高中数学立体几何10道大题

1、立体几何练习题1.四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC丄面ABCD，已知ZABC=45，AB二2，BC=2迈，SB=SCf3.设平面SCD与平面SAB的交线为l，求证：l/AB；求证：SA丄BC；求直线SD与面SAB所成角的正弦值.2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，三皿C二4罗，AD=AC=1,0为AC的中点，PO丄平面ABCD，PO=2,M为PD的中点。证明：PB/平面ACM；证明：AD丄平面PAC求直线AM与平面ABCD所成角的正切值。3.如图，四棱锥PABCD中，ZABC=ZBAD=90。,BC=2AD,PAB与PAD都是等边三角形.证明：

2、CD丄平面PBD；求二面角C一PB一D的平面角的余弦值.4.如图，四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD,AC丄AD.底面ABCD为梯形，ABDC,AB丄BC,PA=AB=BC=3，点E在棱PB上，且PE=2EB求证：平面PAB丄平面PCB；求证：PD平面EAC；求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值.5.如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，平面ABCD平面ABPE=AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE丄AB，且AE/BP.(1)设点M为棱PD中点，在面ABCD内是否存在点N，使得MN丄平面ABCD?若存在，请证明；若不存在，请说明理由;(2

3、)求二面角DPEA的余弦值.D广/A6.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，平面ABC丄侧面AABB，且AA=AB=2.Ill1111求证：AB丄BC；若直线AC与平面ABC所成的角卅求锐二面角A-AC-B的大小.1617.在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD丄底面ABCD.求证AB丄面VAD；求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.8.兀如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且ZBAD=，对角线AC与BD相交于0,0F丄平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2.求证：EFBC；求面AOF与平面BCEF所成锐二面角的正弦值.9.如图，在四

4、棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，ADBC,ZBAD=90,PA丄底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.求证：PB丄DM；求BD与平面ADMN所成的角.10.如图，在等腰梯形ABCD中，AB/CD，AD=DC=CB=1，AABC=60，四边形ACFE为矩形，平面ACFE丄平面ABCD，CF=1.求证：BC丄平面ACFE；点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB二面角的平面角为(690)，试求cos6的取值范围.立体几何试卷答案【解析】试题分析AB/CD?弋ABU平面SCD?CDu平面SCD?二心平面SCD,又打平面丈D与平面迎的交线为匚由线面平彳亍的性

5、压定理即可证明结果；连接AC,由余弦定理得AC=2?取月C中点G?连接SGAG,则AG1BC.由线面垂直的判定定理和性质艮呵证明结果如图；以_射线皿为无轴以射线0B为F轴执射线d为湎以.0打原点建立空间直角坐标系。-碑j利用空间向量法即可求出直线d与面SAB所成角的正弦值.试题解析：证明：底面肋CD为平行四边形AB/CD.vAB=nrn2平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为丰5.（1）详见解析；（2）3试题分析：（1）连接AC,BD交于点N,连接MN，证明MN丄平面ABCD，从而MN即为所求；（2）建立空间直角坐标系,求得两个平面的法向量后即可求解试题解析：（1）连接AC,BD交于点N

6、,连接MN，则MN丄平面ABCD,M为PD中点，N为BD中点，MN为APDB的中位线，MN/PB,又.平面ABCD丄平面ABPE，平面ABCD平面ABPE=AB,BCu平面ABCD,BC丄AB,二月C丄平面ABPE?:.SCP?PffA?=.PBABCD?.Afy平面/SCO；2)以.虫为原点，AE,AS,血所在直线分别为H轴，戸轴，E轴建立坐标系，T/D丄平面PEA?/.平面卩瓦4的法向=ZD=(0=0:1),又TJW(1.0,0);此22叭二略(1Q-叽丽=(221),设平面的法向量iN=01J=(兀?则仁小j令兀=1?=(1:-=1);.,.oos=-;十2y-z=023又D-FE-d茹

7、锐二面鼠二二面角D-PE-A的余弦值为牛6【解答】(本小题满分14分)证明：如右图，取AB的中点D,连接AD,1因AA=AB，则AD丄AB由平面ABC丄侧面AABB,11111且平面ABCn侧面AABB=AB。1111得AD丄平面ABC，又BCu平面ABC，所以AD丄BC11因为二棱柱ABC-ABC是直二棱柱，111则AA丄底面ABC,所以AA丄BC.又AAnAD=A，从而BC丄侧面AABB,11111又ABu侧面AABB，故AB丄BC11解：连接CD,由(1)可知AD丄平面ABC,1则CD是AC在平面ABC内的射影1/.ZACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，贝I厶CD二+在等腰直角AA

8、B中，AA=AB=2，且点D是AB中点111.乩半冷B二V，且/怔O今，三忧氏过点A作AE丄AC于点E,连DE1由(1)知AD丄平面ABC,则AD丄AC,且AEnAD=A11ZAED即为二面角A-AC-B的一个平面角，1AiA-AC2X2226且直角A1AC中：血仃八；卫卫又临二辽,严九Z3且二面角A-A1C-B为锐二面角百，即二面角A-A-B的大小为p7.【解答】证明：（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E,则VE丄AD，而面VAD丄底面ABCD，则VE丄AB.又面ABCD是正方形，则AB丄AD，故AB丄面VAD.（2）由AB丄面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，设VD的中点为

9、F,连AF，BF由厶VAD是正，则AF丄VD，由三垂线定理知BF丄VD,故ZAFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角.设正方形ABCD的边长为a，则在RtAABF中，AB=a，AF=a，tanZAFB二故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为arct8.【解答】（本小题满分12分）证明：（I）T四边形ABCD为菱形.ADBC，且BC面ADEF，AD面ADEF，ABC面ADEF，且面ADEFH面BCEF=EF,：EFBC.解：（II）TFO丄面ABCD，AFO丄AO,F0丄0B又VOB丄AO,以O为坐标原点，OA,OB,OF分别为x轴,y轴，z轴，建立空间直角坐标系，取CD的中点M,连OM

10、,EM.易证EM丄平面ABCD.又BC=CE=DE=2EF=2,得出以下各点坐标：0)0)B(0,1,F(0,0,0,0),D(0,-1,0),，牙,)，向量EC，向量设面BCFE的法向量为:K0?yos0，得到nDBC=O，得到nDBF=Q时，面AOF的一个法向量)0设面AOF与面BCEF所成的锐二面角为9,|n*n0I则cos9二H|p|na.-;155-.*.sin9=顷故面AOF与面BCEF所成的锐二面角的正弦值E如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，设BC=1,则A(0,0,0)P(0,0,2),B(2,0,0),M(1,12,1),D(0,2,因为PEI询二0，-2)1

11、1,-宅、1)=0所以PB丄DM.因为丽忑二山-2)-(0,乙01=0所以PB丄AD.又PB丄DM.因此厉丽的余角即是BD与平面ADMN.所成的角.因为所以-兀因此BD与平面ADMN所成的角为10.试题解析：(1)证明：在梯形ABCD中，.AB/CD，AD=DC=CB=1，上ABC=60，:AB=2,AC2=AB2+BC2-2ABBCcos60=3，:、AB2=AC2+BC2，:BC丄AC，.平面ACFE丄平面ABCD，平面ACFE平面ABCD=AC，BCu平面ABCD，：BC丄平面ACFE.(2)由(1)分别以直线CA,CB,CF为x轴，y轴，z轴发建立如图所示空间直角坐标令FM=九(03)，则C(0,0,0),AG；3,0,0),B(0,1,0),M,0,1)，：AB-(r3,1,0),BM-(九,-1,1).设s=(x,y,z)为