考研年数学分析试题

1、3sint2 0.xt tsint 03222x sin解 原式 2x3 xsin sin x0 1cos33sint2 sint3sint2 0.xt tsint 03222x sin解 原式 2x3 xsin sin x0 1cos33sint2 sint2 12，00 xxt tsint t tsint 002.求xdx 解 原式2 x 12 yx xx dy2 1 xx yarctan yxx yC23.计算 dyyy1x2xy2 2解 原式1 dyy ye 2y1 e y12y e 14y2 4x 与它在12在12dy 2 解k dx 法线的斜率为y2x1x32y1 e y12y e

2、 14y2 4x 与它在12在12dy 2 解k dx 法线的斜率为y2x1x3 y，法线与抛物线交于1296，2 y2 23S dydx 63 y2y442y3 13yy2 12241656 64n1 5.求幂级数 n设un x解，nnx0时，由于 limx x n n11x当x1nun1 un x 1nx当n1 n1 2Sx 1nxxn1 x01xn2t x02 2x 1nx当n1 n1 2Sx 1nxxn1 x01xn2t x02 2x t 10 x1 20ln1 x21ln1t2 ，x xx0ln1 x21 0 x16.计算曲线积分ex sin y bx ydx ex cos y ax

3、dy L 是从2a,0 L着曲线y2ax x2 到点0,0的一段PexsinybxyQexcosyax则P excosybQ ex cosya，于是Q P ba曲线y 2axx2 ，x2 2ax y2 0，y 0 xa2 y2 a2，y 0D xyxa2 y2 a2, y 0，Greenbx原曲线积分ba dxdyD0ba1a2 b12a22 4a2b.2limsinnbx原曲线积分ba dxdyD0ba1a2 b12a22 4a2b.2limsinn由于区间2k 2k 3k 0,12,长度为1244n 2k ,2k 3k44同理存在m 2k 5 2k 7k44假若limsinn a则有lim

4、sinnk a limsinmk akk222 2sinn 1，1sinm kk222a1，1a2所以limsinna,b a,bfxfyL xy xyabL, （1）当 1f x恒为常数a,b，使f （2）L 1, 1（1）当 1.fyfx y xyx1 0，yx由0 fx0 xa,b，于f x恒为常数知f x连续，又a f xba,b，使f ，设afx0 xa,b，于f x恒为常数知f x连续，又a f xba,b，使f ，设a,b，也满f f f L ,由于0 L0， a,b，使f .fxIfxI条件是对任给的 0 ，总存在正数 M ，使得当 xyI x ，且fyfx y xfy f x

5、 M f x在区I 上不一致连续，则存在0 0，存在xn,ynI 1fx f y x ，nn0nfxn f ynn x 00，只需要n2fx f y ，nn2fxIfxI则存在0 0，对任意正整数n，存在xn,ynI fxnfyn则存在0 0，对任意正整数n，存在xn,ynI fxnfyn xn ynnfxn f yn 0 但 ，M f xx f .f xCf x x，显然I 上一致连续，不成立必要性的论，反证法中的xn ，yn 不存在，所以此题应只有充分性，应无必要性R2 中任何有界闭K ，f 1K均是有界的f R2 R2f R2是闭集证明 y f R2的任意一个极限点则存在xn R 2使得

6、limfxny而集Af xn n12,y作为 R2 中的有界闭集（有界是因为极限存在，而闭性是由于极限唯一f 1A是有界的f1An所以xn是有界的Weierstrass聚点定理，存在子列xnk xR 2使得limxn xkkf lim f xnk f x yky f x f R2f R2是闭集f x,y在点00处连续fx 00fy 00但在点00 f R2是闭集f x,y在点00处连续fx 00fy 00但在点00 处不可微证明（1）显然limfxy0 f 00f xy在点00处连续f x,0 f 0,0f 0,y f 0,000 xyfx0,00，fy0,00知Rx,y f x,yf 0,0 fx0,0 x fy0,0，x2 0当Rx,x2 yx2 yf xy在00处不可微f x ，n1 2n 证明（1）f x在0上可导，且一致连续f xdx发散（2）反常积分1x（1）记，n2n 对任x01x0，n所以un x 在0, 一致收敛f x 在0上连续，n1 2n x1x20fx f 12 x n1 2 2 nn12 1 2n2nxf x 在0上连续，n1 2n x1x20fx f 12 x n1 2 2 nn12 1 2n2nx x ，3f x在0一致连续1u x ,ux