2022届吉林省长春高三第四次模拟考试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

2、要求的。1执行如图所示的程序框图，若输出的，则处应填写（ ）ABCD2己知抛物线的焦点为，准线为，点分别在抛物线上，且，直线交于点，垂足为，若的面积为，则到的距离为（ ）ABC8D63已知整数满足，记点的坐标为，则点满足的概率为（ ）ABCD4如图所示的程序框图输出的是126，则应为（ ）ABCD5设，均为非零的平面向量，则“存在负数，使得”是“”的A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件6三棱锥中，侧棱底面，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD7在直角中，若，则（ ）ABCD8设，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条

3、件9若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD10关于函数，有下列三个结论:是的一个周期；在上单调递增；的值域为.则上述结论中，正确的个数为（）ABCD11设曲线在点处的切线方程为，则（ ）A1B2C3D412已知满足，则的取值范围为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知双曲线的一条渐近线为，且经过抛物线的焦点，则双曲线的标准方程为_.14已知椭圆：，F1、F2是椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，延长AF2交椭圆于点B，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为_.15已知数列的前项和为且满足，则数列的通项_16如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几

4、何体的三视图，则该几何体的体积为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）的内角所对的边分别是，且，.（1）求；（2）若边上的中线，求的面积.18（12分）某工厂，两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和.（1）从，生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于，求的最小值.（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的作为的值.已知，生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失元和元若从两条生产线上各随机抽检件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产

5、线挽回的损失较多？若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件分别获利元、元、元，现从，生产线的最终合格品中各随机抽取件进行检测，结果统计如下图；用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估算该厂产量件时利润的期望值.19（12分）已知函数（1）时，求不等式解集；（2）若的解集包含于，求a的取值范围20（12分）已知函数和的图象关于原点对称，且（1）解关于的不等式；（2）如果对，不等式恒成立，求实数的取值范围21（12分）已知点P在抛物线上，且点P的横坐标为2，以P为圆心，为半径的圆（O为原点），与抛物线C的准线交于M，N两点，且（1）求

6、抛物线C的方程；（2）若抛物线的准线与y轴的交点为H过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B，且，求的值22（10分）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为（，为常数），离心率等于0.8，过焦点、倾斜角为的直线交椭圆于、两点求椭圆的标准方程；若时，求实数；试问的值是否与的大小无关，并证明你的结论参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】模拟程序框图运行分析即得解.【详解】；.所以处应填写“”故选：B【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2D【解析】作，垂足为，过点N作，垂足为G，设，则

7、，结合图形可得，从而可求出，进而可求得，由的面积即可求出，再结合为线段的中点，即可求出到的距离【详解】如图所示，作，垂足为，设，由，得，则，.过点N作，垂足为G，则，所以在中，所以，所以，在中，所以，所以，所以 解得，因为，所以为线段的中点，所以F到l的距离为故选：D【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识，属于中档题3D【解析】列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率.【详解】因为是整数，所以所有满足条件的点是位于圆（含边界）内的整数点，满足条件的整数点有共37个，满足的整数点有7个，则所求概率为.故选：.【点睛】本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的

8、应用能力.4B【解析】试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+2n的值，并输出满足循环的条件解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+2n的值，并输出满足循环的条件S=2+22+21=121，故中应填n1故选B点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误5B【解析】根据充分条件、必

9、要条件的定义进行分析、判断后可得结论【详解】因为，均为非零的平面向量，存在负数，使得，所以向量，共线且方向相反，所以，即充分性成立；反之，当向量，的夹角为钝角时，满足，但此时，不共线且反向，所以必要性不成立所以“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件故选B【点睛】判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确6B【解析】由题，侧棱底面，则根据余弦定理可得 ，的外接圆圆心 三棱锥的外接球的球心到面的距离 则外接球的半径 ，则该三棱锥的外接球的表面积为 点睛：本题考

10、查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径 公式是解答的关键7C【解析】在直角三角形ABC中，求得 ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值【详解】在直角中，若，则 故选C.【点睛】本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题8B【解析】先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可【详解】解不等式可得，解绝对值不等式可得，由于为的子集，据此可知“”是“”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于

11、基础题.9B【解析】转化为，构造函数，利用导数研究单调性，求函数最值，即得解.【详解】由，可知设，则，所以函数在上单调递增，所以所以故的取值范围是故选：B【点睛】本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.10B【解析】利用三角函数的性质，逐个判断即可求出【详解】因为，所以是的一个周期，正确；因为，所以在上不单调递增，错误；因为，所以是偶函数，又是的一个周期，所以可以只考虑时，的值域当时，在上单调递增，所以，的值域为，错误；综上，正确的个数只有一个，故选B【点睛】本题主要考查三角函数的性质应用11D【解析】利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a

12、的方程即可求解【详解】因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即.故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题12C【解析】设，则的几何意义为点到点的斜率，利用数形结合即可得到结论.【详解】解：设，则的几何意义为点到点的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图可知当过点的直线平行于轴时，此时成立；取所有负值都成立；当过点时，取正值中的最小值，此时；故的取值范围为；故选：C.【点睛】本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13

13、【解析】设以直线为渐近线的双曲线的方程为，再由双曲线经过抛物线焦点，能求出双曲线方程【详解】解：设以直线为渐近线的双曲线的方程为，双曲线经过抛物线焦点，双曲线方程为，故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线方程的求法，考查抛物线、双曲线简单性质的合理运用，属于中档题14【解析】由题意可得等腰三角形的两条相等的边，设，由题可得的长，在三角形中，三角形中由余弦定理可得的值相等，可得的关系，从而求出椭圆的离心率【详解】如图，若为等腰三角形，则|BF1|=|AB|.设|BF2|=t，则|BF1|=2at，所以|AB|=a+t=|BF1|=2at，解得a=2t，即|AB|=|BF1|=3t，|AF1|=2t

14、，设BAO=，则BAF1=2，所以的离心率e=，结合余弦定理，易得在中，所以，即e= =，故答案为：.【点睛】此题考查椭圆的定义及余弦定理的简单应用，属于中档题.15【解析】先求得时；再由可得时,两式作差可得,进而求解.【详解】当时,解得；由,可知当时,两式相减,得,即,所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以,故答案为:【点睛】本题考查由与的关系求通项公式,考查等比数列的通项公式的应用.16【解析】根据三视图知该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积【详解】根据三视图知，该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，如图所示：结合图中数据，计算它的体积为.故答案为：.【点睛】本题考查了

15、根据三视图求简单组合体的体积应用问题，是基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1），（2）【解析】（1）先由正弦定理，得到，进而可得，再由，即可得出结果；（2）先由余弦定理得，再根据题中数据，可得，从而可求出，得到，进而可求出结果.【详解】（1）由正弦定理得，所以，因为，所以，即，所以，又因为，所以，.（2）在和中，由余弦定理得，.因为，又因为，即，所以，所以，又因为，所以.所以的面积.【点睛】本题主要考查解三角形，灵活运用正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.18 (1) (2) 生产线上挽回的损失较多. 见解析【解析】(1)由题意得到关于的不等式，求解不

16、等式得到的取值范围即可确定其最小值；(2).由题意利用二项分布的期望公式和数学期望的性质给出结论即可；.由题意首先确定X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后由分布列可得利润的期望值.【详解】（1）设从，生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件，设从，生产线上抽到合格品分别为事件，则，互为独立事件由已知有，则解得，则的最小值（2）由（1）知，生产线的合格率分别为和，即不合格率分别为和.设从，生产线上各抽检件产品，抽到不合格产品件数分别为，则有，所以，生产线上挽回损失的平均数分别为：，所以生产线上挽回的损失较多.由已知得的可能取值为，用样本估计总体，则有，所以的分布列为所以（元）故

17、估算估算该厂产量件时利润的期望值为（元）【点睛】本题主要考查概率公式的应用，二项分布的性质与方差的求解，离散型随机变量及其分布列的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19（1）（2）【解析】(1) 代入可得对分类讨论即可得不等式的解集; (2)根据不等式在上恒成立去绝对值化简可得再去绝对值即可得关于 的不等式组解不等式组即可求得的取值范围【详解】（1）当时，不等式可化为，当时，不等式为，解得；当时，不等式为，无解；当时，不等式为，解得，综上，原不等式的解集为（2）因为的解集包含于，则不等式可化为，即解得，由题意知，解得，所以实数a的取值范围是【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法分

18、类讨论解绝对值不等式的应用,含参数不等式的解法.难度一般.20（1）（2）【解析】试题分析：（1）由函数和的图象关于原点对称可得的表达式，再去掉绝对值即可解不等式；（2）对，不等式成立等价于，去绝对值得不等式组，即可求得实数的取值范围.试题解析：（1）函数和的图象关于原点对称， 原不等式可化为，即或，解得不等式的解集为；（2）不等式可化为：，即，即，则只需， 解得，的取值范围是.21 (1) (2)4【解析】（1）将点P横坐标代入抛物线中求得点P的坐标，利用点P到准线的距离d和勾股定理列方程求出p的值即可；（2）设A、B点坐标以及直线AB的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，以及垂直关系，得出关系式，计算的值即可【详解】（1）将点P横坐标代入中，求得，P（2，），点P到准线的距离为，解得，抛物线C的方程为：；（2）抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为，；设，直线AB的方程为，代入抛物线方程可得，由，可得，又，即，把代入得，则【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线与圆的方程应用问题，考查转化思想以及计算能力，是中档题22（1）（2）（3）为定值【解析】试题分析：（1）利用待定系数法可得，椭圆方程为；