , xn 左外 + g, Z (A, 3,旧为常数,“ AXO, 30) 的周期，=工.CO28.正弦定理 28.正弦定理 a _ b sin J sin B三； = 2R(R是外接圆的半径) si

10、n(29,余弦定理a2 =/ c2 -2hccos A ;b: =c2 +/-2ca8sB ;c2 =a2 +/一2a力cos。.面积定理S = L ah。= bhh = che (4、%、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 222,V = -aftsinC, = -Zx sin /I =-casinB.222.三角形内角和定理在ABC3 有彳 + 6 + (二刀。(=：万-(4 + 5)C n A + 8o2C = 2-2(4 +A).。一二o2C = 2-2(4 +A).2 22.向量的数量积的运算律， b= b a (交换律)；(Aa) b= A (a b) b= a ( Zb);

11、 +b) c= a c +b 4 c.平面向量基本定理如果仇、e z是同一平而内的两个不共线向金，那么对于这一平面内的任一 向量,有且只有一对实数A卜L，使得入恁.不共线的向量a、蜕叫做表示这一*面内所有向量的一组基底. a与b的数量积(或内积)a b= a b cos 0 .数积a b等于a的长度间与b在a的方向上的投影 |b|cos 0的乘积.平面向量的坐标运算设 a=(X|M,b=(x2,/2),则 a+b=& +七,乂 + 外), 设a二区,必)，b= ,月)，则a-b=(占一占,必一 外) 设B(gh),则方=砺-而=(4-七,%-乂). (4)设 a=(x,y),2 R ,贝lj

12、7 a=(21,7y).设 a二(芮,J。，b=(&，n),则 a b=-& + yM).两向量的夹角公式cos8 = 7浮=(后区，,)，b=(4,/)石+%.平而两点间的距圈公式九=1隔=J标而=-I)?+(%乂:(Aa,yJ, B(x,y,).向量的平行与垂直设 a=(M,乂)飞=区,为)，FLbwO,则a b b= A a ox】y)-*一0al,b(aw 0) o a b=0rt2 + jBy2 = 0.线段的定比分点公式_设4区,乂)，巴区，必)，P(xj)是线段的分点，2是实数，“环二方正，则X + ZXy * 山一百gp? =乂 + /必+ %1+2=5:百+(1T 顽.三角形

13、的重心坐标公式ABC三个顶点的坐标分别为A(Xj, yj、Bxg, yj、C(x3, y3),则AABC的重 心的坐标是g卢昔当纪专小.。为的Hi心O况+砺+灰=6.41点的平移公式o5F=而十懑. y = y -Ao5F=而十懑. y = y -A 4=广在：图形F上的任意一点PG, y)在平移后图形/上的对应点为(X，), 旦丽的坐标为(。,幻.42.“按向肽平移”的几个结论1)点(x,y)按向地a=(九、)平移后得到点(x+ h,y + k)(2)函数y=/(的图象C按向地a=(九A)平移后得到图象。，则。.的函数 解析式为/ = f(x-h) + k, 图象C按向情&-(力平移后得到图

14、，升的蛇大忏力_仆 吗到 C的函数解析式为y = /(/ +乃一火.36,两向量的夹角公式cos0 = /,（炉（玉,必），b= （x2,必）.3；十%37.平面两点间的距离公式火|Z5|= J券.而=J（一1）2+（券-乂）？（A（x，yJ ,仕（与,必） 38,向量的平行与垂直设 a，（x，yj,b=（5,/），且 bHO,则a bob=Aa与此一二乂 = 0.alb（a 0）。& b=0ou +乂必二 0 =/（K-力）+4.（3）图象按向砧a=的公平移后得到图若（、的纸，式曾二口分 吗英 C的函数解析式为y = fgh）_k.直线的五种方程（1）点斜式 六乂=心-占）（直线/过点4（%

15、乂），且斜率为）.（2）斜截式y=H + /】（b为直线/在y轴上的截距）. 两点式上口L =三二l （必wy,） （/；（*”）、R（占J,）（司/居）.）f2 -z XL 一一（力截距式 + 2 = 1（小刀分别为直线的横、纵截距，公 ） a b一般式4r+型+ C = 0（其中A、B不同时为0）.两条直线的平行和垂直若/, ：y=/x十4 , 0 ：y = k/+% 1W2ok尸k2,b产人 ruo欣=7.4到人的倒角公式(1) tan a =k(1) tan a =I +A,A1* I(4 :y = kX* , l2 :y = k2x-b2.kk2 # -I).两种常用直线系方程（1）

16、平行仃线系方程：与直线祗+如+= 0平行的直线系方程是 4t 4力+ 4 = 0（4/0）,人是参变量.垂直直线系方程：与直线及+ /亚+= 0 （AHO, BK0）垂直的直线系 方程是西一*+/1 = 0, 人是参变量.点到直线的距离d = 4*K（点（心,儿）、直线/ ； /k十加一（=0）.而+取+ C0或V0所表示的平面区域设真线/: 十恢+（ = 0 ,则月x +饮十。0或0所表示的平面区域是； 1）若BwO,当#与4t十为同号时，表示直线/的上方的区域；当“与 公+协异号时，裳示直线/的下方的区域.简言之洞号在匕异号在下.（2）若5=0,当力与尬十分（同号时,表示直线，的右方的区域

17、：当/与 4力：（芹号时，表示直线/的左方的区域.简4之，同号荏右屏号密邑.圆的四种方程（1）园的标准方程a-）2+a-=/.（2）阅的一般方程 X2 + / 4- Dx + /-= 0 （D14- E2-4F 0）.圆的参数方程?=frCSf.y = +，sm 夕（4）网的直径式方程（X-%）（*-%） + （,-%）（尸-乃）=0 （阅的食径的端点是 力（用,乂）、6（占,以），.直线与圆的位置关系一线+如+ C = 0与圆 =的位置关系有三种:相离 oAvO；二尸o相切u*A=0; v r o tH 交 o 0.其中 =L / LX A?+ B255 .椭X V-V + -5V55 .椭

18、X V-V + -50）焦半径公式 a b|G | = （x + 亍），|P%| = u（+ 7）-椭留的的内外部 TOC o 1-5 h z （i）点尸（与j0）在椭网二十l = ig人o）的内部。工十 a brJ7 J4（2）点r（/ J。）在椭圆0+2二i a 。a o）的夕卜部=至十 矿 b-才56.双曲线_4 = l（a 0,方 0）的焦半径公式 cr Zr25|/阂=|仪* + |, | 尸周=|C（/T）|.双曲线的内外部（I）点PC%,%）在双曲线】一 = 30,方 。）的内部O”一与1 （T 力Zr（2）点P（x0iy0）在双曲线】-5=l（a 0,6 0!的外部血-4 渐近

19、线方程，4-4=oc j=x. cr b”cr &a（2）若渐近线方程为歹二2ku 土士工=0n双曲线可设为匚= a a bcr b（3）若双曲线与0-二1有公共渐近线，可设为=入（入0,焦 a， lra 二 b点在x轴上,九v 0 ,焦点在y轴上）.抛物线/ =2x的焦半径公式抛物线 y? = 2px/ 0)焦半径 |( 7=X。+ 4 .2过焦点弦长 |C7J| = Xj + y + x2 4- y = Xj + X + /；.直g与网锥曲线相交的弦长公式AB - J（l +XH）（1 一萄=1 片-乂 | Vi +tan2zz -|必-y: | Jl +co Ja（弦端点A（w，月）”（

20、x,%），由方程,消去y得到/+云十。=0,F（x,y） = 0A0, a为内线4,的倾斜角，A为直线的斜率）.证叨直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共而二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行:（3）转化为线面平行：（4）转化为纹面垂直：（5）咕化为而而平行.证明直线与平面的平行的思考途役（I）转化为直线与平面无公共点;（2）转化为线线平行:（3）转化为面为平行.证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定:平谕无公共点: （2）转化为化为平行:（3）转化为线而垂直.证明直线与直线的垂直的思考途在（1）转化为相交垂直；（2）转化为纹面垂直：（3）转化为线与另线的射影垂自；（

21、4）转化为线与形成射影的斜线框It证明直线与平面垂直的思考途径G )转化为该直线与平平内任一宜线垂垂;(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;(3)转化为该化为与平面的一条垂线平行:(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面： 转化为该直线与两个亚宜平面的交线垂瓦iipy 1平面与平面的垂直的思考途径(1)转化为化断二断角是直二面角;(2)转化为线面垂宜.平面向能加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同旦不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向出为棱的平 行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向堂.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(bHO), abo存在实数入使分=入b.J 4勿三

22、点共线o 加力=/方 o 而=(1一)次+，丽.ABCD xtx2 + J；J +5tz2 =0.夹角公式设a=（%,%,4）, b=（4也也），则cos 6 b）-厂，占T刍土史，_.4a： + a； + a;+6 +方；推论（a也+44+ 4仇）？（g+；+。：）（斤+居+力：），此即三维柯西不等式.异面直线所成角cos 0 =| cos 0,/） | I Iab分别丧示异而真线外方的方|。卜|加+乂2y jx；+凡、ab分别丧示异而真线外方的方（其中6 （0。6M90。）为异面直线所成角, 向向量）.直线月8与平面所成角B = /vsinAB B = /vsinAB 巾I而I廊I。为平面

23、。的法向;。.二面角4的平面知（m./为平面a, 的法向岸八（m./为平面a, 的法向岸6 = arc cos-=一=上火.4-arc cos-= |M|W|71 .空间两点间的距离公式若13（*2,%,“2），则力/I而l=J而=府守所才小才72点。到直线，距离二上加1，1闻）2二（。）2 （点p在宜线/上，门.线/的方向向量a= PA ,向房 |b=地）.73 ,异而直线间的距离、Q分别是44上任、Q分别是44上任点，为间的距离）.点到平面a的距离）为平血a）为平血a的法向M.就是经过而a的一条斜线,.界面直线上两点距离公式d = d = J/r +;/f + if - 2mn cos（两

24、条异面直线a. b所成的角为0 9其公垂线段”的长度为，在直线u b 上分别取两点E、F, aHF = * EF = d）.三个向盘和的平方公式一 - 一 2 一 2 一2 一一 （a+人+ c）-=a +5 +c + 2a方+ 2c + 2ca= /+:+2|.向85&+2网|中8$,2） + 2日卜|二|8$（联,力）.面积射影定理cos。（平而多边形及其射影的而枳分别是S、S，它们所在平面所成锐二而角的为6）.欧拉定理（欧拉公式）V”-E = 2 （简单多面体的顶点数Y、棱数E和而数F）.（1） E=各面多边形边数利的半.特别地，若每个面的边数为的多边形,则而数F与楂数E的关系；2（2）若每个顶点引出的极数为/，则顶点数V与棱数F的关以EmV. 79.球的半径是R,则 其体积展，正， 3其表面积6 = 4万解.八“S足锥体的底面积、力是锥体的高).1矍3 80.组合数公式八 m /11 /(/ - 1)(/ - / + 1)，/!/ 、/口 =(WN, meN ,4 lx2x*-xzw m !(7/-?)!性质：(T=C： m ；c：yy4.注:规定d = i.(3)C+C+C+- + C；+(T=2. n次独立化复试验中某事件恰好发生k次的概率 P = Cr(P)i.离散型随