贝叶斯公式和全概率课件

1、贝叶斯公式和全概率贝叶斯公式和全概率1.5.1 全概率公式 引例：设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取2球，求从乙盒取出2个红球的概率 影响从乙盒中取2个红球概率的关键因素是什么？ 解 设A1从甲盒取出个红球; A2 从甲盒取出个白球; A3从甲盒取出1个白球1个红球 ；B=从乙盒取出个红球;则 A1, A2, A3 两两互斥，且A1A2A3 , 所以 B=B(A1A2A3)B A1B A2BA3B, P(B)=P(A1BA2BA3B)=P(A1B)P(A2B)P(A3B) = P(A1 )P(B| A1)P(A2)P(B| A2)P(A

2、3)P(B|A3)思考：这种解法是否可一般化？1.5.1 全概率公式 引例：设甲盒有3个白球，2个红 定义1 设事件1，2，n为样本空间的一组事件。 如果(1) Ai Aj= （ij）;则称1，2，n为样本空间的一个划分。 1. 完备事件组（样本空间的一个划分）(2)A1A2A3An 例如上例中的 1从甲盒取出个白球， 2从甲盒取出个红球， 3从甲盒取出1个白球1个红球，就构成了一个完备事件组。 1.5.1 全概率公式 定义1 设事件1，2，n为样本空间的一 2. 全概率公式 定理 设试验的样本空间为，设事件A1，A2，An为样本空间的一个划分，且P(i)0 (i =1,2, ,n) 则对任意

3、事件B，有A1A2A3AnB 证明 因为Ai Aj = （ij）按概率的可加性及乘法公式有 2. 全概率公式 定理 设试验的样本空间为 例 设袋中有12个乒乓球，9个新球，3个旧球第一次比赛取3球，比赛后放回，第二次比赛再任取3球，求第二次比赛取得3个新球的概率 3. 全概率公式的应用 如果试验E有两个相关的试验E1，E2复合而成，E1有若干种可能的结果，E2在E1的基础上也有若干种可能的结果，如果求和E2的结果有关事件的概率，可以用全概率公式试验E的几种可能的结果就构成了完备事件组 解 Ai=第一次比赛恰取出i个新球（i=0, 1, 2, 3 )； B=求第二次比赛取得3个新球显然A0, A

4、1, A2, A3构成一个完备事件组，由全概率公式得： 例 设袋中有12个乒乓球，9个新球，3个旧球第一 例1 播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子, 1%的四等种子, 用一等、二等、三等、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1、0.05,求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。 解 设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子的事件分别为B1,B2,B3,B4，则它们构成样本空间的一个划分， 用A表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒的事件，则由全概率公式 例1 播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，

5、1 练习1 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0；求他迟到的概率 解 设A1他乘火车来，A2他乘船来，A3他乘汽车来， A4他乘飞机来，B他迟到。易见：A1, A2, A3, A4构成一个完备事件组，由全概率公式得=0.30.25 0.0.3 0.0.1 0.40=0.145。 练习1 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率 练习2 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，问是合格品的概

6、率为多少？ 解 令B=取到的零件为合格品，Ai=零件为第i台机床的产品, i=1, 2. 此时, 全部的零件构成样本空间，A1, A2构成的一个划分。由全概率公式得: 练习2 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为01.5.2 贝叶斯公式 1. 引例 设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求 (1)从乙盒取出2个红球的概率; (2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率。 解 (1)设A1=从甲盒取出2个红球，A2=从甲盒取出2个白球； A3从甲盒取出1个白球1个红球 ；B=从乙盒取出2个红球；则A1, A2, A3 两

7、两互斥，且A1+A2+A3=, 所以 P(B)= P(A1)P(B|A1 )+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)(2) P(A1|B)1.5.2 贝叶斯公式 1. 引例 设甲盒有3个白球 2. 贝叶斯公式 定理 设A1，A2，An为样本空间的一个划分，且P(Ai)0（i=1,2,n），则对于任何一事件B ( P(B)0), 有于是 （j=1，2，n）。事实上，由条件概率的定义及全概率公式 2. 贝叶斯公式 定理 设A1，A2，A3. 贝叶斯公式的应用 (1) 如果试验E有两个相关的试验E1，E2复合而成，E1有若干种可能的结果，E2在E1的基础上也有若干种可能的结果，如果已知和

8、E2的结果有关某事件发生了，求和试验E1的结果有关事件的概率，可以用贝叶斯公式试验E1的几种可能的结果就构成了完备事件组。 (2) 如果把样本空间的一个划分A1, A2, , An看作是导致事件B发生的各种原因，如果B发生了，求P(Aj|B)可以用贝叶斯公式。 3. 贝叶斯公式的应用 (1) 如果试验E有两个相 例2 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为p/2若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率 于是，由全概率公式得 由贝叶斯公式得 解 记Ai=该学生第i次考试及格，i=1,2显然 为样本空间的

9、一个划分，且已知 例2 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格 例3 某医院对某种疾病有一种看起来很有效的检验方法，97%的患者检验结果为阳性，95%的未患病者检验结果为阴性，设该病的发病率为0.4%现有某人的检验结果为阳性，问他确实患病的概率是多少？ 得到由贝叶斯公式得 解 记B为检验结果是阳性，则 为检验结果是阴性，A表示患有该病，则 为未患该病由题意 例3 某医院对某种疾病有一种看起来很有效的检验方法 例4 对以往数据分析的结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%，试求某日早上第一件产品是合格时，机器调整得良好的概率。 解 设A1=机器调整良好, A2=机器调整不好, B=产品合格，已知P(A1)