湖南省长沙市培粹实验中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析

1、湖南省长沙市培粹实验中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，,则= （ ） A2009 B2010 C2011 D1参考答案：C略2. 若变量满足，则关于的函数图像大致是（ ）参考答案：B3. 若xy0，那么等式成立的条件是（）Ax0，y0Bx0，y0Cx0，y0Dx0，y0参考答案：C【考点】有理数指数幂的化简求值【专题】计算题【分析】根据二次根有意义的条件：被开方数要大于等于0以及开出来的为非负数即可得到答案【解答】解：因为=2|xy|=2xy；|xy|=xy，|y|

2、=y；又xy0，y0，x0故选：C【点评】本题是基础题，非常简单，但是比较容易忽略条件4. 设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A2B2CD参考答案：A【考点】复数代数形式的混合运算【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a的值【解答】解：复数=，它是纯虚数，所以a=2，故选A5. 一个几何体的三视图如下图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为ABCD参考答案：D6. 满足下列条件的函数中，为偶函数的是（ ）A B C. D参考答案：D7. 设，其中x,y是实数，则在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D

3、. 第四象限参考答案：D由，其中是实数，得：，所以在复平面内所对应的点位于第四象限.本题选择D选项.8. 设复数z满足（z2i）（2i）=5，则z=（）A2+3iB23iC3+2iD32i参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求【解答】解：由（z2i）（2i）=5，得：，z=2+3i故选：A9. 进入互联网时代，经常发送电子邮件，一般而言，发送电子邮件要分成以下几个步骤：A打开电子邮件；(b)输入发送地址；(c)输入主题；(d)输入信件内容；(e)点击“写邮件”；（f）点击“发送邮件”；正确的步骤是A. B.

4、 C. D. 参考答案：C10. 一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：）为 A.48 B.64 C.80 D.120参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某中学高一、高二、高三的学生人数之比为4:4:5，现用分层抽样法从该校的高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高一年级抽取的学生人数为 名参考答案：20略12. 某高中共有学生900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高二年级抽取的人数为 参考答案：10【考点】分层抽样方法【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽

5、样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在高三年级中抽取的人数【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为 =，则在高二年级抽取的人数是200=10人，故答案为：1013. 在中，分别是内角的对边，已知，则. 参考答案：6略14. 点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是 。参考答案：答案: 15. （5分）直线y=1与曲线y=x2|x|+a有四个交点，则a的取值范围是 参考答案：（1，）考点：二次函数的性质 专题：作图题；压轴题；数形结合分析：在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2|x|+a的图象，观察求解解答：解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线

6、y=x2|x|+a，观图可知，a的取值必须满足，解得故答案为：（1，）点评：本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想16. 在三棱台中，点、分别是棱、的中点，则在三棱台的各棱所在的直线中，与平面平行的有_参考答案：，点、分别是，的中点，又平面，平面，平面，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面故在三棱台各棱所在直线中，与平面平行的有：，17. 在三棱锥ABCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，ABC，ACD，ADB的面积分别为，则三棱锥ABCD的外接球的体积为 参考答案：考点：球内接多面体；球的体积和表面积 专题：空间位置关系与距离分析：利用三棱锥侧棱AB、A

7、C、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，从而求出对角线长，即可求解外接球的体积解答：解：三棱锥ABCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为a，b，c，则由题意得：ab=，ac=，bc=，解得：a=，b=，c=1，所以球的直径为：=所以球的半径为，所以三棱锥ABCD的外接球的体积为=故答案为：点评：本题考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出

8、文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）已知函数，（1）求函数的最小正周期；（2）设的内角、的对边分别为、，且，求的值参考答案：解：（），则的最小正周期是.（6分） （），则， ，由正弦定理，得， 由余弦定理，得，由解得（12分）19. 如图，四边形为矩形，平面,，平面于点，且点在上.（）求证：；（）求四棱锥的体积；（）设点在线段上，且，试在线段上确定一点，使得平面.参考答案：（）因为平面，所以， 因为平面于点，2分因为，所以面，则因为，所以面，则4分（）作，因为面平面，所以面因为，所以6分8分（）因为，平面于点，所以是的中点设是的中点，连接10分Ks5u所以因为，所以面，则点

9、就是点【解析】略20. （本小题满分12分）已知椭圆的焦点坐标为，且短轴一顶点B满足，（） 求椭圆的方程；（）过的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由。参考答案：解：（）由题，设椭圆方程为=1（ab0），不妨设B（0，b），则，故椭圆方程为=1；（） 设M，N,不妨设0, 0,设MN的内切圆半径为R，则MN的周长=4a=8，（MN+M+N）R=4R因此最大，R就最大，由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由得+6my-9=0，则=，令t=,则t1,则,令f（t）=3t+，则f（t） =3-，当t1时，f（t）0,f（t）在1,+）上单调递增，故有f（t）f（1）=4, =3,即当t=1,m=0时，=3, =4R，=，这时所求内切圆面积的最大值为故直线l:x=1，AMN内切圆面积的最大值为。略21. 设向量a(sinx，cosx)，b(cosx，cosx)，xR，函数f(x)a(ab).（1）求函数f(x)的最大