2021-2022学年山东省沂水县第二中学高二数学第二学期期末质量检测试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

2、目要求的。1在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为（ ）AB2CD2将函数的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为ABC0D3设奇函数的最小正周期为，则（ ）A在上单调递减B在上单调递减C在上单调递增D在上单调递增4若复数满足（为虚数单位），则=（ ）A1B2CD5命题，则为（）A，B，C，D，6如图，在三棱锥中，点D是棱的中点，若，则等于（ ）ABCD7对于函数，有下列结论：在上单调递增，在上单调递减；在上单调递减，在上单调递增；的图象关于直线对称；的图象关于点对称其中正确的是（）ABCD8某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单

3、位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（ ）ABCD9观察下列各式：，则的末尾两位数字为（ ）A49B43C07D0110对于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体（ ）A各正三角形内的点 B各正三角形的中心C各正三角形某高线上的点 D各正三角形各边的中点11若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A的虚部为BC的共轭复数为D为纯虚数12下面是关于复数（i为虚数单位）的四个命题：对应的点在第一象限；是纯虚数；其中真命题的个数为（）A1B2C3D4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13某城市街区如下图所示,其中实线

4、表示马路,如果只能在马路上行走,则从点到点的最短路径的走法有_种14如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点（包括边界），且，则的最小值为_15若向量，且，则与的夹角等于_16函数，当时， 恒成立，求 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知复数（i是虚数单位）是关于x的实系数方程根.(1)求的值；(2)复数满足是实数，且，求复数的值.18（12分）设函数（）.()当时，求不等式的解集；()求证:，并求等号成立的条件.19（12分）如图，在底边为等边三角形的斜三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB，四边形B1C1CB为矩形，过A1C作与直线B

5、C1平行的平面A1CD交AB于点D（）证明：CDAB；（）若AA1与底面A1B1C1所成角为60，求二面角BA1CC1的余弦值20（12分）已知正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，高为，为线段的中点，为线段的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.21（12分）为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据如下表：超过1小时不超过1小时男208女12m（1）求m，n；（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有

6、关？（3）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82822（10分）已知集合Ax|1x3，集合Bx|2mx1m(1)当m1时，求AB；(2)若AB，求实数m的取值范围；(3)若AB，求实数m的取值范围参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】试题分析：将极坐标化为直角坐标可得和，圆心到直线的距离，故，所以应选C.考点：极坐标方程与直角坐标之间

7、的互化【易错点晴】极坐标和参数方程是高中数学选修内容中的核心内容，也是高考必考的重要考点.解答这类问题时，一定要扎实掌握极坐标与之交坐标之间的关系，并学会运用这一关系进行等价转换.本题在解答时充分利用题设条件，运用将极坐标方程转化为直角坐标方程，最后通过直角坐标中的运算公式求出弦长，从而使问题巧妙获解.2、B【解析】将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到函数的图象对应的函数解析式为再根据所得函数为偶函数，可得故的一个可能取值为：故选B3、B【解析】分析：利用辅助角公式将函数进行化简，根号函数的周期和奇偶性即可得到结论详解： ，函数的周期是，）是奇函数，即 当时，即则在单调递减，故选：B点睛：本

8、题主要考查三角函数的解析式的求解以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键4、C【解析】试题分析：因为，所以因此考点：复数的模5、C【解析】含有一个量词命题的否定方法：改变量词，否定结论.【详解】量词改为：，结论改为：，则，.故选：C.【点睛】本题考查含一个量词命题的否定，难度较易.含一个量词命题的否定方法：改量词，否结论.6、A【解析】利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可【详解】解：由题意在三棱锥中，点是棱的中点，若，可知：，故选：【点睛】本题考查向量的三角形法则，空间向量与平面向量的转化，属于基础题7、C【解析】将原函数的导数求出来，分析其符号即可得出原函数的单调

9、性，又，故函数的图象关于直线对称【详解】由得令得当时，原函数为增函数当时，原函数为减函数，故正确因为所以函数的图象关于直线对称，故正确故选：C【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性及函数的对称性，属于中档题.8、B【解析】结合图表，通过计算可得：该学期的电费开支占总开支的百分比为 20%=11.25%，得解【详解】由图1，图2可知：该学期的电费开支占总开支的百分比为20%=11.25%，故选B【点睛】本题考查了识图能力及进行简单的合情推理，属简单题9、B【解析】通过观察前几项，发现末尾两位数分别为49、43、01、07，以4为周期重复出现，由此即可推出的末尾两位数字。【详解】根据题意，得

10、， 发现的末尾两位数为49，的末尾两位数为43，的末尾两位数为01，的末尾两位数为07，（ ）； 由于，所以的末两位数字为43；故答案选B【点睛】本题以求的末尾两位数的规律为载体，考查数列的通项公式和归纳推理的一般方法的知识，属于基础题。10、B【解析】四面体的面可以与三角形的边类比，因此三边的中点也就类比成各三角形的中心，故选择B.11、D【解析】将复数整理为的形式，分别判断四个选项即可得到结果.【详解】的虚部为，错误；，错误；，错误；，为纯虚数，正确本题正确选项：【点睛】本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题.12、B【解析】求出z的坐标判断；求出判断；求得

11、的值判断；由两虚数不能进行大小比较判断【详解】，z对应的点的坐标为（1，1），在第一象限，故正确；，故错误；，为纯虚数，故正确；两虚数不能进行大小比较，故错误其中真命题的个数为2个故选：B【点睛】本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、7.【解析】分析：根据题意，从A到B的最短路程，只能向左、向下运动，将原问题转化为排列、组合问题，注意图中有空格，注意排除，计算可得答案详解：根据题意，从A到B的最短路程，只能向左、向下运动；从A到B，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即从5次中任取2次向下，剩

12、下3次向右，有种情况，但图中有空格，故是方法数为中故答案为：7.点睛：本题考查排列、组合的应用，解题的关键将圆问题转化为排列、组合问题，由分步计数原理计算得到答案14、【解析】根据题意，可知，即求的最小值.在侧面内找到满足平面且最小的点即可.【详解】由题得，取中点H，中点G，连结，GH，平面，平面，平面平面，平面，故平面，又平面，则点F在两平面交线直线GH上，那么的最小值是时，则为最小值.【点睛】本题考查空间向量以及平面之间的位置关系，有一定的综合性.15、【解析】由平面向量数量积的运算的：，即与的夹角等于 【详解】由，所以，所以，即与的夹角等于，故答案为：【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算

13、、向量的夹角公式、向量模的求法，属于基础题。16、【解析】试题分析：由题意得， ，因此，从而， 考点：二次函数性质三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1) (2) 或.【解析】（1）实系数方程虚根是互为共轭复数的，得出另一根为，根据韦达定理即可得解.(2) 设,由是实数，得出关于的方程 ，又得的另一个方程，联立即可解得的值，即得解.【详解】（1）实系数方程虚根是互为共轭复数的，所以由共轭虚根定理另一根是，根据韦达定理可得.（2）设，得又得,所以或，因此或w=.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，复数的乘法及模的运算，考查了推理

14、能力与计算能力，属于中档题18、 () ()见证明【解析】()把代入不等式中，利用零点进行分类讨论，求解出不等式的解集；()证法一：对函数解析式进行变形为，显然当时，函数有最小值，最小值为，利用基本不等式，可以证明出，并能求出等号成立的条件；证法二：利用零点法把函数解析式写成分段函数形式，求出函数的单调性，最后求出函数的最小值，以及此时的的值.【详解】解:()当时，原不等式等价于，当时，解得 当时，解得 当时，无实数解原不等式的解集为 ()证明:法一:，当且仅当时取等号又，当且仅当且时，即时取等号，等号成立的条件是法二:在上单调递减，在上单调递增，等号成立的条件是【点睛】本题考查了绝对值不等式

15、的解法以及证明绝对值不等式，利用零点法，分类讨论是解题的关键.19、（）见解析；（）【解析】（）连接AC3交A3C于点E，连接DE推导出BC3DE，由四边形ACC3A3为平行四边形，得ED为AC3B的中位线，从而D为AB的中点，由此能证明CDAB（）过A作AO平面A3B3C3垂足为O，连接A3O，以O为原点，以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角BA3CC3的余弦值【详解】（）连接AC3交A3C于点E，连接DE因为BC3平面A3CD，BC3平面ABC3，平面ABC3平面A3CDDE，所以BC3DE 又因为四边形ACC3A3为平行四边形，所以E为AC3的中点

16、，所以ED为AC3B的中位线，所以D为AB的中点又因为ABC为等边三角形，所以CDAB （）过A作AO平面A3B3C3垂足为O，连接A3O，设AB3因为AA3与底面A3B3C3所成角为60，所以AA3O60在RtAA3O中，因为，所以，AO2因为AO平面A3B3C3，B3C3平面A3B3C3，所以AOB3C3又因为四边形B3C3CB为矩形，所以BB3B3C3，因为BB3AA3，所以B3C3AA3因为AA3AOA，AA3平面AA3O，AO平面AA3O，所以B3C3平面AA3O因为A3O平面AA3O，所以B3C3A3O又因为，所以O为B3C3的中点以O为原点，以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立

17、空间直角坐标系，如图则，C3（0，3，0），A（0，0，2），B3（0，3，0）因为，所以，因为，所以， 设平面BA3C的法向量为（x，y，z），由得令，得z3，所以平面BA3C的一个法向量为设平面A3CC3的法向量为（a，b，c），由得令，得b2，c3，所以平面A3CC3的一个法向量为所以，因为所求二面角为钝角，所以二面角BA3CC3的余弦值为 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角、空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题20、（1）见证明；（2）【解析】（1）要证明平面，利用中

18、位线可先证明即可；（2）找出直线与平面所成角为，利用正弦定理即可得到所成角的正弦值.【详解】解：（1）证明：在四棱锥中，连结交于点，连结，因为在中，为的中点，为的中点，所以为的中位线，得， 又因为平面，平面，所以平面 （2）设，由题意得，因为为的中点，所以，故平面 所以直线在平面内的射影为直线，为直线与平面所成的角， 又因为，所以由条件可得，所以在中，所以所以，故直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题主要考查线面平行的判定，线面所成角的相关计算，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力，难度中等.21、（1），（2）没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关（3）估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数是4人【解析】（1）根据分层抽样比例列方程求出n的值，再计算m的值；（2）根据题意完善22列联表，计算K2，对照临界值表得出结论；（3）计算参加社区服务时间超过1小时的频率，用频率估计概率，计算所求的频数即可【详解】（1）根据分层抽样法，抽样比例为，n48；m48208128；（2）根据题意完善22列联表，如下； 超过1小时不超过1小时合计男生20828女生12820合计321648计算K20.68573.841，所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关；（3）参加社区服务