高考自主招生讲义：第16讲概率与统计

1、第十六讲概率与统讣、知识方法拓展1、离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量可能取的值为召，兀，兀，g取每一个值兀(i=1,2，)的概率P(A=xi)=p，则称下表为随机变量g的概率分布，简称为g的分布列。gV:?PPlP2?Pi?2、数学期望：一般地，若离散型随机变量的概率分布为g?PPlPl?Pn?则称Eg=Xi必+X2P2+-+如几+为的数学期望(平均数，均值)，简称为期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平。若二项分布)，则Eg=?二、热身练习1、(武大)口袋里装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中随机摸出一个球，摸出红球的概率为0.4，摸出白球或红球的概率为0.58，那么摸

2、出黑球的概率是【详解】易知摸出黑球是摸出白或红的对立事件，即摸出黑球的概率是1-0.58=0.42o2、(南大)设A、B是随机事件，且P(A)=|,P(B)=t,P(AUA)=|则P(AU豆卜【详解】易知P(可=1一广|,故P(AnB)=P(A)+P(B)-P(AUB)=|+八一|=而P(AU可(亦8)=*(08复旦)一批衬衣中有一等品和二等品，其中二等品率为0J将这批衬衣逐渐检测后放回，在连续三次检测中，至少有一件是二等品的概率为()(A)0.271(B)0.243(C)0(D)0.081【详解】看到“至少”字眼，从反而入手更容易，没有一件二等品的概率为(1-0.1/=0.729,则至少有一

3、件二等品的概率为1-0.729=0.271，故选Ao(09华南理工)甲、乙两人下围棋，下三盘棋，甲：平均能赢两盘，某日，甲、乙进行五打三胜制比赛，那么甲胜出的概率为【详解】甲胜出有三种情况，【详解】甲胜出有三种情况，1、连胜三局,E ?方：2、第四局胜出&(3x席；3、第五局胜出，C;|1一日x-=&(3 TOC o 1-5 h z 13J381八88166427278181三、真题精讲：例1、(1)(09复旦)某种细胞如果不能分裂则死亡，弁且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率都为，现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是()239?531?9(A)(B)(C)(D)一646464

4、64【解析】首先要经过两次分裂，再考虑细胞存活，两个条件缺一不可，而两个细胞比较麻烦，我们可以先从一个细胞入手。【详解】一个细胞经过两次分裂还有存活即第一次分裂，分裂得的两个细胞中至少有一个分裂了，即|xlX，I-则两个细胞至少一个两次分裂后还有存活的概率是39乔，故选A(2013复旦)一幢楼房共有11层，从一楼出发，有三名乘客，每人在每一层出电梯的概率相同,问三名乘客在不同层出电梯的概率(7A、25B、7A、25B、182511812?D、90n答案：B【详解】三名乘客分别在211层共10层中选一层出电梯，而易知每人在每一层出电梯的概率是命，则三名乘客在不同层出电梯的概率是召18率是命，则三

5、名乘客在不同层出电梯的概率是召1825例2、(2012华约)系统内有2R-1个元件，每个元件正常工作的概率为/八0p-时，A递增，当/?4):概率显然单调递减。248(3)存在为0,当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正而向上的次数非常少，两者比值趋近于0。例4、(2013华约)口袋中有7个黑球和8个红球，一次从中取出4个，求恰有1个红球的概率；设取出的黑球数为X,求X的分布列和EX:如果要求取出的4个球均同色，计算取出的球全是黑球的概率。【解析】本题考查随机变虽的分布列及数学期望，难度一般。【详解】(1)取出的4个球恰有个红球的概率P=-八=一:C；195*。P(X?知)号淆片讣晋，懵叱56

6、195r410*。P(X?知)号淆片讣晋，懵叱56195r410P(X=4)=升 1952)唱 i 195X01234P540845610195195195195195C15EX=0 x + lx + 2x195195(3)若取出的841954个球全是同色，是黑球的概率为尹 =C_ _2 c；+c;飞例5、(2012卓越)G:y=QY+/?(a,bw12345),C2:F+)=2,求：(1)CC有交点的概率P(A);(2)求交点个数的数学期望E(A)0【解析】本题将概率与平而几何相结合，灵活性变大，但本质不变，直线与圆有交点依然是圆心到直线的距离做为运算标准，概率与期望的汁算也屈常规，以平常心

7、对待即可。【详解】(1)圆心到直线的距离为d=即日222+,故(dQ)不可取的J1+/值是(1,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,5)共6种，故可取的有5x5-6=19种，故P(A)=|:(2)设A为交点个数，则相切时只有1个交点，即(1,2),1)=右，相交时P(2)=一,则或A尸lx一+2x=.v725v7252525例6、(10五校)已知基因型为必、Aa.m的比例为u:2v:w,且u+2v+w=.求子一代必、Ad、aa的比例；子二代与子一代比例是否相同？【解析】由题意知各种基因型出现的概率即n,2v,vv,则由生物学上基因遗传的法则，易知出现子一代三种基因型的方

8、法如下：(A4,Aa)or(Aa,AA)or(AA,AA)or(Aa,Aa),AaAa),且A4基因型提供下一代的一泄是A,“基因型提供下-代的-定谢，而加基因型提供下-代的*的概率浙，1的概率是Ao【详解】(1)子一代为A4的概率为：2X/X1X2V+m2+|lx2vfir；二，=2(/+v)(vv+v):为的概率i概率为2xhx-x2v+2uw+2xx2v+2vvxx2v2(1VI(1VI为一x2v +2x x2vvv +W = (v + w)，即比例为(w + v) 2:2(w + v)(v+ w) :(v + w)2:(2)(2)记+ u = v + w = y,2(/+v)(v+vv

9、)=2,ry,贝ij(x+y)=l。记2A=2v,r=iv-,则由(1)的结论可知则子二代的比例为(w,+V,)2：2(Z/，+V,)(V,+VV,)：(V,+VVI代入运算可得即与子一代比例相同。四、重点总结概率与统讣中考查形式多有不同，概率部分考查与排列组合相结合，考查小题居多，需要注意的是理科拓展部分中独立事件积的概率；而统计中考查重点则多为随机变量分布列及其数学期望。五、强化训练A组1、(交大)6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不泄，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰英余尚在考试的考生的概率为0【详解】本题从反而考虑，如不打扰

10、其余同学，则只有两边的同学先交卷，即1-(C)_43.2、(交大)甲乙两厂生产同一种商品，甲厂生产的此商品占市场上的80%,乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%,乙厂商品的合格率为90%,若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为、刀80%x(1-95%)_2【详解】80%x(l-95%)+20%x(l-90%)33、(09科大)已知正方体各个而的中心，甲乙分别相互独立地从这6个点中取出3个，则构成两个三角形全等的概率是.【详解】这6个点组成的等边三角形有8个，等腰直角三角形有12个，故构成两个三角形Q-.11Q全等的概率是上。(呀254、(武大)某工厂新招了8需工人，其

11、中有2需车工和3需钳工，现将这8需工人平均分配 TOC o 1-5 h z 给甲.乙两个车间，那么车工和钳工均不能分配到同一个车间的概率为()(A(B)(Cd(D)935()353535【详解】车工一边一个，而钳工则有一边是2个，故p=Ul+AdqC；35故选Co5、(复旦)设甲、乙两个袋子中装有若干个均匀的白球和红球，且甲、乙两个袋子中的球数为1：3。已知从甲袋中摸到红球的概率图而将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从2中摸到红球的概率驾。则从乙袋中摸到红球的概率小 TOC o 1-5 h z (C)H22(A)?30(D)Y45?28x,.【详解】设甲袋中有x个球，则乙中3x个球，甲中红球一

12、个，而总红球个数为4xx-=一333lx则乙中红球个数为则乙袋中摸到红球的概率的概率为，=?,故选Ao3333x9(2012复旦)随机任取一个正整数，则它的3次方的个位和十位上的数字都是1的概率是()(A)(B)(C)(D)一259933100【详解】只有个位为1的数的3次方的个位才是1,而当个位为1时，只有十位为7时，3次方的十位是1,故所有的正整数中，只有最后两位是71时才满足题意，即概率为，,故选D TOC o 1-5 h z 7.(11复旦)在半径为1的圆周上随机选取3点，它们构成一个锐角三角形的概率是()(A)-(B)-(C)(D)-A+B+C=180,A90,【详解】为使出现锐角三

13、角形，三边对应的圆周角都小于90度，即B90,C=1-1-(1-0.9)X(1-0.95)X0.95XA1-(1-0.94)2J=0.0581529。(10浙大)甲乙两人轮流掷硬币，第一局甲先掷，谁先掷出正而谁就胜，上一局的负者下一局先掷。问：(1)第一局甲胜的概率；2n+l - +2n+l - + ?21=2 二二.1-1 r4 171【详解】=2 二二.1-1 r4 171212J+ 一代二三一；止匕，又斥=用待建(2)设第+ 一代二三一；止匕，又斥=用待建r1)11(1Y系数法易知化=+=1-2122|k3J(09清华)随机挑选一个三位数I。求I含有因子5的概率；求I中恰有两个数码相等的

14、概率。【详解】(1)含有因子5的三位数共有999T9=180个，而三位数共900个，从而概率为，；(2)若不含0,设两个数码为“且不相等，则三位可能为aalxaba、baa、abb、bab、bba共6种情况，此时共有C；x6=216个：若含有0,当0有2个时，显然只有9个符合题意：当0只有一个时，有2x9=18个满足题意，故共有216+9+18=243个三位数，概率为兰=三。900100(11卓越)一袋中有个白球和个黑球。从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中：如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中。在重复”次这样的操作后.记袋中白球的个数为兀。(1)求的数学期望Eq：(2)设P(xn=a+k)=pk,求P(兀凶=d+R),R=0,1,?/?(3)证明：兀泊白数学期望&曲=(1一，E无+.a+b)【详解】(1)比可能的取值为“或d+1，分别对应的概率为一匕一和一？一，即a+ba+b厂a2+ab+bExi一;a+b(2)若xn+l=a+k，贝ijxn=a+k或兀r=a+k-l,故P(x/h.|=a+k)=P(xn=a+k)xA-+P(=a+l)xfl=&斗+1- a +Exn +1 O(3)耿+严气+(