欧拉公式与闭曲面分类课件

1、欧拉公式与 欧拉公式与闭曲面分类 第一节 拓扑变换与拓扑不变量第二节 多面体的欧拉公式第三节 拓扑思想的一些应用第一节 拓扑变换与拓扑不变量一、拓扑变换二、几个最简单的拓扑不变量一笔画问题 平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上不重复？例如汉字“日”、“中”都是可以一笔画出来的，而“田”和“目”则不能一笔画成。你知道如何画吗？一、拓扑变换第一节 拓扑变换与拓扑不变量 显然，通常的几何方法在一笔画问题上是没有用的，因为“图形能不能一笔画成”和图形中线段的长度、形状等几何概念没有关系，要紧的是线段的数目和它们之间的关系，也就是说一笔画问题的关键是图形的整体结构。 例如图1-1

2、中的(a）和(b）都是“日”字的变形，都能一笔画出；c），d）和e）都是“田”字的变形，都不能一笔画出。第一节 拓扑变换与拓扑不变量 图形的拓扑性质或拓扑不变量是图形在同胚映射下不变的性质。因此两个图形若同胚就必须具有相同的拓扑性质或拓扑不变量；反之，若两个图形的拓扑不变量不同，那么它们就一定不会同胚。二、几个最简单的拓扑不变量、连通性与连通支的个数 从直观上说连在一起的图形是连通的，如果图形由几个不相连接的部分组成的，则图形是不连通的，组成图形的互不连接部分的数目称为连通支的个数。 第一节 拓扑变换与拓扑不变量 对平面区域来说，任一封闭曲线都能连续地变形或收缩成这个区域内的一个点，我们把具有

3、这种性质的区域称为单连通的。 不是单连通的区域称为多连通的。如果沿半径把上面图形中的区域（）切开（如图）得到的区域是单连通的，区域（）称为是双连通的。 第一节 拓扑变换与拓扑不变量 、割点与割点的个数 注意：割点和非割点的概念是一个拓扑性质，也就是说割点在同胚映射下的象点仍然是割点，非割点在同胚映射下的象点也仍然是非割点，从而一个图形中割点的个数是一个拓扑不变量，非割点的个数也是拓扑不变量。 在一个图形上有这样的点，去掉该点后，余下的是一个不连通的图形，即连通支个数多于一个,具有这样性质的点称为图形的割点。例如图中的（）. 第一节 拓扑变换与拓扑不变量 思考：下列图形各有几个割点？第一节 拓扑

4、变换与拓扑不变量 3、点的指数 设一个图形是由有限条弧组成的，是这个图形的点，从点引出的该图形的弧的个数，叫做点在该图形中的指数。 第一节 拓扑变换与拓扑不变量 注意：与前面类似，借助于指数的概念可以证明一些图形是不同胚的。 第二节 多面体的欧拉公式一、欧拉公式的发现 由若干个平面多边形围成的封闭的立体叫多面体。若多面体在它的每一个面所决定的平面的一侧，它就叫凸多面体。一个多面体，如果它的表面能同胚于一个球面，就称为简单多面体。 多面体的顶点数为，棱数为，面数为，请对于上述诸多面体分别计算的值。 设简单多面体的顶点数、棱数及面数分别为、及，则-，这就是著名的关于简单多面体的欧拉公式。 多面体V

5、EFVE+F(a)46446+4=2(b)58558+5=2(c)69569+5=2(d)8126812+6=2(e)8137813+7=2(f)1632161632+16=0(g)7128712+8=3 第二节 多面体的欧拉公式 由每一个多面体的顶点和棱所组成的图形都是一个空间网络，而且这个空间网络还满足：（3） 没有孤立的顶点，也没有 自由的顶点 （4）是连通的。 我们将用平面网络来证明欧拉公式，有两种思路： 第二节 多面体的欧拉公式1、剖分成三角形2、树形证明过程：1、变成平面网络，只需证明VE+F=1， 图（a-b） ；2、剖分成三角形，图（b-c） ；3、去掉平面网络的边界（图（c-

6、d）；4、去掉PQR之类的三角形，保留PR，图d-e；5、再去掉一个三角形，此时VE+F=1，图e-f。第一种思路：以立方体为例，具体证明过程如图所示。 第二节 多面体的欧拉公式第二种思路： 一个连通网络，若不包含任何由一串棱组成的封闭折线，也就是它的棱不组成任何环路，则称为一个树形。 注意：树行中V-E=1。证明思路：简单多面体平面网络树形 第二节 多面体的欧拉公式证明过程：1、变成平面网络，只需证明VE+F=1， 图（a-b） ；2、抹去4和5两个区域的公共棱，合并成一个区域，VE+F的值不变，图（b-c）；3、按此方法，最后得到图（g）。4、图（g）为一个树形，因此有VE+F=1。 第二

7、节 多面体的欧拉公式三、欧拉公式的应用 欧拉公式的应用非常广泛，也可以渗透到许多其它学科之中，这里举两个比较重要的应用。 应用C60是由个原子组成的分子，它的结构为简单多面体形状。这个多面体有个顶点，从每一个顶点都引出条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种。根据欧拉公式，我们可分别算出五边形和六边形面的个数。 可以设五边形和六边形的面各有个和个。 其顶点数，面数，棱数 1/2（360） 。根据欧拉公式，可得：（）1/2（360） 第二节 多面体的欧拉公式另一方面，棱数也可以有多边形的边数来表示，即 1/2（5x+6y）=1/2（360） 由以上两方程可解出：，。应用 正多面体的种类 正多面体

8、是多面体的一种特殊情形，要求它的各顶点，各棱和各面的结构相同，度量全等，而且还要求它的各个面都是正多边形。 现在，我们应用欧拉公式证明正多面体只有五种。 设正多面体的每个面是边形，在每个顶点相遇的棱数是，于是必须有， ，为什么？ 可得：nF=2EF=2/n E 第二节 多面体的欧拉公式 1、当时，由前面的等式得到 1/r-1/6=1/E 此时，只能取，三个值，分别求出，又可求出F=4，8，20，相应的正多面体分别是正四面体，正八面体及正二十面体。 2、对于，得到 1/n-1/6=1/E同样得到，相应地，这些值分别对应着正四面体，正六面体和正十二面体。 综合来看，正多面体只有五种， 分别为：正四

9、、六、八、十二、二十面体。 第二节 多面体的欧拉公式第三节 拓扑思想的一些应用哥尼斯堡七桥问题与一笔画问题2、如果A是始点，B是终点，A的指数为奇数，B的指数也为奇数。同样，中途点的指数也一定为偶数。AB1、如果A是始点，也是终点，A的指数为偶数。中途点的指数也一定为偶数。A第三节 拓扑思想的一些应用 上一下二下一综上所述：一笔画定理 一个网络能一笔画的充分必要条件为它是连通的且奇顶点的个数为0或2 。哥尼斯堡七桥问题 第三节 拓扑思想的一些应用 返回上两张返回上一张一笔画的具体路线：当有两个奇顶点时，从一个奇顶点出发，最后终止于另一个奇顶点，这样的路线总可以找到；当没有奇顶点时，从任何一个顶点出发，最后还回到这个顶点，这样的路线也总可以找到。一笔画的路线问题该如何处理呢？第三节 拓扑思想的一些应用 上二、将个大写字母所表示的图形（图）按同胚进行分组，使同一组内各个图形是同胚的，而不同组中的各图形是不同胚的。2、就下面图形验证V-E+F=1。习 题3、一个简单多面体的面都是三角形。 求证：F=2V44、已