工程力下第二章

1、其次章 拉伸,压缩与剪切 轴向拉伸与压缩的概念和实例 2-2 横截面上的内力和应力 2-3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 教学时数： 2 学时 教学目标： 1. 把握横截面上内力和应力的基本概念 2. 把握轴向拉（压）杆横截面上应力的基本概念和力学量 3. 把握直杆拉伸或压缩时斜截面上应力的基本概念和力学量 教学重点 ：轴向拉（压）杆横截面上应力的基本概念和力学量 拉伸或压缩时斜截面上应力的基本概念和力学量 教学难点： 拉伸或压缩时斜截面上应力的基本概念和力学量 教学方法： 板书 PowerPoint, 接受启示式教学和问题式教学法结合,通过提问,引导学 生摸索,让同学回答疑题,激发同学

2、的学习热忱； 教 具： 教学步骤： （复习提问） （引入新课） （讲授新课） 轴向拉伸与压缩的概念和实例 轴向拉伸和压缩的杆件在生产实际中经常遇到, 虽然杆件的形状各有差异, 加载方式也 不同,但一般对受轴向拉伸与压缩的杆件的形状和受力情形进行简化,运算简图如图 2-1； 轴向拉伸是在轴向力作用下, 杆件产生伸长 变形 ,也简称拉伸； 轴向压缩是在轴向力作 用下,杆件产生缩短变形,也简称压缩；实 例如图 2-2 所示用于连接的螺栓；如图 2-3 所示桁架中的拉杆；如图 2-4 所示汽车式起 重机的支腿； 如图 2-5 所示巷道支护的立柱； 第 1 页,共 30 页通过上述实例得知轴向拉伸和压缩

3、具有如下特点： 1. 受力特点：作用于杆件两端的外力大小相等,方向相反,作用线与杆件轴线重合,即称 轴向力； 2. 变形特点：杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短； 2-2 横截面上的内力和应力 1内力 在图 2-6 所示受轴向拉力 P 的杆件上作任 一横截面 mm,取左段部分,并以 内力 的合 力 N 代替右段对左段的作用力；由平稳条件 X 0 ,得 N P 0由于 P 0 （拉力）,就 N P 0合力 N 的方向正确； 因而当外力沿着杆件的轴 线作用时,杆件截面上只有一个与轴线重合的 内力重量,该内力（重量）称为轴力,一般用 N 表示； 如取右段部分,同理 X 0 ,知 P - N 0得 NP

4、 0第 2 页,共 30 页图中 N 的方向也是正确的； 材料力学中轴力的符号是由杆件的变形准备, 而不是由平稳坐标方程准备； 习惯上将轴 力 N 的正负号规定为：拉伸时,轴力 N 为正；压缩时,轴力 N 为负； 2轴力图 轴力图可用图线表示轴力沿轴线变化的情形；该图一般以杆轴线为横坐标表示截面位 置,纵轴表示轴力大小； 例 2-1 求如图 2-7 所示杆件的内力,并作轴力图； 解：（1）运算各段内力 AC 段：作截面 11,取左段部分（图 b）；由 X 0 得 X 0 得 N 1 5 kN （拉力） CB 段：作截面 2-2,取左缎部分（图） ,并假设 N 2 方向如以下图；由 N 2 10

5、KN （2）绘轴力图 选截面位置为横坐标；相应截面上的轴力为纵坐标,依据适当比例,绘出图线； 由图 2-7 可知 CB 段的轴力值最大,即 Nmax 10 kN ； 留意两个问题： 1）求内力时,外力不能沿作用线任凭移动（如 象是变形体,不是刚体,力的可传性原理的应 用是有条件的； P2 沿轴线移动） ；由于材料力学中争辩的对 2）截面不能刚好截在外力作用点处（如通过 C点）,由于工程实际上并不存在几何意义上的点 和线,而实际的力只可能作用于确定微小面积 内； 例,已知： P1 5t , P2 9t 求：各段内力,并作轴力图 解：运用截面法：截,抛,代,平； P1 N 1 0 ； P1 N 1

6、 5t （拉） 第 3 页,共 30 页P1 P2 N 2 0 ； N 2 P1 P2 4t 3轴向拉（压）杆横截面上的应力 1）由于只依据轴力并不能判定杆件是否有足够的 强度 ,因此必需用横截面上的应力来度量 杆件的受力程度；为了求得 应力 分布规律,先争辩杆件变形,为此提出平面假设； 平面假设：变形之前横截面为平面,变形之后仍保持为平面,而且仍垂直于杆轴线,如 图 2-8 所示； 依据平面假设得知,横截面上各点沿轴向的 正应变相同,由此可推知横截面上各点正应力也 相同,即 等于常量； 2）由静力平稳条件确定 的大小 由于 dN dA,所以积分得 N A dA A 就 式中： N A （ 2

7、-1） 横截面上的正应力 N 横截面上的轴力 A 横截面面积 的正负号规定为：拉应正应力 力为正,压应力 为负； 对于图 2-9 所示斜度不大的变截面直杆, 在考虑杆 自重（容重 ）引起的正应力时,也可应用（ 2-1） 式 x N x （ 2-2） N x ,同时 Ax 其中 N x P Ax x 如不考虑自重,就 N x P 对于等截面直杆,由式（ 2-1）知最大正应力发生在 最大轴力处,此处最易破坏；而对于变截面直杆,最大正应力的大小不但要考虑 仍要考虑 Ax ； 必需指出,实际构件两端并非直接作用着一对轴向力,而是作用着与两端加载方式有 关的分布力,轴向力只是它们静力等效的合力,如图 2

8、-2, 2-4 中的轴向力是通过螺齿作用 呈轴对轴分布的分布力的合力； 圣维南原理 指出：如将作用于构件上某一小区域内的外力系 （外力大小不超过确定值） 用一静力等效力系来代替, 就这种代替对构件内应力与应变的影 响只限于离原受力小区域很近的范畴内；对于杆件,此范畴相当于横向尺寸的 1 倍； 第 4 页,共 30 页 2-3 直杆拉伸或压缩时斜截面上的应力 有时拉（压）杆件沿斜截面发生破坏,此时如何确定斜截面 kk 上的应力？ 设等直杆的轴向拉力为 P （如图 2-12）,横截面面积为 A,由于 kk 截面上的 内力 仍为 P P 而且由斜截面上沿 x 方向伸长变形仍均匀分布可 知, 斜截面上

9、应力 p仍均匀分布； 如以 p表示斜截面 kk 上的应力,于是有 （ 2-3） （ 2-4） pP A 而 A A ,所以 cos pP cos A cos 就将斜截面上全应力 p分解成正应力 和剪应力 ,有 p cos 2 cos p sin 2sin 2 , , 正负号分别规定为： 自 x 轴逆时针转向斜截面外法线 n, 为正；反之为负； 拉应力为正,压应力为负； 取保留截面内任一点为矩心, 当 对矩心顺时针转动时为 正,反之为负； 争辩式（ 2-3）和（ 2-4）： 1）当 0 时,横截面 max , 0,发生在沿顺时针转 2）当 45 时,斜截面 2, max 23）当 90 时,纵向

10、截面 0 , 0结论： 对于轴向拉（压）杆, max ,发生在横截面上； max 245角的斜截面上；同样大小的剪应力也发生在 45 的斜面上； 第 5 页,共 30 页例 2-4 木立柱承担压力 P ,上面放有钢块；如图 2-13 所示,钢块截面积 A1 为 2 2 cm 2 , 钢 35 MPa,木柱截面积 A2 88cm 2,求木柱顺纹方向剪应力大小及指向； 解：（ 1）运算木柱压力 P ,由 P 钢 A1 所以 P 钢 A 35 10 6 22 10 4 14 kN （压力） （2）运算木柱的剪应力 30 横截面上 P 14 3 10 10 6MPa （压应力） A2 64 10 4就

11、 30 指向如以下图； 30 2sin 2 300 MPa （课堂小结） 作业布置： , , 其次章 拉伸,压缩与剪切 2.4 材料拉伸时的力学性能 材料压缩时的力学性能 2.7 失效,安全因数和强度运算 教学时数： 2 学时 教学目标： 1. 把握几种典型材料的拉压曲线及相应的基本概念和力学量； 2. 比较几种不同材料拉压曲线和性能的异同； 3. 建立许用应力的概念； 4. 懂得安全系数的概念和选取原就； 5. 娴熟把握利用强度条件进行强度校核,截面设计和许可载荷运算； 教学重点： 第 6 页,共 30 页低碳钢与铸铁拉伸与压缩时的力学性能,许用应力与强度条件； 教学难点： 脆性与塑性材料的

12、破坏特点与许用应力； 教学方法： 板书 PowerPoint, 接受启示式教学和问题式教学法结合,通过提问,引导学 生摸索,让同学回答疑题,激发同学的学习热忱； 教 具： 教学步骤： （复习提问） （引入新课） （讲授新课） 材料拉伸时的力学性能 材料的力学性能也称机械性能； 通过试验揭示材料在受力过程中所表现出的与试件几何 尺寸无关的材料本身特性； 如变形特性, 破坏特性等； 争辩材料的力学性能的目的是确定在 变形和破坏情形下的一些重要性能指标,以作为选用材料, 此材料力学试验是材料力学课程重要的组成部分； 此处介绍用常温静载试验来测定材料的力学性能； 1. 试件和设备 运算材料 强度 ,刚

13、度 的依据； 因 标准试件：圆截面试件,如图 2-14：标距 与直径 l d 的比例分为, l 10d , l 5d ； 板试件（矩形截面） ：标距 l 与横截面面积 A 的比例分为, l A , l A ； 试验设备主要是拉力机或全能机及相关的测量,记录仪器； 详细介绍见材料力学试验部分；国家标准金属拉伸试验方法 试验方法和各项要求； 2. 低碳钢拉伸时的力学性能 低碳钢是指含碳量在 0.3% 以下的碳素 钢,如 A 3 钢, 16Mn 钢； 1）拉伸图（ P L）,如图 2-15 所示； 弹性阶段（ oa） 屈 服（流淌）阶段（ bc） 强化阶段 （ ce）由于 P L 曲线与试 样的尺寸

14、有关,为了排除试件尺寸的影响, 可接受应力应变曲线, 即 曲线来代替 P L 曲线；进而试件内部显现裂纹,名义 应力 下跌,至 f 点试件断裂； 对低碳钢来说, s , b 是衡量材料强 度的重要指标； 2） 曲线图,如图 2-16 所示,其各特点 （如 GB228-87 ）详细规定了 第 7 页,共 30 页点的含义为： oa 段：在拉伸（或压缩）的初始阶段应力 与应变 为直线关系直至 a 点,此时 a 点所对 应的应力值称为比例极限, 用 P 表示；它是应力与应变成正比例的最大极限； 当 P 就 有 E （ 2-5） 即胡克定律,它表示应力与应变成正比,即有 E tan E 为弹性模量,单

15、位与 相同； 当应力超过比例极限增加到 b 点时, 关系偏离直线,此时如将应力卸至 零,就应变随之消逝（一旦应力超过 b点,卸载后,有一部分应变不能排除） , 此 b 点的应力定义为弹性极限 e； e 是 材料只显现弹性变形的极限值； bc 段：应力超过弹性极限后连续加载, 会显现一种现象, 即应力增加很少或不增 加,应变会很快增加,这种现象叫屈服；开头发生屈服的点所对应的应力叫屈服极限 s ； 又称屈服强度； 在屈服阶段应力不变而应变不断增加, 材料似乎失去了抗击变形的才能, 因 此产生了显著的塑性变形（此时如卸载,应变不会完全消逝,而存在残余变形） ；所以 s 是 衡量材料强度的重要指标；

16、 表面磨光的低碳钢试样屈服时,表面将显现与轴线成 45倾角的条纹,这是由于材料 内部晶格相对滑移形成的,称为滑移线,如图 2-17 所示； ce 段：越过屈服阶段后, 如要让试 件连续变形,必需连续加载,材料似乎 强化了, ce 段即强化阶段；应变强化阶 段的最高点 （ e 点）所对应的应力称为强 度极限 b ；它表示材料所能承担的最大 应力；过 e 点后,即应力达到强度极限后,试件局部发生猛烈收缩的现象,称为颈缩,如图 2-18 所示； 3）延长率和截面收缩率 为度量材料塑 性变形的才能,定义 延长率为 l 1 ll 100 % 此处 l 为试件标线间的标距, 定义截面收缩率为 l1 为试件

17、断裂后量得的标线间的长度； 此处 A 为试件原园面积, A A1 100 % 20 30 % , A A1 为断裂后试件颈缩处面积；对于低碳钢： 60 %,这两个值越大,说明材 料塑性越好； 工程上通常按延长率的大小把材料 分为两类： 5 % 塑性材料； 5%脆性材料； 4）卸载规律及冷作硬化 卸载规律： 试样加载到超过屈服极限 后（见图 2-16 中 d 点）卸载,卸载 线 dd 大 致 平 行 于 OP 线 , 此 时 og od d g p e,其中 e 为卸载过程中复原的弹性应变, p 为卸载后的塑性变形 （残 余变形）,卸载至 d 后如再加载,加载线仍沿 d d 线上升,因此加载的应

18、力应变关系符合胡 克定律； 冷作硬化： 上述材料进入强化阶段以后的卸载再加载历史（如经冷拉处理的钢筋） ,使材料 此后的 关系沿 dd ef 路径,此时材料的比例极限和开头强化的应力提高了,而塑性变 形才能降低了,这一现象称为冷作硬化； 3其它塑性材料拉伸时的力学性能 此类材料与低碳钢共同之处是断裂破坏前要经受大量塑性变形, 不同之处是没有明显的 屈服阶段；对于 曲线没有“屈服平台”的塑性材料,工程上规定取完全卸载后具有残 余应变量 P % 时的应力叫名义屈服极限,用 表示； 4铸铁拉伸时的力学性能具有以下特点 1） 如图 2-19 所示灰口铸铁拉伸 时的应力应变关系,它只有一个强度指标 b；

19、且抗拉强度较低； 2）在断裂破坏前,几乎没有塑性变形； 3） 关系近似听从胡克定律,并以割线的斜率作为弹性模量； 材料压缩时的力学性能 金属材料的压缩试件一般为短圆柱, 其高度与直 径之比为 h/d 1.5 3 ； 1低碳钢压缩时的 曲线 第 9 页,共 30 页低碳钢压缩时的 曲线,如图 2-20 所示； E, s 与拉伸时大致相同；因越压越扁, 得不到 b ； 2铸铁压缩时的 曲线 铸铁压缩时的 曲线,如图 2-21 所示；留意到： 1）由于材料组织结构内含缺陷较 多,铸铁的抗压强度极限与其抗拉强度极限均有较大分散度,但抗压强度极限 c 大大高于 抗拉强度极限 t ,其关系大约为 c 3

20、5 t ；2）显示出确定程度的塑性变形特点,致 使短柱试样断裂前显现园鼓形； 3）破坏时试件的断口沿与轴线大约成 50的斜面断开,为 灰暗色平断口； （图 2-21）与铸铁在机械工程中广泛作为机械底座等承压部件相类似,作为 另一类典型的脆性材料的混凝土,石料等就是建筑工程中重要的承压材料； 失效,安全因数和强度运算 1安全系数与许用应力 由于各种缘由使结构丢失其正常工作才能的现象, 称为失效； 工程材料失效的两种形式 为：（ 1）塑性屈服,指材料失效时产生明显的塑性变形,并伴有屈服现象；如低碳钢,铝合 金等塑性材料； （2）脆性断裂,材料失效时几乎不产生塑性变形而突然断裂；如铸铁,混凝 土等脆

21、断材料； 许用应力：保证构件安全牢靠工作所容许的最大应力值； 对于塑性材料,进入塑性屈服时的应力取屈服极限 s ,对于某些无明显屈服平台的合 金材料取 b0. 2 ,就危险应力 0s 或 ；对于脆性材料： 断裂时的应力是强度极限 b, 就 0； 0构件许用应力用 n表示,就工程上一般取 塑性材料： s ns； 脆性材料： bnb第 10 页,共 30 页ns , nb 分别为 塑性材料 和脆性材料 的安全系数； 2强度条件 安全系数或许用应力的选定应依据有关规定或查阅国家有关规范或设计手册； 通常在静 荷设计中取 n s 1.5 ,有时可取 n s 1.25 nb 2.5 ,有时甚至大于 以上

22、 安全系数的选取原就充分表达了工程上处理安全与经济一对冲突的原就, 是复杂, 审慎 的事；现从力学角度争辩其影响因素： （1） 对载荷估量的精确性与把握性：如重力,压力容器的压力等可精确估量与测量,大 自然的水力,风力,地震力等就较难估量； （2） 材料的均匀性与力学性能指标的稳固性：如低碳钢之类塑性材料组织较均匀,强度 指标较稳固, 塑性变形阶段可作为断裂破坏前的缓冲, 而铸铁之类脆性材料正相反, 强度指 标分散度大,应力集中,微细观缺陷对强度均造成极大影响； （3） 运算公式的近似性：由于应力,应变等理论运算公式建立在材料均匀连续,各向同 性假设基础上,拉伸（压缩）应力,变形公式要求载荷通

23、过等直杆的轴线等,所以材料不均 匀性,加载的偏心,杆件的初曲率都会造成理论运算的不精确； （4） 环境：工程构件的工作环境比试验室要复杂的多,如加工精度,腐蚀介质,高,低 温等问题均应予以考虑； 设 max 是发生在轴力最大处的应力（等直截面杆） ,就拉伸（压缩）强度条件为 N max （ 2-5） max A 依据上述强度条件可以解决以下三方面问题： 1）校核强度 max N max 是否中意； , max 不愿定 A 2）设计截面, A N max 3）确定构件所能承担的最大安全载荷, Nmax A 进而由 Nmax 与载荷的平稳关系得到许可载荷,而对于变截面杆（如阶梯杆） 在 Nmax

24、处,仍与截面积 A 有关； 例 2-5 杆系结构如图 2-22 所示,已知杆 AB, AC 材料相160 MPa,横截面积分 别为 A1 同, P； 706.9 mm , A2 314 mm ,试确定此结构许可载荷 解：（ 1）由平稳条件运算实际轴力,设 AB 杆轴力为 N 1 ,AC 杆轴力为 N 2 ； 对于节点 A ,由 X 0 得 N 2 sin 45 N1 sin 30 （a） 由 Y 0 得 N1 cos 30 N 2 cos 45 P （ b） 由强度条件运算各杆容许轴力 N1A 160 10610 6kN （ c） （d） N2A 314 160 10610 6kN 由于 AB

25、, AC 杆不能同时达到容许轴力,假如将 N 1 , N 2 代入（ 2）式,解得 P kN 明显是错误的； 正确的解应由（ a）,（b）式解得各杆轴力与结构载荷 P 应中意的关系 P （e） N 1 12 P P 3N212P N 2 运算所对应的载荷 （ f） 3,由（ c）, （2）依据各杆各自的强度条件, 即 N 1 N 1 , N 2 （e）有 N 1 N1 A1 kN kN P1 kN （ g） 由（ d）,（ f）有 N 2 N 2 A2 kN kN P2 kN P2 ,因而得 （ h） 要保证 AB, AC 杆的强度,应取（ g）,（ h）二者中的小值,即 P kN 第 12

26、页,共 30 页上述分析说明, 求解杆系结构的许可载荷时, 件； 要保证各杆受力既中意平稳条件又中意强度条 例,已知：一个三角架 o 30 ,斜杆有两根 80 80 7 等边角钢组成,横杆由两根 10 号 槽刚组成,材料为 A3 , 120MPa ； 求：许可载荷 1）受力分析： Y N 0 ： 1P 02P 2 cm 2； sin 30X 0 ： N 2N 1 P 22）运算许可轴力 N查 型 钢 表 ： A1 A21 2N由强度运算公式： A 就： NA N110 4120 10 1 MN 260 kN N210 4120 306kN N 1 ； ；（课堂小结） 3）运算许可载荷：将 N1

27、 P1 N 1 260 130kN 22P2 N 2 306 作业布置： , 第 13 页,共 30 页其次章 拉伸,压缩与剪切 轴向拉伸或压缩时的变形 2.9 轴向拉伸或压缩时的应变能 2.10 拉伸,压缩超静定问题 教学时数： 2 学时 教学目标： 1. 娴熟把握各种拉压杆（等直杆,阶梯杆,变截面杆）变形的运算方法； 2. 把握横向变形和泊松比的概念； 3. 把握应变能密度的概念,娴熟变形能的运算； 4. 懂得利用小变形假设,用切线代替圆弧的方法求解简洁平面静定行架结构变形的方法； 5. 把握各种拉压静不定问题的特点,娴熟利用三方程法求解各种静不定问题； 教学重点： 1. 拉压杆的变形与变

28、形能,简洁平面静定行架结构变形的运算； 2. 利用三方程法求解各种静不定问题 教学难点： 1. 用切线代替圆弧的方法求解简洁平面静定行架结构变形； 2. 变形和谐方程的建立； 教学方法： 板书 PowerPoint, 接受启示式教学和问题式教学法结合, 通过提问, 引导同学摸索, 让同学回答疑题,激发同学的学习热忱； 教 具： 教学步骤： （复习提问） （引入新课） （讲授新课） 轴向拉伸或压缩时的变形 1沿杆件轴线的轴向变形 如图 2-23,设等直杆的原长为 l ,横截面面积为 A ；在轴向力 P 作用下,长度由 l 变为 l1 ；杆件在轴线方向的伸长,即轴向变形为 ll1 l（ 1） 第

29、14 页,共 30 页由于杆内各点轴向应力 与轴向应变 为均匀分布,所以一点轴向线应变即为杆件的伸长 l除以原长 l ： ll（ 2） 由 E 得 NE llA 所以 l Nl Pl EA EA 式（ 2-6）表示：当应力不超过比例极限时,杆件的伸长 比,与横截面面积 A 成反比； 这是胡克定律的另一种表达形（ 2-6） l与拉力 P 和杆件的原长度 l 成正 式中 EA 是材料弹性模量与 式； 拉压杆件横截面面积乘积, EA 越大,就变形越小,将 EA 称为抗拉（压）刚度； 2横向变形 如在图 2-23 中,设变形前杆件的横向尺寸为 bb1 b 横向线应变可定义为 b b 由试验证明,在弹性

30、范畴内 b ,变形后相应尺寸变为 b1 ,就横向变形为 （ 2-7） 为杆的横向线应变与轴向线应变代数值之比；由于 为反映材料横向变形才能的材料弹 性常数,为正值,所以,一般冠以负号 与 的关系为 3变截面杆的伸长变形 如杆件横截面沿轴线平缓变化, ,称为泊松比或横向变形系数； （ 2-8） 轴力也沿轴线变化,但作用线仍与轴线重合,这时,可 用相邻的横截面从杆中取出长为 dx 的微段,把（ 2-6）式应用于这一微段,得微段的伸长为 第 15 页,共 30 页d l F xdx EA x 式中 FN x 和 Ax 分别表示轴力和横截面面 积,它们都是 x 的函数； 积分上式得杆件得伸长 为 ll

31、FN x dx （ 2 9） 图 224 l AB ；（材料的 EA x 例 2-6 图 2-25 所示为变截面杆,已知 BD 段 A1 2 cm2, DA 段 A2 4 cm 2, P1 5 kN , P2 10 kN；求 AB 杆的变形 E 3 120 10 MPa） 解： 第一分别求得 BD, DC,CA 三段的轴力 N1 , N 2 , N 3 为 N1 5 kN ； N 2 5 kN ； N 3 5 kN 10 4（m） 3 5 10 l1 N1l1 EA1 l BD 9 120 10 210 4l DC l2 N 2 l 2 EA2 3 5 10 10 4（ m） 9 120 10

32、 4 10 4l CA l 3 N 3l 3 EA3 53 10 4 10 （ m） 120 10 94 10 4l AB l 1 l 2 l 3 10 4（ m） l AB 的负号说明此杆缩短； 变形与位移： 对轴向拉 （压）杆,它们的关系明确, 如例 2-6 中由于 A 0 ,就 l AB B ；对于杆系 结构,由于变形和结构约束条件, 从而使变形和位 移之间仍应中意确定的几何关系； 例 2-7 图 2-26a 所示杆系结构,已知 BC 杆圆截 面 d 20mm ,BD 杆为 8 号槽钢, 160 MPa, E 200 GPa, P 60kN；求 B 点的位移； 解：（ 1）运算轴力,取节

33、点 B（图 b） 由 X 0 ,得 N 2 cos N 1 0（ 1） 由 Y 0 ,得 第 16 页,共 30 页N 2 sin P 0（2） 所以 N 2 75 kN （压） 45 kN （拉） N 1 （2）运算变形 由 BC ： CD ： BD 3 : 4 : 5 ,得 BD l 2 2 m； 6 2BC 杆圆截面的面积 A1 314 10 m , BD 杆为 8 号槽钢,由型钢表查得截面面积 6 2A2 1020 10 m ,由胡克定律求得 3BB1 l1 N1l1 45 10 9 6 10 （ m） 3EA1 200 10 314 10 3BB2 l2 N 2l 2 75 9 10

34、 26 10 （ m） 3EA2 200 10 1020 10 1）确定 B 点位移； 已知 l1 为 拉伸变形 , l 2 为 压缩变形 ；设想将托架在节点 B 拆开（图 a）,BC杆伸长 变形后变为 B1C, BD 杆压缩变形后变为 B2D；分别以 C 点和 D 点为圆心, CB1 和 DB 2 为 半径,作圆弧相交于 B3；B3 点即为托架变形后 B 点的位置；由于是小变形, B1B3 和 B2B3 是 两段极其微小的短弧,因而可用分别垂直于 点即为 B3； BB3 即为 B 点的位移； BC 和 BD 的直线线段来代替,这两段直线的交 也可以用图解法求位移 BB3 ；这里用解析法来求位

35、移 BB3 ；留意到三角形 BCD 三边的长 度比为 3 : 4 : 5 ,由图 c 可以求出 l1 B2 B4 l 2 354B2 B4 3B1 B3 B1B4 B4 B3 BB2 54l24l23l1 3 410 3 m 55B 点的水平位移 BB 1l110 3m 最终求出位移 BB3 为 BB B B 32 2 BB 3 10 m 第 17 页,共 30 页轴向拉（压）杆件的变形能 变形能：弹性体在外力作用下,因变形而储存的能量称为变形能（或应变能） ；对于始 终处于静力平稳状态的物体, 假如物体的变形处于弹性范畴内, 就原先慢慢施加的外力对变 形体所作的外力功 W 几乎全部转化为物体

36、的弹性变形能 下面以图 2-27 来争辩轴向拉伸或压缩的变形 能；对轴向拉压（杆） ,拉力 P 作功为 1W P l（ 2） 2所以,由胡克定律 l Pl ,得 EA 21 P l U W P l（ 2-10） 2 2EA 定义比能（或应变能密度） u 为单位体积的变形能,即 u U P l 1（ 2-11） V 2 Al 2由胡克定律 E ,就得 U,就由能量守恒原理： UW （ 1） u1E 22222 E 单位为焦 /米 3, J/m3； 例 2-9 简易起重机如图 2-28 所示； BD 撑杆为无缝钢管,外径 90mm,壁厚 ,杆长 l 3m ；弹性模量 E 210GPa ； BC 是

37、两条横截面面积为 172mm 2 的钢索,弹性模量 E1 177 GPa ；如不考虑立柱的变形,试求 B 点的垂直位移；设 P 30 kN ； 解： 从三角形 BCD 中解出 BC 和 CD 的长度分别为 BC l1 2.20 m , CD m 算出 BC 和 BD 两杆的横截面面积分别为 2A1 2 172 344 mm 2 2 2A 90 85 687mm 4由 BD 杆的平稳方程,求得钢索 BC 的拉力为 FN 1 BD 杆的压力为 FN 2 当载荷 P 从零开头缓慢地作用于由 BC 和 BD 两杆组成的简洁弹性杆系上时, P 所作的功是 W 1 P 2；它在数值上应等于杆系的变形能,亦

38、即等于 BC 和 BD 两杆变形能的总和； 故 第 18 页,共 30 页1P 2 F N1 l 1 2 F N 2 l 2 22E1 A1 2E2 A2 将各数值代入,由此求得 8 10 p 3 10 m 关于用能量法求复杂结构的位移将在以后详细争辩； 拉伸,压缩超静定问题 超静定问题：单凭静力学平稳方程不能解出全部未知力的问题,称为超静定问题； 此时未知力个数多于平稳方程式个数,其差数称为超静定次数； 一般超静定问题的解法为： 1）解除“余外”约束,使超静定结构变为静定结构（此相应静定结构称静定基） ,建立 静力平稳方程； 2）依据“余外”约束性质,建立变形和谐方程； 3）建立物理方程（如

39、胡克定律,热膨胀规律等） ； 4）联解静力平稳方程以及 2）和 3）所建立的补充方程,求出未知力（约束力或内力） ； 变形和谐条件应使静定基变形与原超静定结构相一样； 例 2-10 如图 2-29a,已知等截面直杆的 EA,求 A, B 处的约束反力 RA , RB ； 解： 此结构的约束力个数为 2,独立平稳方程数为 1,属于一次超静定问题 （ 1）静力平稳方程 如图 b 所示解除 B 处约束,即得相应静定基,静定基上除 B 处 给以相应约束力 RB 外,仍作用有 P, RA； 由 X 0RA 得 P RB0 即 RA RB P （ a） （2）变形和谐方程 l AC lCB 0b （3）物

40、理方程 由胡克定律 lAC N AC a= R A a , l BC N BC b= RB b （ c） EA EA EA EA 将（ c）式代入（ b）式得补充方程 第 19 页,共 30 页RA a RB b 或 RA RB b（d） a（4）求解 （ a）,（ d）式得 RB Pa ,（ ） ab Pb RA ,（ ） ab例 2-11 图 2-30a 所示杆系结构中 AB 杆为刚性 杆,杆刚度为 EA,载荷为 P,求, 杆的轴力； 解：（ 1）静力平稳方程 如图 b 所示, N1,N2 为,杆的内力； XA , YA 为 A 处的约束力, 未知力个数为 4,静力平稳 方程个数为 3（平

41、面力系） ,故为一次超静定问 题； 由 mA 0 得 N 1 a 2aN 2 3Pa 即 N 1 2 N 2 3P （ a） （2）变形和谐方程 l1 1,或 l22 l 1 （ b） 2l 2 （3）物理方程 l1N l , l2 N l （ c） EA EA 由（ c）（ d）得补充方程 （4）由（ a）和（ d）式得 N 2 2 N 1 （ d） N13 P ,（拉力） 5 6 P ,（拉力） 5N2第 20 页,共 30 页例,求轴力 解：平稳关系： N 1 N 3 ； N 2 2 N 1 cos 02 N1 cos （拉） 变形几何： l2l1 N 2 l cos 变形物理： l1

42、N 1 l cos ； l2E1 A1 E 2 A2 就： N 2 l N1 l cos E 2 A2 E1 A1 （压）； N 2 N1 N3 2 E2 A2 E1 A1 cos l E2 A2 3 2E1 A1 cos （ b） （课堂小结） 作业布置： ,其次章 拉伸,压缩与剪切 温度应力和装配应力 2.12 应力集中的概念 2.13 剪切和挤压的有用运算 教学时数： 2 学时 教学目标： 1,比较温度应力和装配应力这两种静不定问题变形和谐方程和物理方程的不 同； 2,明白应力集中的概念,发生部位及其危害； 3,把握工程中各种常用连接件和连接方式的受力和变形分析； 第 21 页,共 30

43、 页4,明白连接件应力分布的复杂性,有用运算方法及其近似性和工程可行性； 5,把握对各种常用连接件和连接方式的强度校核； 教学重点： 把握对各种常用连接件和连接方式的强度校核； 教学难点： 1. 通过连接件的受力和变形,找到剪切面和挤压面； 教学方法： 板书 PowerPoint, 接受启示式教学和问题式教学法结合, 通过提问, 引导同学摸索, 让同学回答疑题,激发同学的学习热忱； 教 具： 教学步骤： （复习提问） （引入新课） （讲授新课） 温度应力和装配应力 一,温度应力 由于温度变化会引起物体的膨胀或收缩, 对于超静定结构由于胀缩变形受到约束, 就会 产生内应力；因温度变化而引起的内应

44、力,称为温度应力；现以图 分析； 由于蒸汽管两端不能自由伸缩, 故简化为图 b 所示固定端约束,此时如温度上升 t ,就 A, B 端分别有约束力 FRA 和 F RB（图 c）； 1）由静力平稳方程 2-31a 所示问题为例进行 FR A FR B FRA FRB （a） 式（ a）不能确定反力的数值,须再补充一个变形 和 谐方程； 设想拆除右端支座, 答应杆件自由胀缩, 2-34 当温度变化为 T 时,杆件得温度变形（伸长）应为 lT lT l l 为材料得线膨胀系数,然后,再在右端作用 lF l EA FRB ,杆件因 FRB 而产生得缩短是 实际上由于两端固定,杆件长度不能变化,必需有

45、 第 22 页,共 30 页2）变形和谐方程 lRl T T 时的伸长； （ b） lR 是杆件因 FRB 作用而产生的缩短； lT 是温度上升 3）物理方程 l T llT l（ c） F R B lEA 由（ c）,（ b）式得 4）补充方程 lT lFRBl EA 即有 FRB FN lT EA 应力为 T FN lT E （ d） A 结果为正,说明起初设定杆受轴向压力是对的,故该杆的温度应力是压应力； 对于钢杆, 1.2 10 51 / C , E 3 210 10 MPa ,就当温度上升 T 40 C 时,杆 内的温度应力由式（ d）算得为 E T 10 53 210 10 40

46、100 MPa （压应力） 二,装配应力 对于静定结构, 构件的加工误差只不过是造成结构几何形状的略微变化, 不会引起内力； 但对于超静定结构, 加工误差往往却要引起内力； 这与上述温度应力的 形成是特殊相像的； 下面以详细的例子说明装配应力的形成； 例 2-13 图示所示为超静定杆系结构, 1,2 杆的拉伸刚度为 E1 A1 ,3 杆的拉伸刚度为 E 3 A3 , 已知中间杆 3 加工制作时长了 ,试求三杆在 A 点铰接在一起后各杆的内力； 解：对于一次静不定问题,一般是联立平稳方程,变形和谐方程,物理方程进行求解； 对于此题的装配应力问题,由变形知 力, 点的受力图如图 2 23b； 1,

47、杆的轴力 FN1 及 FN 2 为拉力, 3 杆的 N为压 第 23 页,共 30 页图 （ 1）静力平稳方程 Fx0 FN 2 sin FN1 sin 00（ 1） FN 3 （ 2） Fy0 FN1 FN 2 cos （ 2）变形和谐方程 l 1 l 3 （ 3） cos （ 3）物理方程 l 1 F N 1l , l 3 F N 3l （ 4） E 1 A1 cos E 3A 3 由（ 3）,（ 4）得补充方程 FN1l FN 3l （拉力） （ 5） 2 E1 A1 cos E3 A3 联立（ 1）,（ 2）,（ 5）式解之得 lFN1 FN 2 2 E1 A1E3 A3 cos 3

48、2E1 A1 cos E3 A3 FN 3 3 2E1 A1E3 A3 cos l（压力） 3 2E1 A1 cos E3 A3 综上分析结果可知,超静定问题与静定问题比较有以下特点： （ 1）内力（或约束力）的支配不仅与外载荷有关,仍与杆件的刚度比有关,如例 2-13 中式所示； （ 2）超静定结构会引起温度应力和装配应力； 应力集中的概念 第 24 页,共 30 页实际工程构件中,有些零件常存在切口,切槽,油孔,螺纹等,致使这些部位上的截面 尺寸发生突然变化；如图 2-38 所示开有圆孔和带有切口的板条,当其受轴向拉伸时,在圆 孔和切口邻近的局部区域内, 应力的数值猛烈增加, 而在离开这一

49、区域稍远的地方, 应力迅 速降低而趋于均匀；这种现象,称为应力集中； F F F F F F 2-38 截面尺寸变化越急剧,孔越小, 角越尖, 应力集中的程度就越严肃,局部显现的最大应 力 max 就越大；鉴于应力集中往往会减弱杆件的强度,因此在设计中应尽可能防止或降低 应力集中的影响； 为了表示应力集中的强弱程度,定义理论应力集中系数 其中 max k max 为减弱面上名义应力；如对图 （ 2-12） 为减弱面上轴向正应力的峰值； 2-38a 所示 厚度为 t 的矩形截面板条： F tb d k 值可查阅有关设计手册；当 b d,就 k=3 必需指出,材料的良好塑性变形才能可以缓和应力集中

50、峰值,因而对低碳钢之类的塑 性材料应力集中对强度的减弱作用不很明显, 缺陷,组织不均匀的材料将造成严肃影响； 而对脆性材料, 特殊对铸铁之类内含大量显微 剪切和挤压的有用运算 一,剪切的有用运算 1工程上的剪切件 通过如图 所示的钢杆受剪和 F F Fs 图 2.41 所示的联接轴与轮的键的受剪 情形, 可以看出, 工程上的剪切件有以 F 下特点： 1）受力特点 杆件两侧作用大小相等,方向相 第 25 页,共 30 页反,作用线相距很近的外力； 2）变形特点 两外力作用线间截面发生错 动,由矩形变为 平行四边形； 因此剪切定义为相距很近的两个平行平面 内,分别作用着大小相等,方向相对（相反）的 F F 两个力,当这两个力相互平行错动并保持间距不 变地作用在构件上时,构件在这两个平行面间的 任一（平行）横截面将只有剪力作用,并产生剪 Fs F 切变形； 2剪应力及剪切有用运算 剪切有用运算中,假定受剪面上各点处与剪力 的剪应力为 式中： F 剪力； Fs （ ） A A剪切面积 名义剪切力 剪切强度条件可表示为： Fs A （ ） 式中： 构件许用剪切应力； A d 2 4剪切面为