江苏省无锡地区2018年中考数学选择填空压轴题专题5三角形综合问题

1、专题05三角形综合问题例1.如图所示，矩形ABCD中，AB=4,BC=W3，点E是折线ADC上的一个动点（点E与点A不重合）,点P是点A关于BE的对称点.在点E运动的过程中，使PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）同类题型1.1同类题型1.1如图，在钝角厶ABC中，分别以AB和AC为斜边向厶ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分ZAEB交AB于点M,取BC中点D,AC中点N,连接DN、DE、DF.下列结论：TOC o 1-5 h zEM=DN；SmDN=3s四边形DNDE=DF；DE丄DF.其中正确的结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个SC同类题型1.2

2、如图，D，E分别是ABC的边BC，AC上的点，若ZB=ZC，ZADE=ZAED,则（）A.当ZB为定值时，ZCDE为定值B.当Z1为定值时，ZCDE为定值C.当Z2为定值时，ZCDE为定值D.当Z3为定值时，ZCDE为定值RDC_同类题型1.3如图，在厶ABC中，AB=AC=-.；3，ZBAC=120，点D、E都在边BC上,ZDAE=60.若BD=2CE，则DE的长为.例2.如图，在直角梯形ABCD中，ADBC,ZABC=90,AB=BC,E为AB边上一点，ZBCE=15，且AE=AD.连接DE交对角线AC于H,连接BH.下列结论：ACDAACE；ACDAACE；厶CDE为等边三角形；EH=2

3、EB；SAEHSCEH_EHCD-其中正确的结论是其中正确的是其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）同类题型2.1如图所示，已知：点A(0,0),B(寸3,0),C(0,1)在厶ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个厶AA1B1，第2个厶B1A2B2，第3个厶B2A3B3，则第n个等边三角形的边长等于同类题型2.2如图，点P在等边ABC的内部，且PC=6,PA=8,PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60得到PC，连接AP，贝ysinZPAP的值为.例3.如图，在ABC中，ZABC和ZACB的平分线相交于点0,过点0作EFBC交AB

4、于E,交AC于F,过点0作0D丄AC于D.下列四个结论：ZB0C=90+2ZA；以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切;TOC o 1-5 h zEF是厶ABC的中位线；设0D=m,AE+AF=n,贝JSAEF=jmn.其中正确的结论是()A.B.A.B.C.D.同类题型3.1如图所示，四边形ABCD中，DCAB,BC=1,AB=AC=AD=2.则BD的长为()A.佰B.任C.3电D.23同类题型3.2如图，在RtAABC中，BC=2,ZBAC=30,斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线0M、ON上滑动，下列结论：_若C、0两点关于AB对称，则0A=2廳；C、0两点距离的

5、最大值为4；n若AB平分C0,则AB丄C0；斜边AB的中点D运动路径的长幻；同类题型3.3如图，直角ABC中，ZB=30。，点0是4ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E,过点E作EF丄AB交BC于点F,连接AF交CE于点M,则黑的值为DAB4C3DAB4C3例4.如图，在ABC中，4AB=5AC,ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF丄AD于点F,点AGG在AF上,FG=FD,连接EG交AC于点H.若点H是AC的中点，贝的值为.同类题型4.1同类题型4.1如图，已知COi是厶ABC的中线，过点Oi作OiEiAC交BC于点E,连接AE1交CO于点AC.A昱6乓仁AC.A昱6乓仁。2；过

6、点。2作O2E2AC交BC于点Eq，连接AE?交CO于点O3；过点O3作O3E3AC交BC于点E3，,如此继续，可以依次得到点O4,O5，,On和点E4,E5，,En，贝JO2016E20I6=同类题型4.2如图，过锐角厶ABC的顶点A作DEBC,AB恰好平分ZDAC,AF平分ZEAC交BC的延长线于点F.在AF上取点M,使得AM=1AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若AC=2,AMH的面积是，则tan%的值是例5.如图，ABC的面积为S.点P,P2,卩3，Pn1是边BC的n等分点（n3，且n为整数）,点M,N分别在边AB,AC上，且詈=AU*，连接MPi,MP2,MP3，MPn1,连接N

7、B,NP,NP?，,NPn1，线段MP1与NB相交于点Di，线段MP?与NP相交于点D?，线段MP3与NP?相交于点D3，,D.2.5同类题型5.3D.2.5同类题型5.3如图，在RtAABC中，ZA=9O,AB=AC,BC=2+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点，沿MN所在的直线折叠ZB,使点B的对应点B始终落在边AC上，若MB，C为直角三角形，则BM的长为.卫同类题型5.1如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B，处,点A对应点为AJ且B，C=3,则AM的长是（）C.2.25s同类题型5.2如图，ABC中，ZBAC=90,AB=3,AC=4,点

8、D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得到AED,连CE，则线段CE的长等于（）同类题型5.4如图，在矩形ABCD中，ZB的平分线BE与AD交于点E,ZBED的平分线EF与DC交于点F,若AB=9,DF=2FC,则BC=.（结果保留根号）参考答案例1.如图所示，矩形ABCD中，AB=4,BC=4鴛，点E是折线ADC上的一个动点（点E与点A不重合）,点P是点A关于BE的对称点.在点E运动的过程中，使PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）解：BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P；BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有2个，是以B

9、为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P；以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点选C.同类题型1.1如图，在钝角厶ABC中，分别以AB和AC为斜边向厶ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分ZAEB交AB于点M,取BC中点D,AC中点N,连接DN、DE、DF.下列结论：EM=DN；SmDN=3S四边形DNDE=DF；DE丄DF.其中正确的结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个解:VD是BC中点，N是AC中点,.小“是厶ABC的中位线，.DNAB,且DN=1AB；三角

10、形ABE是等腰直角三角形，EM平分ZAEB交AB于点M,M是AB的中点，.EM=2AB,又dn=2AB,EM=DN,.结论正确；DNAB,.CDNsABC,DN=2AB,scdn=4sabc,SCDN=3S_（四边形ABDN）,.结论正确；如图1,连接MD、FN,D是BC中点,M是AB中点,小皿是厶ABC的中位线，DM-AC,且DM=1AC；三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点,.FN=2AC,又DM=2AC,DM=FN,DMAC,DNAB,四边形AMDN是平行四边形，；.ZAMD=ZAND,又VZEMA=ZFNA=90,；.ZEMD=ZDNF,在AEMD和AONF中，EM=DNZEM

11、D=ZDNF,、MD=NF.EMD今DNF,.DE=DF,结论正确；如图2,连接MD,EF,NF,三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分ZAEB,M是AB的中点，EM丄AB,.EM=MA,ZEMA=90,ZAEM=ZEAM=45,EM.迈.EA=sin45=2,D是BC中点，M是AB中点，小皿是厶ABC的中位线，.DMAC,且DM=1AC；三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，/.FN=2AC,ZFNA=90,ZFAN=ZAFN=45,又VDM=1AC,DM=FN=FA,*/ZEMD=ZEMA+ZAMD=90+ZAMD,ZEAF=360-ZEAM-ZFAN-ZBAC=3604545(1

12、80ZAMD)=90+ZAMD；.ZEMD=ZEAF,在AEMD和AZEAF中，Ea=FA=2、ZEMD=ZEAF.EMDszEAF,；.ZMED=ZAEF,VZMED+ZAED=45,；.ZAED+ZAEF=45,即ZDEF=45,又.de=df,；.ZDFE=45,.ZEDF=1804545=90,.DEDF,.结论正确正确的结论有4个：.选D.同类题型1.2如图，D,E分别是ABC的边BC,AC上的点，若ZB=ZC,ZADE=ZAED,则（）当ZB为定值时，ZCDE为定值当Z1为定值时，ZCDE为定值当Z2为定值时，ZCDE为定值当Z3为定值时，ZCDE为定值解：在CDE中，由三角形的外

13、角性质得，ZAED=ZCDE+ZC,在厶ABD中，由三角形的外角性质得，ZB+Z1=ZADC=ZADE+ZCDE,.ZB=ZC,ZADE=ZAED,.ZB+Z1=ZCDE+ZC+ZCDE=2ZCDE+ZB,AZ1=2ZCDE,当Z1为定值时，ZCDE为定值.选B.同类题型1.3如图，在厶ABC中，AB=AC=2,ZBAC=120,点D、E都在边BC上,ZDAE=60.若BD=2CE,则DE的长为.解：将ABD绕点A逆时针旋转120得到ACF,取CF的中点G,连接EF、EG,如图所示.AB=AC=2；3,ZBAC=120,ZACB=ZB=ZACF=30,ZECG=60.CF=BD=2CE,CG=

14、CE,CEG为等边三角形，EG=CG=FG,ZEFG=ZFEG=2ZCGE=30,.CEF为直角三角形.ZBAC=120,ZDAE=60,.ZBAD+ZCAE=60,.ZFAE=ZFAC+ZCAE=ZBAD+ZCAE=60.fAD=AF在厶ADE和厶AFE中，1ZDAE=ZFAE=60,、AE=AE.ADEAAFE(SAS),.DE=FE.设EC=x，则BD=CD=2x,DE=FE=63x,在RtACEF中，ZCEF=90,CF=2x,EC=x,EF=.;，CF2-EC2=,3x,63x=3x,x=3；3,.DE=：3x=3p33.例2.如图，在直角梯形ABCD中，ADBC,ZABC=90,A

15、B=BC,E为AB边上一点，ZBCE=15，且AE=AD.连接DE交对角线AC于H,连接BH.下列结论：ACDAACE；ACDAACE；厶CDE为等边三角形；EH=2EB；SAEHSCEH=EHCD-其中正确的结论是解：VZABC=90,AB=BC,.*.ZBAC=ZACB=45,又VZBAD=90,.ZBAC=ZDAC,在厶ACD和厶ACE中，AD=AECH,CD=CE,CDCH,VZBAC=45,AH=EH,.AEHAHEH7sceh=ch=Ch,SAEHEH故错误故错误scehcd,答案为：.同类题型2.1如图所示，已知：点A(0,0),B苛,0),C(0,1)在厶ABC内依次作等边三角

16、形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个厶AAiBi,第2个厶B1A2B2,第3个厶3个厶B2A3B3，,则第n个等边三角形的边长等于解:TOBh?,OC=1,.BC=2,ZOBC=30,ZOCB=60.而AAiBi为等边三角形,ZAABi=60,ZCOAi=30,则ZCA1O=90.同理得：在RtCAAi中,AA=2同理得：在RtCAAi中,AA=2B1A2=2A1B1=22依此类推，第n个等边三角形的边长等于2n同类题型2.2如图，点P在等边ABC的内部，且PC=6,PA=8,PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60得到PC，连接AP，贝ysinZPAP的值

17、为.解：连接PP,如图,线段PC绕点C顺时针旋转60得到PC,.CP=CPz=6，ZPCPz=60，CPP，为等边三角形，.PP=PC=6,ABC为等边三角形，.*.CB=CA,ZACB=60,ZPCB=ZPzCA,在厶PCB和AP，CA中PC=PZCZPCB=ZPzCA,、CB=CA.PCBAPCA,.PB=PA=10,22262+82=102,PPZ2+AP2=PzA2,.APPZ为直角三角形，ZAPP，=90,sinZPAP，乱令半-同类题型2.4例3.如图，在ABC中，ZABC和ZACB的平分线相交于点0,过点0作EFBC交AB于E,交AC于F,过点0作0D丄AC于D.下列四个结论：Z

18、B0C=90+JZA；以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；已卩是厶ABC的中位线；设0D=m,AE+AF=n,贝ySAEF=Jmn.其中正确的结论是（）A.B.C.D.A.B.C.D.ADB解：在厶ABC中，ZABC和ZACB的平分线相交于点0,.ZOBC=2ZABC,Z0CB=1ZACB,ZA+ZABC+ZACB=180,.ZOBC+ZOCB=90-2za,.ZB0C=180(ZOBC+ZOCB)=9O+2ZA；故正确；过点0作0M丄AB于M,作ON丄BC于N,连接OA,在ABC中，ZABC和ZACB的平分线相交于点0,.*.0N=0D=0M=m,-SAEF=SA0E

19、+SA0F=2AE-0M+2aF.0D=20D.(AE+AF)=2mn；故正确；在ABC中，ZABC和ZACB的平分线相交于点0,.zEB0=z0BC,zFC0=z0CB,EFBC,.ZE0B=Z0BC,ZF0C=Z0CB,.ZEB0=ZE0B,ZF0C=ZFC0,.EB=E0,F0=FC,.EF=E0F0=BECF,.以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，故正确，根据已知不能推出E、F分别是AB、AC的中点，故正确，其中正确的结论是选D.同类题型3.1如图所示，四边形ABCD中，DCAB,BC=1,AB=AC=AD=2.则BD的长为()A.问B.V15C.3电D.2爲解

20、：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交0A于F,连接DF.DCAB,DF=BC,.DF=CB=1,BF=2+2=4,FB是0A的直径，.ZFDB=90,.BD=bNDF2.,：亦.选B同类题型3.2如图，在RtAABC中，BC=2,ZBAC=30,斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：_若C、O两点关于AB对称，则OA=2価；C、O两点距离的最大值为4；若AB平分CO,则AB丄CO；n斜边AB的中点D运动路径的长为；其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）.解：在RtAABC中，.BC=2,ZBAC=30,.AB=4,AC=；4222=2、/3,若C、O两点

21、关于AB对称,如图1,则0A=AC=2；3；所以正确；如图1,取AB的中点为E,连接OE、CE,VZA0B=ZACB=90,.0E=CE=1AB=2,当0C经过点E时，0C最大，则c、0两点距离的最大值为4；所以正确；如图2,当ZABO=30。时，Z0BC=ZA0B=ZACB=90,四边形A0BC是矩形，.AB与0C互相平分，但AB与0C的夹角为60、120，不垂直，所以不正确；如图3,斜边AB的中点D运动路径是：以0为圆心，以2为半径的圆周的1,3333则：=n90nX2则：=n180所以不正确；综上所述，本题正确的有：.同类题型3.3如图，直角ABC中，ZB=30。，点0是4ABC的重心，

22、连接CO并延长交AB于点E,过点E作EF丄AB交BC于点F,连接AF交CE于点M,则器的值为（）A解：点O是AABC的重心，2OC=3CE，/ABC是直角三角形，.CE=BE=AE,VZB=30，.ZFAE=ZB=30，ZBAC=60，,ZFAE=ZCAF=30，ACE是等边三角形,CM=2CE，2111.OM=CECE=CE，即OM=;AE，3266BE=AE，EF=EF=AE，/EF丄AB,ZAFE=60,ZFEM=30,.MF=2ef,V3.MF=AE,6例4.如图，在ABC中，4AB=5AC,ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF丄AD于点F,点AGG在AF上,FG=FD,连接E

23、G交AC于点H.若点H是AC的中点，贝的值为.解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h.G3CDKLnG3CDKLnBDSABD2Ab，hAB5斎.BD=-CD.4.BD=-CD.4如右图，延长AC,在AC的延长线上截取AM=AB,则有AC=4CM.连接DM.在厶ABD与厶AMD中，AB=AMABC的中线,.B01OiEiiAF平分ZCAE,DE/AF平分ZCAE,DE/BF,ZHAF=ZAFC=ZCAF,.AC=CF=2,AM=3AF,O1E1/AC,.*.ZOiEiO2=ZCAC2,ZE0i02=ZACC2,.Ei0i02sAACC2,.E1C1E1C21ao2=2-C

24、2E2/AC,.E1C2C2E2i帀=蓝=3，.02E2=3AC.同理：OnEn=n+iAC.AC2016E2016=6+i=2017同类题型4.2如图，过锐角厶ABC的顶点A作DEBC,AB恰好平分ZDAC,AF平分ZEAC交BC的延长线于点F.在AF上取点M,使得AM=1AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若AC=2,AMH的面积是右，则ta廿的值是解：过点H作HG丄AC于点G,.AM_1;,MF=2，DECF,AMAHMF_Cf，.AH_1,设AAHM中，AH边上的高为m,FCM中CF边上的高为n,mAM1*n_MF_2，AMHAMH的面积为:丄12，11*12_2m_6n_3设AAH

25、C的面积为S,Sm+n3SAHMmJ.S_3SAHM_-hg_!，由勾股定理可知：ag-hg_!，由勾股定理可知：ag_yi54.CG_ACAG_2“J1541tanZACHCGHG_8_V15.例5.如图，ABC的面积为S.点P,P2,P3,，Pn1是边BC的n等分点（n3，且n为整数）,点M,N分别在边AB,AC上，且AB_AN_*，连接MP1,MP2,MP3，MPn1,连接NB,NP,NP?，NPn1，线段MP1与NB相交于点D1，线段MP?与NP1相交于点D?，线段MP3与NP?相交于点D3，,线段MPn1与NPn2相交于点Dn1，贝则NDPNDqPqND3P3，NDnPn1的面积和是

26、.（用含有S与n的式子表示）解：连接MN,解：连接MN,设BN交MP于Oi,MP2交NPi于02,MP3交NP2于03.AM_AN_1VAB=AC=n，.MNBC,MNAM1BC_AB_n，点Pi，卩2，卩3，Pn1是边BC的n等分点,.MN_BP1_P1P2_P2P3，四边形MNPiB,四边形MNP2P1，四边形MNP3P2都是平行四边形,易知SABN_n-S,Sbcn_-S,SMNBy-S,n2n1SaBPi0i_Sapip202_SaP3p203_2-S,2n2泊阴二SNBC（n1）s泊阴二SNBC（n1）sBP101sNPn1C_n1nS（n1）n12n22。n1（n1）22S_n2n

27、2解：设AM=x,连接BM,MB,在RtAABM中，AB2+AM2=BM2,在RtMDB，中，BM2=MD2+DB2,VMB=MBZ,.AB2+AM2=BM2=BM2=MD2+DB2,2222即92+x2=(9x)2+(93)2,解得x=2,即AM=2,故选B.TOC o 1-5 h z同类题型5.2如图，ABC中，ZBAC=90,AB=3,AC=4,点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得到AED,连CE，则线段CE的长等于（）557A.2B.C.fD.-435解：如图连接BE交AD于0,作AH丄BC于H.CDUB在RtABC中，.AC=4,AB=3,BC=：32+42=5,.CD=DB,55：ad=dc