2022-2023学年北京青龙湖中学高三数学理下学期期末试卷含解析

1、2022-2023学年北京青龙湖中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，与的夹角为，那么等于（）A2B6CD12参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用【分析】求出（4）2，开方得出答案【解答】解： =1=1，（4）2=1628+=12|4|=2故选：C【点评】本题考查了向量的模与向量的数量积运算，是基础题2. “”是“函数在区间2,+)上为增函数”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要参考答案：A3. 把函数

2、y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的解析式为( )Ay=cos2xBy=sin2xCD参考答案：A考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：计算题分析：根据函数y=Asin（x+）的图象周期变换法则，我们可得到把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，对应图象的解析式，再根据函数图象的平移变换法则，可得到再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的解析式解答：解：函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，可以得到函数y=sin2x的图象再把图象向

3、左平移个单位，以得到函数y=sin2（x+）=cos2x的图象故选A点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（x+）的图象变换，其中熟练掌握函数y=Asin（x+）的图象的平移变换、周期变换、振幅变换法则是解答本题的关键4. 已知数列的前n项和为，且,则等于 （ ）A 4 B2 C1 D 参考答案：A因为，所以，解得，所以，即，选A.5. 已知函数(其中为自然对数的底数），若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）A B C D 参考答案：D6. 函数在(0,+)内有且只有一个零点，则a的值为（ ）A. 3B. 3C. 2D. 2参考答案：A【分析】求出，对分类讨论，求出单调区间和极值点，结合三次

4、函数的图像特征，即可求解.【详解】，若，在单调递增，且，在不存在零点；若，在内有且只有一个零点，.故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.7. （5分） 某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积是（） A B C 2 D 2参考答案：B【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 常规题型【分析】： 由三视图还原可知，这是一个正三棱柱，然后用体积公式求解解：这是一个正三棱柱，则V=故选：B【点评】： 本题考查了三视图的基本认识，要注意量之间的关系和三个图间的相等关系；属于基础题8. 毕业临近，5位同学按顺序站成一排合影

5、留念，其中2位女同学，3位男同学，则女生甲不站两端，3位男同学有且只有2位相邻的排法总数有（）种A24B36C48D60参考答案：C【考点】排列、组合的实际应用【分析】从3名男生中任取2人看做一个元素，剩下一名男生记作B，两名女生分别记作甲、乙，则女生甲必须在A、B之间，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙【解答】解：从3名男生中任取2人“捆”在一起记作A，A共有C32A22=6种不同排法，剩下一名男生记作B，两名女生分别记作甲、乙；则女生甲必须在A、B之间此时共有62=12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，共有124=48种不同排法故选C9. 如图

6、，在边长为的正方形内有区域（阴影部分所示），张明同学用随 机模拟的方法求区域的面积. 若每次在正方形内每次随机产生个点, 并记录落在区域内的点的个数. 经过多次试验，计算出落在区域内点的个 数平均值为个，则区域的面积约为A. B. C. D.参考答案：B【考点】 HYPERLINK /tiku/shuxue/point150-161-163/ t /shiti/_blank 几何概型【试题解析】设区域的面积约为S，根据题意有：所以S5.94，所以约为610. 对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是 （A）若则（B）若则 （C）若则（D）若、与所成的角相等，则参考答案：答案：C解析:对于平面和

7、共面的直线、，真命题是“若则”，选C.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数在区间上不是单调函数,则实数的取值范围是_.参考答案：略12. _参考答案：2【分析】先将原式展开，再由得到与之间关系，进而可得出结果.【详解】因为，又，所以，所以.故答案为2【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，熟记公式即可，属于基础题型.13. 半径为r的圆的面积S（r）r2,周长C（r）=2r，若将r看作（0，）上的变量，则（r2）2r 1，1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作（0，）上的变量，请你写出类似于1的式子： 。式可以用语言叙述

8、为： 。参考答案：（R3）4R2，球的体积函数的导数等于球的表面积函数14. 已知实数则该不等式组表示的平面图形的面积是 ；代数式的最小值是 。参考答案：15. 设数列是等比数列，且，则数列的前15项和为 参考答案：等比数列首项为,第二项为,故是首项为,公比为的等比数列.所以,所以,其前n项和为,时,为.16. 等差数列中，已知，则的取值范围是 参考答案：17. 已知函数y=sin(x+)(0,|)的图像如图所示，则= 。参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数()(）讨论的单调区间；(）如果是曲线上的任意一点，若以为切点的切线的

9、斜率恒成立，求实数的最小值；参考答案：（）函数的定义域为（0，+），则（2分）当时，恒成立，在上单调递增；（4分）当，由得x（a，+），由得x（0，a），所以的单调递增区间为（a，+），单调递减区间为（0，a）（7分）（）由题意，以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k满足，所以对x00恒成立（8分）又当x00时，所以a的最小值为（13分）略19. （本题满分16分）给定椭圆：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为（1）求椭圆C和其“准圆”的方程； （2）过椭圆C的“准圆”与轴正半轴的交点P作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，求的方程

10、；（3）若点是椭圆的“准圆”与轴正半轴的交点，是椭圆上的两相异点，且轴，求的取值范围参考答案：解：（1）由题意知，且，可得，故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为 4分（2）由题意可得点坐标为，设直线过且与椭圆C只有一个交点，则直线的方程可设为，将其代入椭圆方程可得 6分，即，由，解得， 8分所以直线的方程为，的方程为，或直线的方程为，的方程为 10分（3）由题意，可设，则有，又A点坐标为，故， 12分故, 14分又，故， 所以的取值范围是 16分20. 如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MNCD（）

11、求证：ADCD；（）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值参考答案：解：（）证明：如图，取PD中点E，连AE，EM，则EMAN，且EM=AN；四边形ANME是平行四边形，MNAE；MNCD，AECD，即CDAE；取AD中点O，连PO，PAD是等边三角形，则POAD；又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD；PO平面ABCD，POCD，即CDPO；故CD平面PAD，AD?平面PAD；CDAD，即ADCD；（）由AB=AD，ADCD，得?ABCD是正方形；取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB=2，

12、则A（1，0，0），B（1，2，0），D（1，0，0），P（0，0，），E（，0，）；=（2，2，0），=（1，0，）；设平面PBD的法向量，则：；，取z=1，；=（，0，）；设直线MN与平面PBD所成的角为，则：sin=|cos，|=考点： 直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系专题： 空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用分析： （）取PD边中点E，连接AE，EM，根据MNCD容易得到CDAE，而根据已知条件可以说明PO平面ABCD，从而得到CDPO，这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到ADCD；（）取BC中点F，连接OF，由（）便可知道O

13、A，OF，OP三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴，可设AB=2，这样即可求得图形中一些点的坐标从而求出向量的坐标，这时候设平面PBD的法向量为，根据即可求出的坐标，若设MN和平面PBD所成角为，从而根据sin=即可求得答案解答： 解：（）证明：如图，取PD中点E，连AE，EM，则EMAN，且EM=AN；四边形ANME是平行四边形，MNAE；MNCD，AECD，即CDAE；取AD中点O，连PO，PAD是等边三角形，则POAD；又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD；PO平面ABCD，POCD，即CDPO；故CD平面PAD，AD?平面PAD；CDAD，即AD

14、CD；（）由AB=AD，ADCD，得?ABCD是正方形；取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（1，0，0），P（0，0，），E（，0，）；=（2，2，0），=（1，0，）；设平面PBD的法向量，则：；，取z=1，；=（，0，）；设直线MN与平面PBD所成的角为，则：sin=|cos，|=点评： 考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式21. （14分）已知定义在的函数同时满足以下三条：对任意的，总有；当时，总有成立 （1）函数在区间上是否同时适合？并说明理由； （2）假设存在，使得且，