2019届高考理科数学一轮复习学案第14讲导数应用第3课时(含解析)

1、2019届高考理科数学一轮复习优选教学设计：第14讲导数的应用第3课时(含解析)2019届高考理科数学一轮复习优选教学设计：第14讲导数的应用第3课时(含解析)7/72019届高考理科数学一轮复习优选教学设计：第14讲导数的应用第3课时(含解析)第3课时导数与不等式例1思路点拨(1)对函数f()求导,依照切线方程及导数得出参数,;(2)成立函数()=f()(x),xabFxx-g只需证明F(x)0,对F(x)求导,解析求单调性与最大值.解:(1)f(x)=+3(1-a)x2+b,f(e)=+3(1-a)e2+b,且f(e)=1+(1-a)e3+be,又曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线

2、方程为y=x,切点坐标为(e,1+e),解得a=b=1.(2)证明:由(1)可知f(x)=lnx+x,g(x)=xex-1,且f(x)的定义域为(0,+),令()=f(x)-g(x)lnx+x-xex1,Fx=+xx=x=(x+1)x则F(x)=+1-e-xe-(x+1)e-e.令()=-ex,可知()在(0,+)上为减函数,且20,(1)1e0,GxGxG=-G=-0,F(x)0,F(x)为增函数;当x(x0,+)时,G(x)0,F(x)0,F(x)为减函数.F(x)F(x0)=lnx0+x0-x0+1,又-0,=,即ln00,=x=-xF(x0)=0,即F(x)0,f(x)g(x).变式题

3、解:(1)依题意得f(x)=lnx+1-ex,又f(1)=1-e,f(1)=1-e,故所求切线方程为y-1+e=(1-e)(x-1),即y=(1-e)x.(2)证明:依题意,要证f()sin,即证xlnx-ex1sin,xx+xx即证xlnxe+sinx-1.当00,xlnx0,故xlnxex+sinx-1,即f(x)1时,令g(x)=ex+sinx-1-xlnx,故g(x)=ex+cosx-lnx-1.令h(x)=g(x)=ex+cosx-lnx-1,则h(x)=ex-sinx,当x1时,ex-e-11,因此h(x)=ex-sinx0,故h(x)在(1,+)上单调递加.故h(x)h(1)=e

4、+cos1-10,即g(x)0,因此g(x)g(1)=e+sin1-10,即xlnxex+sinx-1,即f(x)sinx.综上所述,f(x)sinx在(0,+)上恒成立.例2思路点拨(1)利用导数求得切线方程,将其和已知的切线方程比较,可得b=e;(2)将原不等式分别常数,获取a-在e,e2上有解,令h(x)=-,利用导数求得其最小值,进而获取a的取值范围.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,1)(1,+).由于f(x)=-ax+b,因此f(x)=-a,因此f(e)=e-ae+b,f(e)=-a.因此函数f(x)的图像在点(e,f(e)处的切线方程为y-(e-ae+b)=-a(x-e),即

5、y=-ax+e+b.又已知函数f(x)的图像在点(e,f(e)处的切线方程为y=-ax+2e,因此实数b的值为e.(2)f(x)+e,即-ax+e+e,因此问题转变成a-在e,e2上有解.令h(x)=-,xe,e2,则h(x)=-=.令p(x)=lnx-2,因此当xe,e2时,有p(x)=-=0,因此函数p(x)在区间e,e2上单调递减,因此在区间e,e2上,p(x)p(e)=lne-20,因此h(x)1时,令h(x)0,得xlna;令h(x)0,得x1不合题意.综上,a的取值范围为(-,1.例3思路点拨问题转变成f(x)0在(0,+)上恒成立,成立函数g(x)=f(x),让其最大值小于或等于

6、0即可.解:由已知得,f(x)=lnx+-2(x-a)=lnx-2x+1+2a0恒成立.令(x)ln212,则g()2=(x0).g=x-x+ax=+-=当0 x0,g(x)在(0,1)上单调递加,当x1时,g(x)1)图像的上方,ax2-0在(1,+)上恒成立,a.设f(x)=,x1,则f(x)=0在(1,+)上恒成立,f(x)在(1,+)上单调递减,f(x)1时,f(x)0;(2)若t1,且f(x)1在区间,e上恒成立,求t的取值范围.解:(1)证明:当t=1时,f(x)=x-2lnx,f(x)=1+-=0,f(x)在(1,+)上单调递加,f(x)f(1)=1-1-0=0,当x1时,f(x

7、)0.(2)依题意知,在区间,e上f(x)min1.f(x)=t+-=,令f(x)=0,解得x=1或x=1.若te,当10,函数f(x)单调递加,当x1时,f(x)1,满足条件.若1te,则当x或10,函数f(x)单调递加,当x1时,f(x)0,函数f(x)单调递减,f(x)min=minf,f(1),依题意即2te.若t=1,则f(x)0,函数f(x)在,e上单调递加,f(x)min=f2.2配合例2使用2017广元三诊已知函数f(x)=exsinx-cosx,g(x)=xcosx-ex,其中e是自然对数的底数.判断函数y=f(x)在0,内零点的个数,并说明原由;(2)若对任意的x10,总存

8、在x20,使得不等式f(x1)(2)成立,试求实数的取值范围.+gxmm解:(1)函数y=f(x)在0,内的零点的个数为1.原由以下:由于f(x)=exsinx-cosx,因此fxxx+sinx.(x)=esinx+ecos由于0 x0,因此函数f(x)在0,上单调递加.由于f(0)=-10,因此依照函数零点存在性定理得函数y=f(x)在0,内的零点的个数为1.(2)由于不等式f(x1)+g(x2)m等价于f(x1)m-g(x2),因此对任意的x10,总存在x20,使得不等式f(x1)+g(x2)m成立等价于f(x1)minm-g(x2)min=m-g(x2)max.当x0,时,f(x)=exsinx+excosx+sinx0,故f(x)在区间上单调递加,因此当x=0时,f(x)获