统计学原理（第七版）第五章平均指标和变异指标

1、统计学原理（第七版）目录CONTENT010302第一章总论第二章统计设计和统计调查第三章统计整理04第四章总量指标和相对指标050706第五章平均指标和变异指标第六章动态数列第七章统计指数0809第八章抽样调查与推断第九章相关与回归分析1011第十章统计预测第十一章统计综合分析第五章平均指标和变异指标【内容提要】本章包括平均指标和变异指标两部分内容，阐述了平均指标的概念和作用；各种平均数（算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数和中位数）的计算原则、方法与应用条件；变异指标的作用、主要变异指标（全距、平均差、标准差及其系数）的计算方法和运用条件。01 PART ONE第一节平均指标的概念和作

2、用点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本平均指标的概念一在社会经济现象的同质总体中，同一标志在各单位的数量表现不尽相同，标志值大小各异，这就需要利用平均指标来代表总体的一般水平。总体各单位的同质性和某种标志值在各单位的差异性，是计算平均指标的前提条件。平均指标，是将同类社会经济现象总体内各单位某一数量标志值的差异抽象化的代表性水平指标，其数值表现为平均数。平均指标一般是一种具有单位名称的数，它的计算单位是一个复合单位。平均指标是社会经济统计中最常用的综合指标之一。平均指标的显著特点是，把同质总体内各单位在某一数量标志值上的差异抽象化了，是对各单位具体数值的平均；它不是某一单位的具体数

3、值，而是代表总体某种数量标志值的一般水平，是总体各单位的代表值。需要注意的是，掩盖总体内部各单位某种数量标志值的差异，是平均数的局限性，必须充分认识，以防误用。点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本平均指标的作用二平均指标由于能综合反映所研究现象的总体在具体条件下的一般水平，因此，在统计研究中，以及各项经济管理和分析中被广泛应用。其作用概括起来主要有：利用平均指标，可以了解总体次数分布的集中趋势。利用平均指标，可以对若干同类现象在不同单位、地区间进行比较研究。利用平均指标，可以研究某一总体某种数值的平均水平在时间上的变化，说明总体的发展过程和趋势。利用平均指标，可以分析现象之间的依存

4、关系。1234平均指标可作为某些科学预测、决策和某些推算的依据。502 PART TWO第二节算术平均数点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本算术平均数的基本形式一算术平均数是统计中最基本、最常用的一种平均数。它的基本计算形式是用总体的单位总数去除总体的标志总量。算术平均数的基本计算公式是：在社会经济现象中，总体的标志总量常是总体单位标志值的算术总和。例如工人工资总额是各个工人工资的总和；粮食总产量是各块地播种面积产量的总和等。在掌握了标志总量和总体单位总数的资料后，就可以按照公式5-1计算算术平均数。点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本相对指标的种类和计算方法二（一）简

5、单算术平均数如果所掌握的资料是没有经过统计分组的总体各单位的标志数值，则先将这些标志值相加得出标志总量，再用总体单位总数去除，就得出算术平均数。这样计算出来的算术平均数称为简单算术平均数。其计算公式为：用符号表示为：点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本相对指标的种类和计算方法二（二）加权算术平均数有时我们研究的统计总体包括许多单位，其中有些单位的标志值相同，另一些单位的标志值不同。在这种情况下，就需要首先对总体各单位的标志值进行分组，编成单项变量数列或组距变量数列，再用加权算术平均数的方法计算平均数。我们可归纳出计算加权算术平均数的一般公式为：用符号表示为：点击添加文本点击添加文本

6、点击添加文本点击添加文本算术平均数的几个重要数学性质三从平均数的代数公式中，产生了平均数的一系列性质。为了在实际工作中能够更好地计算、应用和分析平均数，必须了解这些性质。这些性质不单是平均数形式数学变形的结果，也和标准差（详见本章第七节）计算法有关，而且具有重要的实际意义。这里仅将重要性质叙述如下：点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本算术平均数的几个重要数学性质三（一）平均数与次数和的乘积等于所有变量值（数量标志值）的总和这个性质说明，平均数是所有变量值的代表数值，并且根据平均数与次数可以推算出数量标志值的总和。点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本算术平均数的几个重要数

7、学性质三（二）所有变量值与平均数的离差之和等于零简单算术平均数：加权算术平均数：在理论上，这个性质说明，在算术平均数中，变量值之间高于或低于平均数的偏差可以相互抵消。点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本算术平均数的几个重要数学性质三（三）各个变量值与平均数离差平方之和最小03 PART THREE第三节调和平均数点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本调和平均数的概念一调和平均数是平均数的一种，它是根据变量值的倒数计算的，是变量值倒数的算术平均数的倒数，故又称倒数平均数。在社会经济统计中，往往由于缺乏总体的单位数资料，不能直接采用算术平均数计算，这时，就需要把算术平均数的形

8、式加以改变，而采用另一种计算方法。所以，在实际工作中，它主要是作为算术平均数的变形来使用的。其主要特点是用特定的权数（m=Xf）加权，其变量值多为相对数和平均数。在计算平均数时，由于受到所掌握的资料的限制，往往不能直接用加权算术平均数计算，而需要按照平均数基本公式，算出所需总体单位数，或相当于总体单位数的数字。这时所用的方法，就是加权调和平均数的方法。调和平均数有简单调和平均数和加权调和平均数两种。点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本简单调和平均数二在市场上（如蔬菜市场）常常早上1元可买到1.5千克蔬菜，即每千克0.67元；中午1元可买到2千克蔬菜，即每千克0.50元；晚上1元可买

9、到2.5千克蔬菜，即每千克0.40元。要计算这一天蔬菜的平均价格是多少有以下两种方法。1.先求出每千克蔬菜的价格，然后求平均数，即用简单算术平均数方法：2.用总金额除以总数量，即用简单调和平均数方法：点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本加权调和平均数三加权调和平均数实际上是加权算术平均数的变形。在实际工作中，经常会遇到只有各组标志总量和各个组变量值，缺少总体单位数资料的情况，这时就需要利用调和平均数公式计算平均数。它的计算方法是以标志总量为权数，其计算公式为：04 PART FOUR第四节几何平均数点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本几何平均数的概念和特点一几何平均数不

10、同于算术平均数和调和平均数，它是n个变量值连乘积的n次方根，是计算平均比率和平均速度时比较适用的一种指标，符合人们的认识规律。例如，有甲、乙两种商品，甲商品价格从200元上涨到250元，其价比为1.25（250200），其上涨率为25%；而乙种商品价格从250元下降到200元，其价比为0.8（200250），即下降了20%。如果单纯从价格变动来看，两者升降抵消，应当是没有变动，但这两种价比按算术平均法计算平均价比为1.025（1.25+0.8）2），即上涨了2.5%。如果按调和平均法计算平均价比为：即平均下降了2.44%。很明显，由于甲商品涨幅超过乙商品的降幅，所以按算术平均法计算结果偏高，按

11、调和平均法计算结果偏低，都不符合实际。实际是甲商品上涨了50元，乙商品下降了50元，从绝对数来说为0（+50+（-50），即甲、乙两种商品平均来说没涨没降。计算表明，用几何平均法最合适，即平均价比为1（(1.250.8)）或100%,表明两种商品价格平均起来没涨没降。所以，凡是变量值的连乘积等于总比率或总速度的现象都可用几何平均法计算其平均数。点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本几何平均数的计算方法二（一）简单几何平均数简单几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根。其计算公式为：点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本几何平均数的计算方法二（二）加权几何平均数当计算几何平均数

12、的每个变量值的次数不相同时，则应用加权几何平均法，其计算公式为：式中：f为变量值的次数；f为次数总和；其他符号含义同前。将上述公式两边取对数，则：05 PART FIVE第五节众数和中位数点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本众数一在观察某一总体时，最常遇到的标志值在统计上称为众数。换句话说，众数就是在一组变量值中出现次数最多的那个变量值。它是总体中最常遇到的变量值，是最普遍、最一般的，因而，可以用来说明社会经济现象的一般水平。在实际工作中，众数被广泛运用。例如，消费者需要的鞋、袜、帽等最普遍的尺码，集市贸易市场某种商品最普遍的价格水平，企业工人中最普遍的工资水平等，常用它来说明总体

13、各单位某一数量标志值的一般水平。但必须指出，众数只有在总体内单位充分多时才有意义。一般来说，众数的确定比较简单，不需要进行复杂的计算，只要大量观察就可得知。当掌握原始资料时，只要直接观察各数值即可得知众数，不必一一列举，如根据单项变量数列确定众数，只需要观察找出次数最多的那个变量值即可。点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本中位数二将总体中各单位标志值按大小顺序排列，处于中间位置的那个单位的标志值就是中位数。如果总体单位数是偶数，则处于中间位置的两个标志值的算术平均数是中位数。显然，中位数是处于中间位置的标志值，因而可用来说明社会经济现象各单位数量标志值的一般水平。中位数的确定方法要

14、根据所掌握的资料而定。如果根据未经分组的资料，其确定方法是将各单位的标志值按大小或多少的次序排列，处于中间位置的标志值（变量值）就是中位数。将研究的数列项数（无论是奇数还是偶数）加1除以2，即可求得中位数的位置从而可找到中位数。设未分组的统计数列资料为：X1，X2，X3，Xn（已按大小排序）。若n为奇数，则第(n+1)/2项的标志值X_(n+1)/2)即为中位数；若n为偶数，则以X_(n/2)与X_(n/2+1)这两个标志值的简单算术平均数为中位数，即：故中位数Me的确定可表述为：06 PART SIX第六节正确计算和运用平均指标的原则点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本正确计算和

15、运用平均指标来分析社会经济现象，应该遵循以下几项原则：（1）必须注意所研究社会经济现象的同质性（2）必须注意用组平均数补充说明总平均数（3）必须注意应用分配数列补充说明平均数（4）必须注意一般与个别相结合，把平均数和典型事例结合起来（5）平均指标要与变异指标结合运用07 PART SEVEN第七节标志变异指标点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本标志变异指标的概念和作用一（一）标志变异指标的概念平均指标确实能反映某种事物的一般水平，在比较不同空间和时间上的情况时能消除规模大小的影响，是衡量其差距的重要指标。但只依据平均指标来评价事物的优劣远远不够，因为总体内部各单位标志值具有差异，有

16、高低、大小、多少之别。就总体而言，平均数背后隐藏最大值与最小值之间的差距，有的差距不大，有的则相差非常悬殊。总体内部各单位标志值差距悬殊的平均数就掩盖着尖锐的矛盾，让人们感到不真实。在现实生活中，此种事例很多。所以，在反映具体问题时，除了列出总平均指标外，还应把总体内部各单位标志值中最大值、最小值及其差距摆出来，要列出平均差异大小和差异的相对程度，即要测定标志变异指标。点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本标志变异指标的概念和作用一（一）标志变异指标的概念标志变异指标是反映统计数列中以平均数为中心，总体各单位标志值的差异大小范围或离差程度的指标，也称标志变动度。标志变异指标是社会经济

17、现象数量关系所具有的重要特征之一，它是客观过程中多种因素制约的结果。如果说平均指标说明分配数列中变量的集中趋势，那么标志变异指标则说明变量的离中趋势。在研究现象总体数量一般水平特征时，仅用平均指标说明是不够的，应该既看到总体的集中趋势，又看到总体的离中趋势，才能全面认识总体的数量特征。所以，要把平均指标与变异指标结合起来运用。点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本标志变异指标的概念和作用一（二）标志变异指标的作用在统计分析研究中，标志变异指标的作用，可概括为以下几点：标志变异指标可以衡量平均数代表性的大小。标志变异指标可以反映社会经济活动过程的节奏性和均衡性。标志变异指标可以反映总体

18、单位标志值的均匀性和稳定性。标志变异指标是科学地确定必要的抽样单位数应考虑的重要因素。第一第二第三第四点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本标志变异指标的种类及其计算方法二（一）变异全距变异全距是指总体各单位标志值中最大值与最小值之差，简称全距，又称极差。其一般计算公式为：变异全距=最大标志值-最小标志值具体计算时，要依资料条件而定，如根据未经整理分组的统计资料，则可直接观察找出最大值与最小值，然后相减即得变异全距。如果为组距数列，其变异全距则通过下式计算：变异全距=最高组的上限-最低组的下限点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本标志变异指标的种类及其计算方法二（二）平均差

19、平均差是各标志值对其算术平均数的离差绝对值的平均数。由于各标志值对其算术平均数的离差总和恒等于零，即（X-X ）0，因此，在计算平均差时，采取离差的绝对值（|X-X |）来计算。平均差实质上是以算术平均数为中心，各标志值距平均数的平均距离。平均差的计算由于依据的资料条件不同，可分为简单算术平均差和加权算术平均差两种。1.如果掌握的是未经分组的（原始数列）资料，则采用简单算术平均差。其计算公式为：2.如果掌握的资料是分组数列，则应采用加权算术平均差。其计算公式为：点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本标志变异指标的种类及其计算方法二（三）标准差标准差是总体中各单位标志值与算术平均数离差

20、平方之和的算术平均数的平方根，故又称为均方根差。标准差的实质与平均差基本相同，也是各个标志值对其算术平均数的平均离差，即平均距离。标准差与平均差只是在数学处理上不同，它是采用平方的方法消除离差的正负号来求得的，是标志变异指标中使用较多的指标。依据资料条件的差异，其计算公式也分为简单标准差与加权标准差两种形式，现分述如下：1.简单标准差。如果掌握的是未分组的原始数列资料，在计算标准差时，采用下列公式：2.加权标准差。如果掌握的资料是分组数列，则计算标准差应采用下列公式：点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本标志变异指标的种类及其计算方法二（三）标准差3.是非标志的标准差。在社会经济统计中，有时把某种社会经济现象的全部单位分为具有某一标志的单位和不具有某一标志的单位两组。例如，全部产品中分为