南航信号与系统课件

1、2.7 迭加积分 卷积积分将激励函数沿垂直方向分解表示成冲激函数积分时,求零状态响应卷积积分由2.5节(2-35a), 前面为求迭加积分所做的两项准备工作：激励信号的分解及求单元激励的响应已完成。现讨论用迭加积分求任意函数激励的零状态响应。2.7 迭加积分当n, t0，则kt, td,用*或表示: 经过变量代换。卷积积分是本章学习的重点,用时域法求解零状态响应主要用卷积积分,对其要加深认识。卷积积分2.7 迭加积分P65 例2-6 激励电压。初始状态i（0）为零。求响应电流 i(t)2.8 卷积及其性质1. 卷积的积分限。前面公式中有数学上定义的卷积运算：若f1(t), f2(t)卷积结果为g

2、(t)两者不矛盾，后者（, ）为一般情况。前面（0, t）为其特例。特殊之处在于激励信号e(t)是有始函数e(t)=0 (t0)即e(t)(t)则2.8 卷积及其性质将来在卷积中，必须根据所给的e(t)和h(t)具体、正确地确定积分限，这是卷积运算的关键。即系统h(t) 是因果系统。有激励，才有响应。激励在t=0时加入，因此t0 ,h(t)=0。2.8 卷积及其性质一般e(t) 一般h(t) r(t)=因果e(t) 一般h(t) 或 一般e(t) 因果h(t) 或 困果e(t) 因果h(t) 或 当函数有“有始有终”且起点不在t=0处积分限的确定要更为复杂。以后将通过具体例子，逐步掌握。试列几

3、种简单例子自己定积分限。（一般指，无始无终）2.8 卷积及其性质2卷积运算性质：2.8 卷积及其性质一个函数与(t)相卷积等于函数本身。卷积运算的这些性质，十分重要，掌握好并在运算中灵活运用可简化运算。2.8 卷积及其性质（10）相关与卷积两个实函数x(t),y(t)的互相关定义比较上两式可以得到Rxy(t)=Ryx(-t)。当 x(t)=y(t)时，则相关函数为Rxx(t)称为自相关。有Rxx(t)= Rxx(-t)。相关与卷积的关系：2.8 卷积及其性质例1：试求下列各式的值2.8 卷积及其性质例2 已知某线性非时变(LTI)系统如下图所示。已知图中h1(t)=(t)，h2(t)=(t-1

4、)，h3(t)=e-3(t-2)(t-2)，试求该系统的冲激响应h(t)。例3：T(t)为周期为T的周期性单位冲激函数序列，f(t)如图示2平移相乘叠加（积分） 反褶h() h() 平移h() h(t) 相乘e()h(t) 积分求e()h(t)所围面积注：是积分变量，而t是参变量。(几何意义是平移量)2.8 卷积及其性质例：已知信号 e(t)和h(t)用图形法求e(t)*h(t)(2)直接计算法:上例：e(t)= (t)(t), h(t)=et(t)2.8 卷积及其性质 (3)公式法：例2：求两个宽度相同的门函数之的卷积关于卷积积分，必须掌握分时间区间求解方法，直接计算法不宜作主要方法。2.8

5、 卷积及其性质结论：两个宽度相同的门函数相卷积结果是一三角形。宽度加大一倍。最大值在t=0处，其值等于两个门重叠时乘积的面积。必要时此结论可直接拿来使用。上例也可用卷积的性质。若f1(t)在t1, t2内为非0，f2(t)在t3, t4上不为0则f1(t)*f2(t)在t1+t3, t2+t4上非零。上例解法二：2.8 卷积及其性质分段函数i) t0 g(t)=0ii) 0t0，g(t)=0.2.8 卷积及其性质也可由 2.9 线性系统响应的时域求解一、近代时域法求解步骤1、求系统的转移算子H(p)2、求系统的零输入响应求解方法：经典法，等效源法 如果系统的初始条件为零，则本步可以省略。3、求

6、系统的零状态响应 1）求系统的冲激响应； 2）通过卷积积分，求系统对激励信号的响应；如果积分难于计算，可以通过计算机数值积分计算。4、将零输入响应与零状态响应相叠加，得到总响应。 2.9 线性系统响应的时域求解时域法求解线性系统响应的总结全响应=零输入响应rzi(t)+零状态响应rzs(t)解齐次方程代入初始条件卷积积分e(t)*h(t) 2.9 线性系统响应的时域求解二、系统对指数激励信号e(t)=est(t)的响应 2.9 线性系统响应的时域求解零输入响应rzi(t)：由系统特性及初始条件确定，与激励无关，只含自然频率确定项零状态响应rzs(t)：由系统特性及激励信号确定，与初始条件无关，

7、其中包含了激励频率确定的项，也含自然频率确定的项，后者代表激励时系统所产生的瞬变过程。（过渡过程）其中H(s)为将激励信号的指数因子s带入转移算子H(p)中，作为代数表达式进行计算而得到的数值。这个值实际上就是后面将要讨论的拉普拉斯变换。 2.9 线性系统响应的时域求解全响应分解方式间的关系：全响应=零输入响应+零状态响应（初始条件代零输入响应）=自然响应+受迫响应（初始条件代全响应）=瞬态响应+稳态响应 对稳定系统 自然响应一定属瞬态受迫响应可能为稳态，可能为瞬态视激励而定。响应中，随t趋于“0”的响应分量称为瞬态响应，随t趋于稳定值的响应分量称为稳态响应 2.9 线性系统响应的时域求解书P

8、70 例2-10 已知2.9 线性系统响应的时域求解三、 矩形脉冲信号激励下的RC电路响应见P71，激励是宽度为0的矩形脉冲电阻上的电压=RC称为电路的时间常数，其倒数= 越大响应衰减愈慢，反之响应衰减越快。为衰减常数下面讨论与0的关系，见书P86-87页2.9 线性系统响应的时域求解四、梯形脉冲信号作用于系统直接求响应r(t)=e(t)*h(t)则需反褶、平移划分时间区间，定各区间和积分上下限，并计算积分值。由于f(t)*(t)=f(t)因此有关(t)卷积运算十分方便。利用这一点可简化卷积运算。te(t)102 3 412.9 线性系统响应的时域求解解一：将e(t)求导一次再对e (t)求导

9、一次则有 *要利用这种简化方法的条件是函数都由直线段构成*即利用凡直线段构成的函数可分解为奇异函数之和。2.9 线性系统响应的时域求解例： 用卷积的微分性质求下列函数的卷积 书P102、220 例： 已知某线性系统单位阶跃响应为r(t)=(2e2t1) (t)试利用卷积的性质求下列波形激励下的零状态响应。（书）P104，2.21(c)。2.9 线性系统响应的时域求解小结： 1、响应信号按照其数学特性可以分为自然响应和受迫响应，也可以按照物理特性分为零输入响应和零状态响应。其中零输入响应与自然响应、零状态响应与受迫响应从表面上看相似，但是它们并不相同： 1）零输入响应是自然响应的一部分，但是自然

10、响应还包括了零状态响应响应的一部分； 2）受迫响应是零状态响应的一部分，但零状态响应还包括自然响应的一部分； 2.9 线性系统响应的时域求解2、系统响应又有另外一种分法： 1）瞬态响应：随时间增长而趋于零的部分； 2）稳态响应：随时间增长而不趋向零的部分。对于稳定系统，自然响应必定属于瞬态响应，受迫响应则可能为瞬态响应，也可是稳态响应，具体情况视激励信号的形式而定。2.9 线性系统响应的时域求解总之，信号的响应有三种分类： （1）零输入响应和零状态响应； （2）自然响应和受迫响应； （3）瞬态响应和稳态响应。如果激励信号的指数s与系统的某个特征根相同，则响应中有：2.10 卷积的数值计算法用卷

11、积积分法求零状态响应的前提是激励e(t)和冲激响应h(t)都要能表示成函数。而在有些条件下，e(t)无法表示成函数，或是条实验曲线、或是一组实验数据，h(t)也如此。这时怎样用卷积积分求零状态响应呢？解决的办法用数据计算法。其原理如下图，实质上是把e(t)和h(t)分解成有限多个脉冲函数。实际上用阶梯信号近似表示e(t)和h(t)。卷积积分的来源就是基于将任意函数分解成冲激函数积分这一基础。2.10 卷积的数值计算法分解：从有限无限，运算从卷积数据计算又从无限有限，运算从所以数据计算的步骤是反褶、平移、相乘。求和分割的区间愈小，求得的结果愈精确，这些平移、相乘、求和工作量很大，但都是重复性工作

12、，只要把这些步骤，编成程序。可由计算机进行计算。从几何意义上讲，卷积就是固定时间t，令t=tk，两函数相乘得一曲线e()h(tk-)计算tk瞬时曲线下的面积k=0,1,2。所以卷积积分即计算不同时刻面积与tk的关系。2.10 卷积的数值计算法卷积积分值可以近似地用两块矩形面积(e0h2+e1h1)T来表示。按此过程，随着参变量t的不断增加，e()与h(t-)的重叠面积随之而不断变化，用相应的矩形面积近似代表e()h(t-)的积分。 上述数值近似计算的卷积积分可写成一般表达式，为 线性时不变系统的时域分解法有两种：1、 经典法：常规的线性微分方程的求解方法，先确定解的形式。将响应分为两部分：1）

13、 自然响应：即通解，由相应的齐次微分方程的解，由系统的自然属性产生；2） 受迫响应：即特解，由激励项引起。最后，将两部分解相加，带入初始条件确定其中的待定系数，最终确定全响应。经典法的主要缺点是在激励信号比较复杂时难于确定其特解。复习：线性系统响应的时域求解法复习：线性系统响应的时域求解法2、近代时域法（卷积法）：将解分为零输入响应和零状态响应两部分：1） 零输入响应：激励信号为零时，系统的响应。其解法有等效源法和经典法。后者较为常用，在经典法中仅仅有自然响应，只要求解齐次微分方程即可。2） 零状态响应：系统初始条件为零时的系统响应。该响应可以用经典法求解，但是必须同时考虑自然和受迫响应，比较麻烦。卷积法则通过计算激励信号与系统的冲激响应的卷积的方法得到系统的零状态响应响应。如果得到了系统的冲激响应，它可以求解任意激励信号下的响应。 复习：线性系统响应的时域求解法在有些条件下卷积积分难于得到解析解，但是，借助于计算机数值分析，可以得到非常精确的系统响应的数值解。这种方法现在可以使用的比较广泛。时域法可以计算出系统对任意信号的响应。但是它难于得到一些广泛性的结论。这个弱点可以通过后面的变换域法解决。练习1：已知某线性时不变系统在相同的初始条件下，若激励为e1(t)=(