振动理论第二章习题解答

1、第二章习题21一重块W100N，支承在平台上，如题2-1图所示。重块下联结两个弹簧，其刚度均为k20N/cm。在图示位置时，每个弹簧已有初压力F10N。设将平台0突然撤去，则重块下落多少距离？题2题21图0.5cm解答：由题可知：弹簧在初始时的形变LF0.5cm0k20设重块将下落hm,贝9：W.h士k(h+L)2，L22于是：h4cm2-3.求题2-3图所示的轴系扭转振动的固有频率。轴的直径为d,剪切弹性摸量为G，两端固定。圆盘的转动惯量为J個定于轴上，至轴两端的距离分别为和2。解：以圆轴的轴线为固定轴，建立系统的振动微分方程惯性力矩：恢复力矩：由动静法得且W2p_LJll12惯性力矩：恢复

2、力矩：由动静法得且W2p_LJll12.兀d4p云r上2兀2-4一均质等直杆AB，重为W,用两相同尺寸的铅垂直线悬挂如题2-4图所示。由以上各式得kd4G(/+/1232Jll12线长为1,两线相距为2a。试推导AB杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出其固有频率。BB惯性力矩J，恢复力矩其中F=Tcos惯性力矩J，恢复力矩其中F=Tcos申=Ta，=Wa，11则即又有:J，+2Fa=01232-5有一简支梁，抗弯刚度EI=2E10Nc,跨度为L=4m，用题图(a),(b)的两种方式在梁跨中连接一螺旋弹簧和重块。弹簧刚度K=5kN/cm,重块质量W=4kN，求两种弹簧的固有频率。(

3、a)(b)解：根据材料力学理论可知简支梁中点的刚度=mg(；)3=(a)(b)解：根据材料力学理论可知简支梁中点的刚度=mg(；)3=mgl3-3EI_48ETmg48EI(a)图可以看作弹簧和杆的并联k=k+k=田+kel113弹簧质量系统的固有频率12,kelm已知EI=2E10NcK=5kN/cm,W=4kNf11.14Hz代入数据得1b)图可以看作弹簧和杆的串联所以12,k*k所以12,1k+kif4.82Hz代入数据得229一有黏性阻尼的单自由度系统，在振动时，它的振幅在5个周期之后减少了50%。试求系统的相对阻尼系数匚。【解】由（2-33）式得A小12e5e5（cT；）A16两端取

4、对数，得In25（CT）10兀112匚In2匚2ln22=贝y：1_匚210,1匚2100,2K0.02212210列出题210图所示系统的振动微分方程，并计算其振动频率。解：系统运动时的受力如上所示由动静法原理可得：工A0nmx-1+c-a-x-a+k-b-x-b=011c-a2.k-b2nm-x+-x+-x012ca2kbca212CeCe2mwW2KenWb-m1振动频率：12ml21振动频率：12ml21c，a2、2wml24kml2b2a4c22211如题21图所示轴承，轴的直径d=2cm,1=40cm剪切弹性模量G=G=8*106N/cm2。圆盘饶对称轴的转动惯量为J=10kNcm

5、s2,并在M=5兀sin2kt(kNcm)的外力偶矩作用下发生扭振，求振幅值。2-11解：惯性力矩J8GI恢复力矩2广GI微分方程J+2-p=5兀sin2ktl5k所以，振幅B=gi2p-J(2k)2已知d=2cm,1=40cm,G=8*106N/cm2,J=10kNcms2,代入数据得B=0.0672rad212已知一弹簧系统，质量块重W=196N，弹簧刚度k=20N/cm，作用在质量块上的力为F=16sin19t，而受阻力为R=256v。F、R的单位均为N，t的单位为s,v的单位为cm/s。求(1)忽略阻力时，质量块的位移和放大因子；(2)考虑阻力时，质量块的位移和放大因子。解：系统运动方

6、程为：mx解：系统运动方程为：mx+cx+kx=Fsint00系统的稳态响应：X2(t)系统的稳态响应：X2(t)=sin(t)0(12)2,(21)219二1.9其中：20其中：20 x102x9.81962m400=arctan(-)12忽略阻力时，即，c=0,则P=放大因子：1(12)2,(21)2=0.383则系统的响应为：X则系统的响应为：X2（t）=F0-Psint=0.306sin19t2）考虑阻力时,则：c=2.56N-s/cm匚=0.64rad-1放大因子：=1(12)2,(2C)2=0.28=0.75F则系统的响应为：黏性阻TOC o 1-5 h zx(t)=0-Psin(

7、t)=0.224sin(19t0.75)2k0则系统的响应为：黏性阻213一有阻尼的弹簧质量系统，其固有频率为2s-1,弹簧刚度为k=30N/cm,尼系数c=N.s/cm。求在外力F=20cos3t（N）作用下的振幅和相位角。解答：由题可知：3cc15*3=0=:C=严=0.522m2k2*30*1.5由于F=20N01=0.342cm,=arctan(M)=129481一九22-14试写出有阻尼的弹簧质量系统在初始条件t=0，x0=x0=0和质量块上受有F=Fsint时的响应。0解：阻尼较小时，即g130设稳态响应x=Bsin(0t,)则,2-17由公式B，me22-17由公式B，me2得，

8、（匚，0）B，0.102cm写出题2-17图所示系统的振动微分方程，并求出稳态振动的解x，asints0题2-17图解：系统运动微分方程为：mxcxkx，kasint0竺，2匚k，从而得竺，2匚k，从而得a(1-2)2+(2)2asin(t一申)0(1-2)2+(2)2相应地求得相位角：(2厘)卑，arctan1-2丿方程的解可表示为：X（t），Xi（t）X2（t）其中X2为方程的特解，亦即稳态振动的解，令其形式为：亠）=BSin（0t7）B，ka将X2（t）及其一阶、二阶导数代入运动微分方程，整理得：伙-加0）2+（Com2o=人/，九,K令0，则kx（t）=2于是得系统的稳态响应为：2-2

9、0试写过如题2-20图所示结构系统的振动微分方程，并求出系统的固有频率，相对阻尼系数和稳态振动的振幅。440mx-cX-k(x-x)解：sxasin(wt)so得mx,cx,kxkasinwto工M0；mlm21；xk；O则方程转化为4mx,cx,kx2kasinwt0k1W,W=Wcmm2cB2B2a(1一九2)2+(2九g)22-21一弹簧质量系统在如题2-21图所示的激振力作用下作强迫振动。试求其稳定振动的响应。ya由图可知，激励的均值弓0a2-21一弹簧质量系统在如题2-21图所示的激振力作用下作强迫振动。试求其稳定振动的响应。ya由图可知，激励的均值弓0a2tf(t)cosjtdtj

10、T2fx23t2”4cosjtdt-4cosjtdt+TcosjtdtmmfJ八t3T400T23XT00TT42(.j.3j兀)j122丿bZTF(t)cosjtdtjT002T./23T4sinjtdt-4T0oTT42Tsinjtdt+Tsinjtdt0T3Tj02(j3j)-Icos-cosjI22丿00F(t)送acosj,tj0j=i444一cos,t-cos3,t+cos5,t+兀0兀0兀01.27cos,t-1.27cos3,t+1.27cos5,t+00000.系统的响应为Eacosj,tTOC o 1-5 h zj0.kH九2丿j=1j1.27cos,t1.27cos3,t

11、1.27cos5,tlim-+X1k1-九2k1-32k1-520.16c0.05-=-+cos3,t-cos5,t+ HYPERLINK l bookmark24k0k000222一弹簧质量系统如题222图所示的激振里作用下作强迫振动。试求其稳态振动的响应。2兀2兀解：周期T=,0000t兀0,兀2,000FF(t)=(-1)兀,0-00(t)兀,兀3兀te,“2,2,”003兀2兀te2,，,00由图知：g0aJtF(t)cosjwtdt0jT00bJtf(t)sinjwtdtjT中T0t2w3T4Fotsinjwtdt+J4F00兀0T04j2,4,62w,o(-1)sinjwtdt+,w0TF吆(t-03T0兀42,)sinjwtdt+w000-亞(-旳j2,2j1,3,5因为是无阻尼系统，所以因为是无阻尼系