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文档简介
1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知定义在上的函数,则,的大小关系为( )ABCD2盒中有6个小球,其中4个白球,2个黑球,从中任取个球,在取出的球中,黑球放回,白球则涂黑后放回,此时盒中黑球的个数,则( )A,B
2、,C,D,3集合,则集合的真子集的个数是A1个B3个C4个D7个4复数在复平面内对应的点为则( )ABCD5函数的部分图像大致为( )ABCD6已知符号函数sgnxf(x)是定义在R上的减函数,g(x)f(x)f(ax)(a1),则( )Asgng(x)sgn xBsgng(x)sgnxCsgng(x)sgnf(x)Dsgng(x)sgnf(x)7已知函数是上的偶函数,且当时,函数是单调递减函数,则,的大小关系是( )ABCD8双曲线x2a2Ay=2xBy=3x9已知复数满足,则( )AB2C4D310在正方体中,球同时与以为公共顶点的三个面相切,球同时与以为公共顶点的三个面相切,且两球相切于
3、点.若以为焦点,为准线的抛物线经过,设球的半径分别为,则( )ABCD11设集合,集合 ,则 =( )ABCDR12如图是国家统计局公布的年入境游客(单位:万人次)的变化情况,则下列结论错误的是( ) A2014年我国入境游客万人次最少B后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13在平面直角坐标系xOy中,A,B为x轴正半轴上的两个动点,P(异于原点O)为y轴上的一个定点若以AB为直径的圆与圆x2(y2)21相外切,且AP
4、B的大小恒为定值,则线段OP的长为_14点在双曲线的右支上,其左、右焦点分别为、,直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点,线段的垂直平分线恰好过点,则该双曲线的渐近线的斜率为_15曲线在点处的切线方程为_.16已知多项式满足,则_,_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知椭圆的左,右焦点分别为,直线与椭圆相交于两点;当直线经过椭圆的下顶点和右焦点时,的周长为,且与椭圆的另一个交点的横坐标为(1)求椭圆的方程;(2)点为内一点,为坐标原点,满足,若点恰好在圆上,求实数的取值范围.18(12分)2019年春节期间,某超市准备举办一次有奖促销活动,若顾客
5、一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动,超市设计了两种抽奖方案.方案一:一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球,其中10个红球,20个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球则顾客获得60元的返金券,若抽到白球则获得20元的返金券,且顾客有放回地抽取3次.方案二:一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球,其中10个红球,20个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球则顾客获得80元的返金券,若抽到白球则未中奖,且顾客有放回地抽取3次.(1)现有两位顾客均获得抽奖机会,且都按方案一抽奖,试求这两位顾客均获得180元返金券的概率;(2)若某顾客获
6、得抽奖机会.试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望;为了吸引顾客消费,让顾客获得更多金额的返金券,该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动?19(12分)已知函数(1)求f(x)的单调递增区间;(2)ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若且A为锐角,a=3,sinC=2sinB,求ABC的面积.20(12分)某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展,灯光展涉及到10000盏灯,每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为,并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长(单位:),得到下面的频数表:亮灯时长/频数1020402010以样本中100盏灯的平均亮灯时
7、长作为一盏灯的亮灯时长.(1)试估计的值;(2)设表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目.求的数学期望和方差;若随机变量满足,则认为.假设当时,灯光展处于最佳灯光亮度.试由此估计,在一场灯光展中,处于最佳灯光亮度的时长(结果保留为整数).附:某盏灯在某一时刻亮灯的概率等于亮灯时长与灯光展总时长的商;若,则,.21(12分)已知,动点满足直线与直线的斜率之积为,设点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)若过点的直线与曲线交于,两点,过点且与直线垂直的直线与相交于点,求的最小值及此时直线的方程.22(10分)已知椭圆的焦点为,离心率为,点P为椭圆C上一动点,且的面积最大值为,O为坐标原点.(1
8、)求椭圆C的方程;(2)设点,为椭圆C上的两个动点,当为多少时,点O到直线MN的距离为定值.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1D【解析】先判断函数在时的单调性,可以判断出函数是奇函数,利用奇函数的性质可以得到,比较三个数的大小,然后根据函数在时的单调性,比较出三个数的大小.【详解】当时,函数在时,是增函数.因为,所以函数是奇函数,所以有,因为,函数在时,是增函数,所以,故本题选D.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题,判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.2C【解析】根据古典概型概率计算公式,计算出
9、概率并求得数学期望,由此判断出正确选项.【详解】表示取出的为一个白球,所以.表示取出一个黑球,所以.表示取出两个球,其中一黑一白,表示取出两个球为黑球,表示取出两个球为白球,所以.所以,.故选:C【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算,属于中档题.3B【解析】由题意,结合集合,求得集合,得到集合中元素的个数,即可求解,得到答案【详解】由题意,集合, 则,所以集合的真子集的个数为个,故选B【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解,其中作出集合的运算,得到集合,再由真子集个数的公式作出计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力4B【解析】求得复数,结合复数
10、除法运算,求得的值.【详解】易知,则.故选:B【点睛】本小题主要考查复数及其坐标的对应,考查复数的除法运算,属于基础题.5A【解析】根据函数解析式,可知的定义域为,通过定义法判断函数的奇偶性,得出,则为偶函数,可排除选项,观察选项的图象,可知代入,解得,排除选项,即可得出答案.【详解】解:因为,所以的定义域为,则,为偶函数,图象关于轴对称,排除选项,且当时,排除选项,所以正确.故选:A.【点睛】本题考查由函数解析式识别函数图象,利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除.6A【解析】根据符号函数的解析式,结合f(x)的单调性分析即可得解.【详解】根据题意,g(x)f(x)f(ax),而f(x)是R上的
11、减函数,当x0时,xax,则有f(x)f(ax),则g(x)f(x)f(ax)0,此时sgng ( x)1,当x0时,xax,则有f(x)f(ax),则g(x)f(x)f(ax)0,此时sgng ( x)0,当x0时,xax,则有f(x)f(ax),则g(x)f(x)f(ax)0,此时sgng ( x)1,综合有:sgng ( x)sgn(x);故选:A【点睛】此题考查函数新定义问题,涉及函数单调性辨析,关键在于读懂定义,根据自变量的取值范围分类讨论.7D【解析】利用对数函数的单调性可得,再根据的单调性和奇偶性可得正确的选项.【详解】因为,故.又,故.因为当时,函数是单调递减函数,所以.因为为
12、偶函数,故,所以.故选:D.【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用,比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系,本题属于中档题.8A【解析】分析:根据离心率得a,c关系,进而得a,b关系,再根据双曲线方程求渐近线方程,得结果.详解:e=因为渐近线方程为y=bax点睛:已知双曲线方程x2a29A【解析】由复数除法求出,再由模的定义计算出模【详解】故选:A【点睛】本题考查复数的除法法则,考查复数模的运算,属于基础题10D【解析】由题先画出立体图,再画出平面处的截面图,由抛物线第一定义可知,点到点的距离即半径,也即点到面的距离,点到直线的距离即点到面的距离因
13、此球内切于正方体,设,两球球心和公切点都在体对角线上,通过几何关系可转化出,进而求解【详解】根据抛物线的定义,点到点的距离与到直线的距离相等,其中点到点的距离即半径,也即点到面的距离,点到直线的距离即点到面的距离,因此球内切于正方体,不妨设,两个球心和两球的切点均在体对角线上,两个球在平面处的截面如图所示,则,所以.又因为,因此,得,所以. 故选:D【点睛】本题考查立体图与平面图的转化,抛物线几何性质的使用,内切球的性质,数形结合思想,转化思想,直观想象与数学运算的核心素养11D【解析】试题分析:由题,选D考点:集合的运算12D【解析】ABD可通过统计图直接分析得出结论,C可通过计算中位数判断
14、选项是否正确.【详解】A由统计图可知:2014年入境游客万人次最少,故正确;B由统计图可知:后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势,故正确;C入境游客万人次的中位数应为与的平均数,大于万次,故正确;D由统计图可知:前年的入境游客万人次相比于后年的波动更大,所以对应的方差更大,故错误.故选:D.【点睛】本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解,难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图,分析出对应的信息,对学生分析问题的能力有一定要求.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13【解析】分析:设O2(a,0),圆O2的半径为r(变量),OP=t(常数),利用差角的正切公式,结合
15、以AB为直径的圆与圆x2+(y-2)2=1相外切且APB的大小恒为定值,即可求出线段OP的长详解:设O2(a,0),圆O2的半径为r(变量),OP=t(常数),则APB的大小恒为定值,t,|OP|=故答案为点睛:本题考查圆与圆的位置关系,考查差角的正切公式,考查学生的计算能力,属于中档题14【解析】如图,是切点,是的中点,因为,所以,又,所以,又,根据双曲线的定义,有,即,两边平方并化简得,所以,因此.15【解析】求导,得到和,利用点斜式即可求得结果.【详解】由于,所以,由点斜式可得切线方程为.故答案为:.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程,属基础题.16 【解析】多项式 满足令,得
16、,则该多项式的一次项系数为令,得故答案为5,72三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(1);(2)或【解析】(1)由椭圆的定义可知,焦点三角形的周长为,从而求出.写出直线的方程,与椭圆方程联立,根据交点横坐标为,求出和,从而写出椭圆的方程;(2)设出P、Q两点坐标,由可知点为的重心,根据重心坐标公式可将点用P、Q两点坐标来表示.由点在圆O上,知点M的坐标满足圆O的方程,得式.为直线l与椭圆的两个交点,用韦达定理表示,将其代入方程,再利用求得的范围,最终求出实数的取值范围.【详解】解:(1)由题意知.,直线的方程为直线与椭圆的另一个交点的横坐标为解得或(舍去),椭圆
17、的方程为(2)设.点为的重心,点在圆上,由得 ,代入方程,得,即由得解得.或【点睛】本题考查了椭圆的焦点三角形的周长,标准方程的求解,直线与椭圆的位置关系,其中重心坐标公式、韦达定理的应用是关键.考查了学生的运算能力,属于较难的题.18 (1) (2)第一种抽奖方案.【解析】(1)方案一中每一次摸到红球的概率为,每名顾客有放回的抽3次获180元返金劵的概率为,根据相互独立事件的概率可知两顾客都获得180元返金劵的概率 (2)分别计算方案一,方案二顾客获返金卷的期望,方案一列出分布列计算即可,方案二根据二项分布计算期望即可 根据得出结论.【详解】(1)选择方案一,则每一次摸到红球的概率为设“每位
18、顾客获得180元返金劵”为事件A,则所以两位顾客均获得180元返金劵的概率(2)若选择抽奖方案一,则每一次摸到红球的概率为,每一次摸到白球的概率为.设获得返金劵金额为元,则可能的取值为60,100,140,180.则;.所以选择抽奖方案一,该顾客获得返金劵金额的数学期望为(元)若选择抽奖方案二,设三次摸球的过程中,摸到红球的次数为,最终获得返金劵的金额为元,则,故所以选择抽奖方案二,该顾客获得返金劵金额的数学期望为(元).即,所以该超市应选择第一种抽奖方案【点睛】本题主要考查了古典概型,相互独立事件的概率,二项分布,期望,及概率知识在实际问题中的应用,属于中档题.19(1)(2)【解析】(1)
19、利用降次公式、辅助角公式化简解析式,根据三角函数单调区间的求法,求得的单调递增区间.(2)先由求得,利用正弦定理得到,结合余弦定理列方程,求得,由此求得三角形的面积.【详解】(1)函数,由,得.所以的单调递增区间为 .(2)因为且为锐角,所以.由及正弦定理可得,又,由余弦定理可得,解得, .【点睛】本小题主要考查三角恒等变换,考查三角函数单调区间的求法,考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形的面积公式,属于中档题.20(1)(2),,72【解析】(1)将每组数据的组中值乘以对应的频率,然后再将结果相加即可得到亮灯时长的平均数,将此平均数除以(个小时),即可得到的估计值;(2)利用二项分布的
20、均值与方差的计算公式进行求解;先根据条件计算出的取值范围,然后根据并结合正态分布概率的对称性,求解出在满足取值范围下对应的概率.【详解】(1)平均时间为(分钟)(2),即最佳时间长度为72分钟.【点睛】本题考查根据频数分布表求解平均数、几何概型(长度模型)、二项分布的均值与方差、正态分布的概率计算,属于综合性问题,难度一般.(1)如果,则;(2)计算正态分布中的概率,一定要活用正态分布图象的对称性对应概率的对称性.21(1)(2)的最小值为1,此时直线:【解析】(1)用直接法求轨迹方程,即设动点为,把已知用坐标表示并整理即得注意取值范围;(2)设:,将其与曲线的方程联立,消元并整理得,设,则可得,由求出,将直线方程与联
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