初三数学秋季讲义 第11讲.期末复习之图形中动点的运动 教师版

1、PAGE 18PAGE 17PAGE 1期末复习之图形中动点的运动11 期末复习之图形中动点的运动11满分晋级满分晋级阶梯函数19级函数19级期末复习之二次函数与图形综合函数18级期末复习之图形中点的运动函数17级用函数的观点看方程与不等式秋季班第十二讲秋季班第十一讲秋季班第五讲知识互联网 知识互联网题型一：因动点产生的函数关系问题题型一：因动点产生的函数关系问题思路导航思路导航我们初二已经学过了三角形、四边形上动点产生的函数问题，初三已学习了新的图形圆，出现了一些以圆为背景，因点的运动产生的函数问题，这些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系. 典题精练典题精练圆中点的运动产生函数图象问题

2、 如图，是的直径，为圆上一点点从点出发，沿运动到点，然后从点沿运动到点假如点在整个运动过程中保持匀速，则下面各图中，能反映点与点的距离随时间变化的图象大致是（ ）A B C D（房山期末） 如图，点、为圆的四等分点，动点从圆心出发，沿线段线段的路线作匀速运动设运动时间为秒，的度数为度，则下列图象中表示与的函数关系最恰当的是（ ） A B C D（丰台、崇文期末） 如图，点是以为圆心，为直径的半圆上的动点，设弦的长为， 的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ）(2013北京)OyxOOOxxxyyy 如图，AB为半圆所在O的直径，弦CD为定长且小于O的半径(点C与点A不重合)

3、，CFCD交AB于F，DECD交AB于E， G为半圆中点, 当点C在上运动时，设的长为，CF+DE= yOyxOOOxxxyyy A B C D（2012海淀期中） B C A B2. 因动点产生的面积问题如图1，已知ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（）解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBC（2）设AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分？若

4、存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由（4）如图2，把AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由(2012六盘水)【答案】AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，由勾股定理逆定理得ABC为直角三角形，C为直角（1）BP=2t，则AP=10-2tPQBC，即，解得t=，当t=s时，PQBC（2）如答图1所示，过P点作PDAC于点DPDBC，即，解得PD=6-tS=AQPD=2t(6-t)= -t2+6t=-(t-)2+，当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把A

5、BC的面积平分，则有SAQP=SABC，而SABC=ACBC=24，此时SAQP=12由（2）可知，SAQP=-t2+6t，-t2+6t=12，化简得：t2-5t+10=0，=(-5)2-4110=-150，此方程无解，不存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t如答图2所示，过P点作PDAC于点D，则有PDBC，即，解得：PD=6-t，AD=8-t，QD=AD-AQ=8-t-2t=8-t在RtPQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，即（8t）2+（6t）2=（2t）2，化简得：13t290t+125=0，解得

6、：t1=5，t2=，t=5s时，AQ=10cmAC，不符合题意，舍去，t=由（2）可知，SAQP=-t2+6tS菱形AQPQ=2SAQP=2（-t2+6t）=2-()2+6=cm2所以存在时刻t，使四边形AQPQ为菱形，此时菱形的面积为cm2题型二题型二：因动点产生的特殊图形问题典题精练典题精练1. 因动点产生的等腰三角形问题如图，四边形为矩形，动点从点出发以个单位/秒的速度沿向终点运动，动点从点出发以个单位/秒的速度沿向终点运动当其中一点到达终点时，运动结束过点作交于点，连接已知动点运动了秒 请直接写出的长；（用含的代数式表示） 试求的面积与时间秒的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求出的

7、最大值； 在这个运动过程中，能否为一个等腰三角形若能，求出所有的对应值；若不能，请说明理由（崇文期末） ； 其中，当时，取得最大值 由可知：若，则，解得，若，则过点作于，易得是矩形，又，则，解得（舍去），另解：过点作.，又，解得.若，则过点作于，易得是矩形，且，解得综上所述，若可以成为等腰三角形，满足条件的的值可以为2. 因动点产生的直角三角形问题如图，已知是线段上的两点，以为中心顺时针旋转点，以为中心逆时针旋转点，使、两点重合成一点，构成，设求的取值范围；若为直角三角形，求的值. 在中，解得 若为斜边，则，即，无解若为斜边，则，解得，满足若为斜边，则，解得，满足或 3. 因动点产生的特殊四边

8、形问题如图，在矩形中，分别从，出发沿，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若，则，CM=3xcm，当为何值时，以，为两边，以矩形的边（或）的一部分为第三边构成一个三角形；当为何值时，以，为顶点的四边形是平行四边形；以，为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求的值；如果不能，请说明理由当点与点重合或点与点重合时，以，为两边，以矩形的边（或）的一部分为第三边可能构成一个三角形当点与点重合时，由得，（舍去）因为，此时点与点不重合所以符合题意 当点与点重合时，由得此时，不符合题意故点与点不能重合所以所求的值为 由知，点只能在点的左侧，当点在点

9、的左侧时，由，解得当时，四边形是平行四边形 当点在点的右侧时，由， 解得当时四边形是平行四边形所以当时，以，为顶点的四边形是平行四边形 过点，分别作的垂线，垂足分别为点，由于，所以点一定在点的左侧若以，为顶点的四边形是等腰梯形， 则点一定在点的右侧，且， 即解得由于当时， 以，为顶点的四边形是平行四边形，所以以，为顶点的四边形不能为等腰梯形 如图，在中，动线段（端点从点开始）沿边以的速度向点运动，当端点到达点时运动停止过点作交于点（当点与点重合时，与重合），连接，设运动的时间为秒()直接写出用含的代数式表示线段、的长；在这个运动过程中，能否为等腰三角形？若能，请求出的值；若不能，请说明理由；设

10、、分别是、的中点，求整个运动过程中，所扫过的面积（2012福建）【解析】，分三种情况讨论：当时，有，点与点重合，当时，解得： 当时，有，即，解得： 综上所述，当、或秒时，为等腰三角形设是的中点，连接，又，点沿直线运动，也随之平移如图，设从位置运动到位置，则四边形是平行四边形 、分别是、的中点，且分别过点、作，垂足为，垂足为，延长交于点，则四边形是矩形，当时，；当时，整个运动过程中，所扫过的面积为思维拓展训练(选讲)思维拓展训练(选讲)如图，在矩形中，米，米，动点以2米/秒的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以1米/秒的速度从点出发，沿向点移动，当、两点中其中一点到达终点时则停止运动设、两点移动

11、秒后，四边形的面积为平方米求面积关于时间的函数关系，并求出的取值范围；在、两点移动的过程中，当为等腰三角形时，求的值（上海市南汇区中考模拟题） 如图，过点作于在中，米，因此，在中，所以自变量的取值范围是 当时，解得（秒） 如图，当时，过点作于，则在中，解得（秒） 如图，当时，过点作于，则在中，解得（秒）综上所述，当为秒、秒、秒时，为等腰三角形如图，在梯形中，梯形的高为动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为（秒）当时，求的值；试探究：为何值时，为等腰三角形（密云一模） 如图，过作交于点，则四边形是平行四边形，由题意

12、知，当、运动到秒时，即解得， 分三种情况讨论：当时，如图，即 当时，如图，过作于，于H则，即 当时，如图，过作于点则，即 综上所述，当、或时，为等腰三角形复习巩固复习巩固题型一 因动点产生的函数关系问题 巩固练习如图，直线与两坐标轴分别交于、两点，边长为2的正方形沿着轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形与AOB重叠部分的面积为则表示与的函数关系的图象大致是（ ） （石景山期末）D.ABCDABCDEF如图，在矩形中，（是大于的常数），为线段上的动点（不与、重合）连结，作，与射线交于点，设，求关于的函数关系式； 若，求为何值时，的值最大，最大值是多少？若，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少

13、？ 因为与都是的余角，所以又因为，所以因为，即整理，得关于的函数关系为 如图1，当时，因此当时，取得最大值为2 若，那么整理，得解得或要使为等腰三角形，只存在的情况因为，所以，即将代入，得（如图2）；将代入，得（如图3）如图，已知中，P、Q分别是边AB、BC上的动点，且点P不与A、B重合，点Q不与B、C重合，当CQ的长取不同的值时，是否可能为直角三角形？若可能，请求出CQ的范围；若不能，说明理由为直角三角形，可能有三种情况，但点P不与点A重合，所以么不可能为直角，因此有两种情况： 若为直角，如图，则CQ的范围为 若为直角，则点P在以CQ为直径的上，而点P在边AB上，就必须与边AB有公共点，即与

14、边AB相切或相交，我们先从与边AB相切入手求出CQ的长：如图，连结OP，则，得设，得，解得，若为直角，CQ的范围为从相等到不等求范围，要抓住变化中图形的特殊位置，而在直线与圆的位置关系中则以相切作为解题的突破口已知：如图，在直角梯形中，以为原点建立平面直角坐标系，三点的坐标分别为，点为线段的中点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿折线的路线移动，移动的时间为秒求直线的解析式；若动点在线段上移动，当为何值时，四边形的面积是梯形面积的？动点从点出发，沿折线的路线移动过程中，设的面积为，请直接写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围；当动点在线段上移动时，能否在线段上找到一点，使四边形为矩形？

15、请求出此时动点的坐标；若不能，请说明理由ABABDCOxy（此图备用）ABDCOPxy（黄冈中考） 直线的解析式为 如图1，过点作轴，垂足为在中，所以梯形的面积解方程，解得因此，当时，四边形的面积是梯形的面积的 如图1， 当在线段上时，； 如图2，当在线段上时，； 如图3，当在线段上时， 四边形不可能成为矩形说理如下：如图4，当时，作交轴于在中，在中，所以，因此四边形不是矩形已知：如图，在中，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接若设运动的时间为（）AQCPB图 = 1 * GB3 AQCPB图 = 2 * GB3 AQCPB图 = 1

16、 * GB3 AQCPB图 = 2 * GB3 如图过点P作PMAC于，PNBC于N，P BAQPCMN若四边形PQPP BAQPCMNPMAC于M，QM=CMPNBC于N，易知PBNABC， ，解得：当时，四边形PQP C 是菱形 此时，在RtPMC中，菱形PQP C边长为课后测课后测【测试1】如图：等边中，边长，点在线段上，点在射线上，点沿方向从点以每秒1个单位的速度向终点运动，点沿方向从点以每秒2个单位的速度运动，当点停止时点也停止运动，设运动时间为秒，若、三点围成的图形的面积为来表示，则与的图象是（）（2012延庆二模）ABCD【解析】B【测试2】 矩形中，点是线段上一动点，为的中点，

17、的延长线交于 求证：； 若厘米，厘米，从点出发，以1厘米/秒的速度向运动（不与重合）设点运动时间为秒，请用表示的长；并求为何值时，四边形是菱形【解析】 证明：四边形是矩形，又， 四边形是矩形，当四边形是菱形时，又，即，解得，即运动时间为秒时，四边形是菱形 第十七种品格：第十七种品格：成就换个思维想问题，成功马上就来临有一家效益相当好的大公司，为扩大经营规模，决定高薪招聘营销主管。广告一打出来，报名者云集。 面对众多应聘者，招聘工作的负责人说：“相马不如赛马，为了能选拔出高素质的人才，我们出一道实践性的试题：就是想办法把木梳尽量多的卖给和尚。”绝大多数应聘者感到困惑不解，甚至愤怒：出家人要木梳何用？这不明摆着拿人开涮吗？于是纷纷拂袖而去，最后只剩下三个应聘者：甲、乙和丙。负责人交待：“以10日为限，届时向我汇报销售成果。” 10日到。负责人问甲：“卖出多少把？”答：“1把。”“怎么卖的？”甲讲述了历尽的辛苦，游说和尚应当买把梳子，无甚效果，还惨遭和尚的责骂，好在下山途中遇到一个小和尚一边晒太阳，一边使劲挠头皮。甲灵机一动，递上木梳，小和尚用后满心欢喜，于是买下一把。负责人问乙：“卖出多少把？”答：“10把。”“怎么卖的？”乙说他去了一座名山古寺，由于山高风大，进香者的头发都被吹乱了，他找到寺院的住持说：“蓬头垢面是对佛的不敬。应在每座庙的香案前放把木梳，供善男信女梳