金迎迎线性代数电子教案43课件

1、金迎迎线性代数电子教案43课件金迎迎线性代数电子教案43课件向量组的最大无关组一般不是唯一的。如例 5 ，可见上页下页返回但向量组的秩不变。 牛牛文库文档分享向量组的最大无关组一般不是唯一的。如例 5 ，可见上页下页返 定理4 矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于列向量组的秩。 Dr 0 ,根据定理2，由Dr 0 知Dr 所在的 r 列线性无关； 又由 A 中所有 r + 1阶子式均为零，知 A 中任意 r + 1个列向量都线性相关。 证并设 r 阶子式注:今后向量组的秩也记作 因此Dr 所在的 r 列是 A 的列向量组的一个最大无关组，所以列向量组的秩等于 r 。 类似可得矩阵 A 的行向量

2、组的秩也等于R(A)。上页下页返回矩阵的秩与向量组的秩的关系是: 牛牛文库文档分享 定理4 矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于列向量 命题:向量组A 和它自己的最大无关组A0 是等价的。 证: 因为A0 组是 A 组的一个部分组，故 A0 组总能用A 组线性表示； 即A 组能由A0 组线性表示。 所以A 组与A0 组等价。又对于A 中任一向量由定理5知，r + 1 个向量线性相关，线性无关，根据定理3(4) 知线性表示，上页下页返回 牛牛文库文档分享 命题:向量组A 和它自己的最大无关组A0 是等价的。即A 例7 全体 n 维向量构成的向量组记作R n , 求R n 的一个最大无关组及 R

3、n 的秩。解在例 1 中，我们证明了 n 维单位坐标向量构成 又根据定理3的结论(3)，知 R n 中的任意 n + 1 个向量都线性相关， 因此向量组E 是 R n 的一个最大无关组，且R n 的秩等于 n 。 显然， R n 任何 n 个线性无关的 n 维向量都是 R n的最大无关组。的向量组E :是线性无关的，上页下页返回 牛牛文库文档分享例7 全体 n 维向量构成的向量组记作R 例8设矩阵求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。解对A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。上页下页返回 牛牛文库文档分享例8设矩阵求矩阵A 的列向量组的一个最大无

4、关组，并把不属于最而三个非零行向量的非零首元在1、2、4三列，故 a1, a2, a4 为列向量组的一个最大无关组。知R(A) = 3,故列向量组的最大无关组含3个向量。这是因为上页下页返回思考:行向量的最大无关组怎么求? 牛牛文库文档分享而三个非零行向量的非零首元在1、2、4三列，知R(A) = 线性表示，把 A 再变成行最简形矩阵。上页下页返回 牛牛文库文档分享线性表示，把 A 再变成行最简形矩阵。上页下页返回www.nEx.3求A 的列向量组的一个最大无关组及A 的其余列向量用它们线性表示的表达式。解对A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。唯一 ) 。且有：为A 的列向量组的一个最大无关组

5、 ( 不上页下页返回 牛牛文库文档分享Ex.3求A 的列向量组的一个最大无关组及A 的其余列向量用 定理5 设向量组B 能由向量组A 线性表示，则向量组B 的秩不大于向量组A 的秩。 要证 r s 。 因B 组能由A 组线性表示，A 组与A0 组等价，B 组与B0 组等价，故B0 组能由A0 组线性表示， 即存在系数矩阵Ksr = (kij) 使证 设向量组B 的一个最大无关组是B0:向量组A 的一个最大无关组是A0:上页下页返回 牛牛文库文档分享 定理5 设向量组B 能由向量组A 线性表示如果 r s, 则方程组有非零解（因R(K) s s 不能成立，所以 r s.从而方程组即上页下页返回

6、牛牛文库文档分享如果 r s, 则方程组有非零解（因R(K) s 推论1 等价的向量组的秩相等。 证 ,因等价的向量组能相互线性表示，再由定理5易得 .推论2 设证 设矩阵C 和A 用其列向量表示为知矩阵C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，因此R(C) R(A)。上页下页返回 牛牛文库文档分享 推论1 等价的向量组的秩相等。 证 ,由上段证明知 推论3（最大无关组等价定义） 设向量组B 是向量组A 的部分组，若向量组B 线性无关，且向量组A 能由向量组B 线性表示，则向量组B 是向量组A 的一个最大无关组。 证 设向量组B 含 r 个向量，则它的秩为 r ，因A 组能由B 组线性表示，故

7、A 的秩 r ，从而A 组中任意 r + 1个向量线性相关。所以向量组B 满足定义5中所规定的最大无关组的条件。上页下页返回 牛牛文库文档分享由上段证明知 推论3（最大无关组等价定义） 例9 设向量组B 能由向量组A 线性表示，且它们的秩相等，证明向量组A 与向量组B 等价。因B 组能由A 组线性表示，故 B0 组能由A0 组线性表示. 证一 只要证明向量组A 能由向量组B 线性表示。 设两个向量组的秩都为 r ，并设A 和B 的最大无关组依次为上页下页返回 牛牛文库文档分享例9 设向量组B 能由向量组A即A0 组能由B0 组线性表示，从而A 组能由B 组线性表示。即有 r 阶方阵Kr ,因B

8、0 组线性无关，根据定理 5 推论2，但R(Kr) r , 因此R(Kr) = r . 于是矩阵Kr 可逆，上页下页返回 牛牛文库文档分享即A0 组能由B0 组线性表示，从而A 组能由B 组线性表示 设向量组A 和B 的秩都为 r ， 因B 组能由A组线性表示，故A 组和B 组合并而成的向量组(A ,B)能由A 组线性表示。 而A 组是(A, B)组的部分，故A 组总能由(A, B)组线性表示，所以(A, B)组与A 组等价，因此(A, B)组的秩也为 r 。 又因B 组的秩是 r ，故B 组的最大无关组B0 含有 r 个向量，因此B0 组也是(A, B)组的最大无关组，从而(A, B)组与B0 组等价。 由A组与(A, B)组等价， (A, B)组与B0 组等价，B0 组与B 组等价，推知A 组与B 组等价。证二上页下页返回(证明A0 与B0 都是向量组(A, B) 的最大无关组)。 牛牛文库文档分享 设向量组A 和B 的秩都为 r ，证二上页下例10已知证一：即要证存在2阶方阵X、Y ，使上页下页返回 牛牛文库文档分享例10已知证一：上页下页返回 牛牛上页下页返回思考:显然,不能直接用求矩阵方程的方法求X,Y.但略加变化后却可