上海外国语大学附属上外高中2022年数学高二第二学期期末统考试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1记为虚数集，设，则下列类比所得的结论正确的是（ ）A由，类比得B由，类比得C由，类比得D由，类比得2已知定义在上的奇函数满足，且当时，则（ ）A1B-1C2D-23函数在点处的切线方程为（ ）ABCD4已知命题，命题，若为假命题，则实数的取

2、值范围是（ ）AB或CD5变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（ ）A2B1C1D26利用数学归纳法证明“1+a+a2+an+1=，（a 1，nN）”时，在验证n=1成立时，左边应该是（ ）A1B1+aC1+a+a2D1+a+a2+a37由曲线，直线所围成的平面图形的面积为（ ）ABCD8已知函数在恰有两个零点，则实数的取值范围是（）ABCD9已知（是实常数）是二项式的展开式中的一项，其中，那么的值为ABCD10已知ab，则下列不等式一定正确的是（）Aac2bc2Ba2b2Ca3b3D11直线的斜率为（ ）ABCD12的展开式中，的系数是（ ）A30B40C-10D-20二、填空题：本

3、题共4小题，每小题5分，共20分。13已知复数，其中i为虚数单位，若为纯虚数，则实数a的值为_14已知函数的对称轴方程为_15已知随机变量，若，则_16若实数x，y满足，则的取值范围是_；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）设 （）求的单调区间.（）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，说明理由.18（12分）已知19（12分）已知函数. （1）证明：函数在内存在唯一零点；（2）已知，若函数有两个相异零点，且（为与无关的常数），证明：.20（12分）已知复数z满足|3+4i|+z=1+3i.(1)求；(2)求的值.2

4、1（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为棱的中点，.（1）证明：平面.（2）求二面角的余弦值.22（10分）老况、老王、老顾、小周、小郭和两位王女士共7人要排成一排拍散伙纪念照.（1）若两位王女士必须相邻，则共有多少种排队种数？（2）若老王与老况不能相邻，则共有多少种排队种数？（3）若两位王女士必须相邻，若老王与老况不能相邻，小郭与小周不能相邻，则共有多少种排队种数？参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】选项A没有进行类比，故选项A错误；选项B中取 不大于 ，故选项B错误；选项D中取 ，但是 均为虚

5、数没办法比较大小，故选项D错误，综上正确答案为C.【点睛】本题考查复数及其性质、合情推理，涉及类比思想、从特殊到一般思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，属于中等难题.本题可以利用排除法，先排除B,再利用特例法取 不大于，排除B,再取 ，但是 均为虚数没办法比较大小，排除D，可得正确选项为C.2、B【解析】根据f（x）是R上的奇函数，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期为4，而由x0，1时，f（x）=2x-m及f（x）是奇函数，即可得出f（0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）

6、=-1【详解】是定义在R上的奇函数，且；的周期为4；时，；由奇函数性质可得；时，；.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.3、D【解析】分析：由题意，求得，得到，利用直线的点斜式方程，即可求解切线的方程；详解：由题意，函数，则，所以，即切线的斜率为，又，所以切线过点，所以切线的方程为，即，故选D点睛：本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程问题，其中熟记导数的几何意义的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力4、D【解析】试题分析：由，可得，由，可得，解得.因为为假命题，所

7、以与都是假命题，若是假命题，则有，若是假命题，则由或，所以符合条件的实数的取值范围为，故选D.考点：命题真假的判定及应用.5、C【解析】将目标函数变形为，当取最大值，则直线纵截距最小，故当时，不满足题意；当时，画出可行域，如图所示， 其中显然不是最优解，故只能是最优解，代入目标函数得，解得，故选C考点：线性规划6、C【解析】考点：数学归纳法分析：首先分析题目已知用数学归纳法证明：“1+a+a1+an+1=（a1）”在验证n=1时，左端计算所得的项把n=1代入等式左边即可得到答案解：用数学归纳法证明：“1+a+a1+an+1=（a1）”在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a1故选C7、

8、C【解析】由，解得，解得，解得，所围成的平面图形的面积为，则，故选C.8、B【解析】本题可转化为函数与的图象在上有两个交点，然后对求导并判断单调性，可确定的图象特征，即可求出实数的取值范围.【详解】由题意，可知在恰有两个解，即函数与的图象在上有两个交点，令，则，当可得，故时，；时，.即在上单调递减，在上单调递增，因为，所以当时，函数与的图象在上有两个交点，即时，函数在恰有两个零点.故选B.【点睛】已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法：（1）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（2）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.9、A

9、【解析】根据二项式定理展开式的通项公式，求出m，n的值，即可求出k的值【详解】展开式的通项公式为Tt+1x5t（2y）t2tx5tyt，kxmyn（k是实常数）是二项式（x2y）5的展开式中的一项，m+n5，又mn+1，得m3，n2，则tn2，则k2t2241040，故选A【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，结合通项公式建立方程求出m，n的值是解决本题的关键10、C【解析】分别找到特例，说明A，B，D三个选项不成立，从而得到答案.【详解】因为，所以当时，得到，故A项错误；当，得到，故B项错误；当时，满足，但，故D项错误；所以正确答案为C项.【点睛】本题考查不等式的性质，通过列举反例，排除法得

10、到答案，属于简单题.11、A【解析】将直线方程化为斜截式，可得出直线的斜率【详解】将直线方程化为斜截式可得，因此，该直线的斜率为，故选A【点睛】本题考查直线斜率的计算，计算直线斜率有如下几种方法：（1）若直线的倾斜角为且不是直角，则直线的斜率；（2）已知直线上两点、，则该直线的斜率为；（3）直线的斜率为；（4）直线的斜率为.12、B【解析】通过对括号展开，找到含有的项即可得到的系数.【详解】的展开式中含有的项为：，故选B.【点睛】本题主要考查二项式定理系数的计算，难度不大.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】为纯虚数，则14、【解析】分析：令，解出即可.详解：函数，对

11、称轴方程为， 故答案为：.点睛：考查了余弦函数的图像的性质15、0.8【解析】直接根据正态分布的对称性得到答案.【详解】随机变量，故.故答案为：.【点睛】本题考查了正态分布，意在考查学生对于正态分布对称性的灵活运用.16、；【解析】令，可将化为，根据三角函数值域可求得结果.【详解】 可令， 本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角换元的方式求解取值范围的问题，关键是能够将问题转化为三角函数的值域的求解.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（）详见解析；（）0.【解析】（）对分三种情况讨论，利用导数求的单调区间；（）先求出函数h(x)在上单调递减，在上单调递增，再求

12、出，即得解.【详解】解：（I）时，令令故在单调递增，在上单调递减；01时，恒成立，故在单调递增.时，令令故在单调递减，在上单调递增；综上：在单调递增，在上单调递减；时在单调递增.时，在单调递减，在上单调递增.（II）当时，由于在上单调递增且故唯一存在使得即故h(x)在上单调递减，在上单调递增，故又且在上单调递增，故即依题意：有解，故又故【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究不等式存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18、【解析】把z1、z2代入关系式，化简即可【详解】， 【点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.19、（1）证明见解析；

13、（2）证明见解析【解析】（1）先利用导数确定单调性，再利用零点存在定理证明结论，（2）先求，再结合恒成立转化证明，即需证，根据条件消，令，转化证，即需证， 这个不等式利用导数易证.【详解】（1），令，则在上恒成立，所以，在上单调递减， ，根据零点存在定理得，函数在存在唯一零点， 当时，所以在存在唯一零点；（2）因为，所以， 不妨设，因为，所以，所以，因为，而要求满足的b的最大值，所以只需证明.所以（*）令，则，所以（*），令，则， 所以在上单调递增，即综上，.【点睛】本题考查利用导数研究函数零点以及利用导数证明不等式，考查综合分析论证能力，属难题.20、（1）；（2）2【解析】（1）先求出为

14、,即可求出，再根据共轭复数的定义即可求出；（2）根据复数的运算法则计算即可得出结论.【详解】(1)因为|3+4i|=5,所以z=1+3i-5=-4+3i,所以=-4-3i.(2)=2.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.21、（1）见证明；（2）【解析】（1）先由平面得到面PDC平面，可得平面，则有，再利用勾股数及等腰三角形可得，可证得平面，即证得结论.（2）以D为坐标原点，建立

15、如图所示空间直角坐标系Dxyz，利用向量法能求出二面角PAED的余弦值【详解】（1）取的中点，连接，则.由题知平面，面PDC，所以面PDC平面，又底面为矩形，故平面，所以， 在中，则.因为，所以，即CDP为等腰三角形，又F为的中点，所以.因为，所以平面，即平面.（2）以为原点，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.由题知，设平面的法向量为，则，令，则，得.因为平面，所以为平面的一个法向量，所以，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直、面面垂直的证明，考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值的方法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题22、（1）；（2）；（3）；【解析】（1）利用捆