概率论与数理统计-科学第6章的基本概念教程

1、13. 总体、样本、样本观察值的关理论分 13. 总体、样本、样本观察值的关理论分 统计是从手中已有的资料推断总体的情况总体分布。6样本观察n样n总来自总体X的样本X， ，Xn可记X 或f xFxnF) F(x nf)f (x 52.样简单随机抽样 随机性:每被抽到的机会均独立性:每次抽取后不改变总体的成对总体作次，得到个： 1,的样本简称。同分布性 Xi 与总体X 同分独立性 X1Xn 相互独把（X1,Xn）的观察(x1,xn)为称为样本观察值(或样本值46.2 1.总体：研究对象的全体（如：一批灯泡试验的全部可能的观察通常指研究对象的某项数量指：组成总体的元素（如:某一个灯泡每个可能的观察

2、有限总体 如：无限总体 如：测量一湖泊任一地点的深度总体对应一个r.v. X，笼统称总体X（或Y、Z大写表示从本质上讲，总体就是所研究的3数理统计的基本概 2第6概率论：从已知分布出发，研究r.vX的性质、规数理统计：X的分布不知道或不完全知道，观察它数据），通过分析数据来推断 X 服数理统计 收集、整理数统计推122分布、 t 分布 和 F（一）2分构造：设X1, Xn N22分布、 t 分布 和 F（一）2分构造：设X1, Xn N01，2 X 2 X 2 . X 2 2(n称度为n的2分自,态总体 N(, 2)，2 1 ( Xi ) (n) i例：1）设总体() ，样n 则E(X)； D

3、( X2）设总体 U(1，5)，样10 则 E(X)，D( X)4. 最小顺序统计X(1)=min(X1,X2, 最大顺序统计X(n)=max(X1,X2, 注1：观察值用小写表示,记为 xs2 sa b x (1(n注2：S2 1 2 nX2nni注3：EX EX), DX DXn E(S2 ) D(X几个常用的统计量 样本均值 X 1 反映总体均值E(X)的信E(X) E(Xn样本方差 S2 1 (X X)2 反映总体方差D(X)的信样本标准S 反映总体标准差的信样本k阶(原点) 1 k 反映总体 阶的信n 样本k阶中心 k1 B (X X) PEXE(X)k i反映总体k 阶中心矩E(X

4、-EX)k的信息9E(S2 ) D(X例：是来自总体N(,)的样本，其中 , 为未知参数1 X 是统计n X是统计Xmin 为最小顺序统计Xmax 为最大顺序统计1X) , 不是统计n 86.4 统计量与抽样分定义：设(X1Xn )是来自总体X的样本，称不含未知参数的样本函数g(X1Xn )为总X的一个注:统计量是一个一维随 量，73分布的分位P3分布的分位P2 2(n)2 (20)2 (25)当n45, 有近似公式 2(n) 1(u 2n2 3. 2 分布的数字特E(2)n, D(2)证n ,X1,X2, ,Xn为N(0,1)的样本2E(Xi2)=D(Xi)+E(Xi)2=1,于nE(2)

5、EX2) n 又 D(X2)=E(X4)-E(X2)2, i E(Xi ) dx (x xx 1 (x3e 2 )| 1 (3x2)e 2 dx 03E(X2 ) 3 2 D(Xi2)=2，D(2)nD(X2)i2. 2分布具有可加设2 2n ), 2 2n 且 2 , 2 相互独立2 2 2(n n 推广：若22(n) 且 2 (i12,k相互独立 ,则2 2 22(n n 1. 2分布的密度函数f(y)曲n1 f(y) n/y2 e 2 , y (n/y 4正态总体的抽样分布定理一、二、X X 是来总N2 )的样本4正态总体的抽样分布定理一、二、X X 是来总N2 )的样本X, S2 分别

6、为样本均值和样本方差，X X N( N( / (n1)S (n3 X 与S2相互独4 X t(nS/ 例 设 1,X1 是取自N(0,0.32)的样本,PX2 i例 设15 是来自总体 N (0，1)的一个简单随机样本则 Y 2 ) 服从 分布注： F (n ,n )1 1 F (n ,n 2 证明设 F F(n1,n2则1 F(n n PF F1 (n1,n2)1F (n2,n1)P1 1 得证F 分布的性1) 若 FF(n ,n )，则1 F(n n 1 2 2) 若 Tt(n),则 T2 F 分布的分位PF F (n1,n2 )(0 注(n ,n ) F n n F (n ,n （三）F

7、 分布构造:若 U 2(n ),V 2(n )，且U、V 独立，F /n1 F(n ,n V /1 2称度为（n1,n2）的 F 分布1. 概率密度n n ( )(n /n )y , y p(y) ( )( )(1 y) y 3. t分布的分位PT t(n)(0 注t( t1( 例 t (20) t (20) t0.5(n) 当n45,有近似公式 t (n5例 在总体X N(80,202中抽取容量为100求样本均值与总体均值差的绝对值大于3的概例 已知某种5例 在总体X N(80,202中抽取容量为100求样本均值与总体均值差的绝对值大于3的概例 已知某种蔬菜的单棵重量 X N(,2，其中标准 2g 。今随机抽出 12 棵. 用S2记这 12 棵蔬菜重量的样本方差.求：（1）PS2 2.7578,（2） D(S2 ) .定理四设 X X N( ,2 ) : XS1 YY N( ,2 YS2 且两样本独立，2 S2 S 12 F(n1 1,n2 2 2进一步，假定2 2 2，就X Y (1 2) t(n n 2) Sw n (n 1)S2 (n 1)S其中 Sw 2 称为混合样本方差n1 n2E(S2)wX t(nS/ 证明: X (n1)S N(0, 2(n / 且两者独立, 根据t