第19半2021半次课8章相量法

1、13 九月 20221第八章 相量法 内容提要1.正弦量及其三要素、相位差的概念；2.相量法的概念、性质及其运算；3.相量图；4.电路定律和元件VCR的相量形式。1.正弦量的三要素；2.正弦量的有效值和相量差；3.电路定律和元件VCR的相量形式. 重点13 九月 20222 难点1. 正弦量与相量之间的联系和区别；2. 元件电压相量和电流相量的关系、相量图。主要是相位关系是学习第 9、10、11、12章的基础。 .Im= 545o A .Um= 1000o V45oZ = .Um .Im =20-45o W 与其它章节的联系 必须熟练掌握相量法的解析运算。 13 九月 202238-1 复数1

2、. 复数的表示形式(3)指数和极坐标形式(1)代数形式 F=a+jb ReF=a， ImF=b(2) 三角形式 F=| F |(cosq + jsinq ) a=| F |cosq，b=| F |sinq | F | = a2 + b2q = arctgba 根据复数的欧拉公式 e jq =cosq +jsinq 得指数形式： F = | F | e jq或写成极坐标形式：F = | F |q13 九月 20224F2(4) 矢量形式2. 复数的运算(1)加减 用代数形式最好。复数加的图解 o+j+1Fbaq+jo+1F1F2F=F1+F2+jo+1F1F2F=F1+F2设 F1=a1+jb1

3、 ，则 F1F2 =F2=a2+jb2(a1a2)+j (b1b2) 13 九月 20225复数减的图解F=F1-F2-F2+jo+1F1F2FF=F1-F2+jo+1F1F2 若F1 = F2 则必须是或者 a1 = a2，jb1= jb2即两个复数相等|F1| = |F2|，q1=q2(2) 乘除用指数或极坐标形式。乘(除)法运算满足：模相乘(除)，辐角相加(减)。 13 九月 20226复数乘、除的图解 乘：F1 的模被放大|F2| 倍,辐角逆时针旋转q2。除：F1 的模被缩小|F2| 倍,辐角顺时针旋转q2。+jo+1q1F1F2q2|F2|F1q2F=F1F2q=q1+q2q1F1F

4、2q2F1|F2|q2F =F1F2q=q1-q2+jo+1则 F = F1 F2 q1+q2q1-q2F =F1F2=|F1 |F2 |F2= | F2 |设 F1= | F1 |q1 ，q2= |F1 |F2 | 13 九月 202273. 旋转因子ej旋转因子 ej =1是一个模等于1，辐角为q的复数；任意一个复数A=|A|ejqa乘以ej ，等于把A逆时针旋转角度，而模|A|保持不变。 +jo+1AaAej + j、- j、 -1等于 A 逆时针旋转90o。= - j AAj= cosep2jA ejp = - Ap2+ jsinp2= + jjA等于 A 顺时针旋转90o。-jA-A

5、都是旋转因子。若 =2ep2jA= j A，ep2-jA=等于 A 旋转180o。90o90o13 九月 202288-2 正弦量电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量。研究正弦电路的意义是：正弦交流电有很多优点，在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。容易产生、传送和使用。可以根据需要，利用变压器方便地把正弦电压升高或降低；电机、变压器等电气设备，在正弦交流电下具有较好的性能；正弦量对时间的导数、积分、几个同频率正弦量的加减，其结果仍是同频率的正弦量，使电路分析计算变得简单。正弦信号是一种基本信号，其分析结果可以推广到非正弦周期电流电路中。13 九月 20229正弦量的时域表达式

6、有两种形式i = Imcos(wt+fi) i = Imsin(wt+fi)也称为瞬时值表达式分析时不可混用，以免发生相位错误。今后采用的形式以教材为准：i = Imcos(wt+fi) u = Umcos(wt+fu) 综上：对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。13 九月 2022101. 正弦量的三要素（以电流为例）(1)振幅 Im、有效值 I (要素之一)oiw tp2p3p-pIm-Im峰-峰值2Imi = Imcos(wt + fi)= 2 I cos(wt + fi)反映正弦量变化幅度的大小。 振幅也称为幅值、最大值。在放大器参数中，有时用 峰-峰值表达。13 九月

7、202211 关于周期性电流、电压的有效值IdefT10Ti2(t) dt物理意义：通过比较直流电流 I 和交流电流 i 在相同时间 T 内流经同一电阻 R 产生的热效应来确定： I2RT 0Ti2(t)R dt周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效应，工程上采用有效值来表示。R直流 IR交流 i均方根值电流有效值13 九月 202212电流有效值设 i=Imcos(wt+yi ) ,正弦电流有效值与振幅之间的关系：Im=2IUm=2U若 交流电压有效值 U = 220V ，则 其电压最大值 Um 1.414220 = 311V。代入上式计算可以得到：IdefT10Ti2(t)

8、dt电压有效值UdefT10Tu2(t) dt正弦电压有效值与振幅之间的关系：同理：13 九月 202213工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如电网的电压等级、设备铭牌的额定值等。需要注意的是另外注意： IM (Imax) 指最大有效值。i、u、i1、u1、ia、ua；Im、Um、I1m、I、U、I1、U1、Ia、Ua；U1m、Iam、Uam；但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。在测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。注意区分电流、电压的瞬时值 ，振幅和有效值的符号：13 九月 202214快速回放191.复数的表示及其运算(1)

9、正弦稳态电路分析时 常用的表示形式代数形式 F = a + jb极坐标形式F = | F |q用于加减运算用于乘除运算(2)旋转因子ej = 1是一个模等于1，辐角为 的复数。j、-1也是旋转因子。复数乘以ej，模不变，辐角逆时针旋转 角。13 九月 2022152.关于正弦量(1)正弦量的时域表示i = Imcos(wt + fi)，u = Umcos(wt + fu)(2)正弦量的三要素振幅(或最大值)Im、UmI =T1Ti2(t) dt周期电流(压)的有效值oiw tp2p3pIm-ImI正弦量变化幅度的大小。 U =T10Tu2(t) dt均方根值正弦量的有效值I =Im2U =Um

10、20回放结束Im=2 I13 九月 202216(2)角频率w、频率f、周期T (要素之二)w ：指正弦量单位时间内变化的电角度f ：正弦量每秒钟变化的周波数，单位是Hz。w =dtd(wt+fi)wT=2pT2pw、f、T 之间的关系w =2pff =T1oiw tp2p3p-pT：正弦量变化一个周期所需要的时间。T =f1在工程中，常用频率区分电路：如工频、音频、中频、高频、微波电路等。相位变化的速度。反映正弦量变化快慢的参数。i = Imcos(wt + fi)13 九月 202217oiw tp2p3p-p(3)初相角fi (要素之三)注意同一正弦量，计时起点不同，初相角不同。fi常取

11、主值：|fi|180o对任一正弦量，初相可以任意指定。但对多个同频率正弦量，应相对于同一个计时起点确定各自的相位。fi 反映正弦量的计时起点, 常用角度表示, 单位为rad 或 (o)。i = Imcos(wt +fi )若正最大值发生在计时起点左侧，则初相位为正，右侧为负。t =0时，正弦量的相位角 (wt + fi) = fifi0fi =0oi13 九月 202218例：已知正弦电流波形如图， =103rad/s， 1.写出 i(t) 的表达式；2.求最大值发生的时间t1。oi t10050t1解：1.i(t) = 100cos(103t + fi)t = 0 50 = 100cosfi

12、fi = 60o由于最大值发生在计时起点右侧 fi = - 60oi(t) = 100cos(103t - 60o)2. 当 103t = 60o= 3 时，出现最大值t1 = 3103= 1.047ms13 九月 2022192.同频率正弦量的相位差j则：改变计时起点，初相角不同，但相位差不变！相位差一般取主值，即j | p |。设：i=Imcos(wt+fi)j 等于初相之差。j = (wt+fu)-(wt+fi)=fu-fi(1)j0 ，称 u 超前 i，或 i 滞后 u ，表明u 比 i 先达到最大值； (2)j0 ，称 i 超前 u，或 u 滞后 i，表明 i 比 u 先达到最大值；

13、 u=Umcos(wt+u)jjoi，uw tp2p3p-piu13 九月 202220j =0，i与u同相j =90o，i与u正交j =180o，i与u反相+-uiZi(3)特殊相位关系 改设参考方向时，该正弦量的初相改变p，因此与其它正弦量的相位差都改变p。oi，uw tp2poi，uw tp2poi，uw tp2pi=Imcos(wt+fi p)13 九月 202221例：计算下列两正弦量的相位差。(1) i1(t) =10cos100pt+(3p/4)Ai2(t) =10cos100pt-(p/2)A(2) i1(t) =10cos(100pt+30o)Ai2(t) =10cos(10

14、0pt-105o)A(3) u1(t) =10cos(100pt+30o)Vu2(t) =10cos(200pt+45o)V(4) i1(t) =5cos(100pt-30o)Ai2(t) = -3cos(100pt+30o)A解：(1) j =(3p/4)-(-p/2)=(5p/4) p j =(5p/4)-2p = -3p/4所以 (2) j =30o-(-105o)=135o(3) w1w2，(4) i2(t)=3cos(100pt-150o)j =-30o-(-150o)=120o不能进行相位比较。 注意：两个正弦量进行相位比较时，应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。13

15、九月 2022228-3 相量法的基础引言：在正弦稳态线性电路中，各支路的电压和电流(响应)与电源(激励)是同频率的正弦量，因此应用KCL、KVL分析正弦电路时，将遇到正弦量的加减运算和积分、微分运算，在时域进行这些运算十分繁复，通过借用复数表示正弦量，可以使正弦电路分析得到简化 。相量法的实质是用复数表示正弦量，是求解正弦电流电路稳态响应的有效工具。13 九月 2022231. 问题的提出Cu+-+-uLRL+-uCi+-uR电路方程是微分方程： LCd2uCdt2duCdt+ RC+ uC = u若激励 u = Psint (或 Pcos t )uC = Q1sin t + Q2 cos

16、t= Q cos(wt + )则特解，即稳态解 稳态解是与激励同频率的正弦量！13 九月 202224 同频的正弦量相加(减)仍得到同频的正弦量。(省去繁琐的推导步骤 )i1 = I1m cos (t+f1)i2 = I2m cos (t+f2)RLi1i2i3i3 = i1 + i2= I3m cos (t+f3)在线性电路中，若激励都是同频率的正弦量，则响应也都是与激励同频率的正弦量。在分析过程中，主要考虑的是：两个正弦量的加(减)，如KCL、KVL方程运算：求解振幅 或 有效值，初相角 或 相位差 。13 九月 2022252. 正弦量的相量表示考查一个复函数对 F(t) 取实部无物理意

17、义实部是一个正弦量，有物理意义。F(t) = Ime j(wt+fi )F(t) = Imcos(wt+fi ) + j Imsin(wt+fi ) 根据复数的欧拉公式ReIme j(wt+fi ) = Imcos(wt+fi )= i 结论：任意一个正弦时间函数都有 唯一与其对应的复函数。指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却可以相互转换。F(t) = Ime j(wt+fi )i = Imcos(wt+fi )取实部或虚部分析求解，都能得到全部结果。本教材取实部进行分析求解，有的教材取虚部。13 九月 202226其中，Im.= Im e ji这是一个特殊的复数，特点

18、是辐角随时间变化。是一个与时间无关的复常数。F(t) = Ime j(t+i )= Ime ji e jtIm.e jt=F(t) 包含了正弦量的三要素：Im(或I )、i 、。相量的模表示正弦量的振幅或有效值，i = Imcos(wt+i )Im.= Im=i2Ii相量的幅角表示正弦量的初相位。同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：u = Umcos(wt+u )Um.= Um=u2Uu复常数包含了两个要素：Im(或I )、i ，这就是与正弦量对应的相量。13 九月 202227实轴上的投影t1t2+j+1o.Im.Im.ImImcos(t + ) = i +j+1oi.I.Uut=0t=t

19、1t=t2两个同频率正弦量的旋转速度相同，相对位置不变，即相位差不变。mm相量的图示说明：可抓住初始时刻定格，研究它们的大小关系和相位关系。也可以画有效值相量。13 九月 202228例1：试用相量表示 i，u 。解：变换简单易行例2：u = 311.1 cos (314 t - 60o) VI =.10030o A试写出电流的瞬时值表达式。f = 50Hz在复平面上用向量表示相量的图。 .I .U 注意：正弦量与相量的关系是一种数学变换，不是相等的关系！U =.220- 60o V+j+1o-60o30oI =.1015o A解：i = 14.1 cos (314 t + 15o) A注意有

20、效值与振幅的关系已知 i = 141.4 cos (314 t + 30o) A已知314 t13 九月 2022293.相量的性质(1)线性性质k1 i1 k2 i2 若 i1(t) = I1m cos( t+i1)i2(t) = I2m cos( t+ i2)则 i(t) = i1(t) + i2(t) 相量也具有比例性质：由叠加性质和比例性质可知k i1(t) .I1m k(k1 .I1 k2 .I2 ) 相量关系为：= Re I1m.ejt = Re I2m.ejt .= Re I1mejt + Re I2m.ejt .= Re I1mejt+ I2m.ejt .= Re I1m+ I

21、2m. ejt .Im .Im= .I1m .I2m +这是叠加性质同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。 .I1 k或213 九月 202230例：i(t) = i1(t) i2(t) .I= .I1 .I2 i1=102cos(314t+60o) Ai2=22cos(314t-150o) A2求：i1+i2= 5+j8.66 A= -19.05-j11 A .I1+=(5-19.05)+ j(8.66-11)=(-14.05- j2.34) A .I1=1060o .I2= 22-150o解：I =14.052+2.342=14.24 Ai =+ arctg-14.05-2.34-1

22、80oi为第3象限角。=14.24 -170.54oAi1+i2= 14.242cos(314t-170.54o) AI1.+ I2+j+1o-14.05-2.34-170.54oI1+I2. .I2i13 九月 202231(2) 微分性质设 i = Imcos(t+i)didtdnidin(jw)n Im结果是模变为wIm，相位比原相量超前90o。对n 阶导数有 .ddt= Re Im.ejt Re Im.ejt Im.= Imi jIm.= Imi +90o正弦量的微分是一个同频正弦量，时域内的一次微分，对应于相量域内乘以 jw。= Re Im.j ejt 则13 九月 202232(3

23、) 积分性质i dt =(jw)n对n重积分有i dt则一次积分，对应于相量域内除以 jw。结果是模变为(Im /w)，相位比原相量滞后90o。正弦量的积分是一个同频正弦量，时域内的Im.设 i = Imcos(t+i)= Re Im.ejt Im.= ImiRe Im.ejt dt= Rej1Im ejt .13 九月 202233例：解：变换为相量形式di1dt60ojw I1= j31410= 314060o+90o= 3140cos(314t + 150o)i2 dtjw .I222-150o - 90o=314= 0.07120o求：di1dti2 dt2di1dt所以i2 dt=

24、0.072cos(314t+120o)i1=102cos(314t+60o) Ai2=22cos(314t-150o) A2 .I1=1060o A .I2= 22-150o A.所以13 九月 202234引入相量的优点把时域问题变为复数问题；相量法仅适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路； 需要注意的是把微积分方程的运算变为复数方程的运算。相量法是一种变换。相量法用来分析正弦稳态电路。可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。正弦量相量时域 频域正弦波形图相量图微分方程代数方程13 九月 2022358-4 电路定律的相量形式 1. 电阻元件VCR的相量形式 相位关系： .UR+1+jo

25、.IRfu=fiuR = RiR 时域形式：UR = RIR .IR = IR 有效值关系：相量形式：fi .UR= RIRfiR+-uRiRiR = Imcos(t+i) = RImcos(t+i)Umu .UR .IR R+-相量图 相量关系： .UR= RIR.相量模型u = i13 九月 2022362.电感元件VCR的相量形式 电压超前于电流90o ! L+-uLiL+1+jo .ULfu .ILfiuL = LdiLdt .UL .IL +-jL时域形式：iL = Imcos(t+i )= -LImsin(t+i )= LImcos(t+i +90o) .IL = IL 相量形式：

26、fi .UL = LILi +90o相量模型相量图 相量关系： .UL= jL .IL相位关系：UL = LIL 有效值关系：u = i + 90o13 九月 202237 注意XL=L 称为感抗，具有电阻的量纲，单位是。 XL表示限制电流的能力； XL与频率成正比。= j XL对直流， = 0，XL = 0，短路；若 ，则 XL ，开路。相量关系：= jL .IL .UL .IL13 九月 202238作业： 8-6，8-713 九月 202239快速回放201.正弦量的三要素(续)角频率 (或 f、T )初相角计时起点不同 不同；若正最大值发生在计时起点左侧，则初相位为正，右侧为负。 =

27、2 ff = 1 / T指正弦量单位时间内变化的电角度。反映正弦量的计时起点 。取主值：|f |180o13 九月 2022402.相位差同频率正弦量的相位差为初相角之差。 = (wt + fu ) - (wt + fi)= u- i若 = 0，则 u 与 i 同相；若 0，则 u 超前于 i ；若 0，则 u 滞后于 i ；若 = 90o，则 u 与 i 正交；若 = 180o，则 u 与 i 反相；也可以说 i 滞后于u。也可以说 i 超前于u。13 九月 2022413.相量(1)正弦量的相量表示f(t) = Amcos(wt + f )Am.= Amej= Amf(2)正弦量与相量的关

28、系f(t) = Amcos(wt + f )= Re Am.ejt 注意(1)正确理解正弦量与相量的一一对应关系；(2)正弦量不等于相量，相量也不等于正弦量，它们之间是一种变换关系。= Re Amej(t+) 13 九月 202242(3)变换的几何意义(以电流为例)Imcos(t+)等于相量 .Im以 逆时针旋转时在复平面实轴上的投影。t1t2+j+1o.Im.Im.Imt=0t=t1t=t2I0 = ImcosfI1= Imcos(t1+f)I2= Imcos(t2+f)13 九月 2022434. 电阻、电感元件VCR的相量形式(1)电路元件 R相量VCR .UR= R相量模型 .UR

29、.IR R+- .IR有效值关系相位关系 .UR+1+jo .IRfu=fi相量图 =0UR= RIR(2)电感元件 L .UL= jL .IL .UL .IL +-jL相量模型相量VCRUL= XLIL =90o= LIL有效值关系相位关系+1+jo .ULfu .ILfi相量图回放结束13 九月 2022443.电容元件VCR的相量形式 (接上次课)+1+jo .UCfi .ICfu电流超前于电压90o ! C+-uCiCiC = CduCdt时域形式：uC = Umcos(t+u )= -CUmsin(t+u )=CUmcos(t+u + 90o) .UC = UC 相量形式：fu .I

30、C = CUCu + 90o相量模型相量图 相量关系： .UC= .IC相位关系：IC = CUC 有效值关系：i = u + 90o .UC .IC +-jC1jC113 九月 202245 注意称为容抗，具有电阻的量纲，单位是。 XC表示限制电流的能力； XC与频率成正反比。对直流， = 0， XC ，开路；若 ，则 XC 0 ，高频视为短路。相量关系： .UC= .ICjC1= - jC1 .IC= j XC .ICXC = -C1隔直通交13 九月 2022464. 受控源的相量表示 控制系数、g、r 和 都是常数，因此，根据相量的比例性质，可以直接用与正弦量对应的相量表示。用相量表示

31、的CCCSbib+-+-rbeubeuceibbIb+-+-rbeUbeUceIb . . . . 用瞬时值表示的CCCS13 九月 2022475. 基尔霍夫定律的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和 KVL可用相应的相量形式表示：i(t) = 0u(t) = 0 .I1 + .U = 0表明：流入某一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。Re2 .I2 + ejt = 0 .I = 013 九月 202248例1：试判断下列表达式的正、误。1. u = LiU = LI2. i

32、= 5coswt = 50o A3. .Im =jCUm .4. XL = .UL .IL XL =ULIL5. .UC .IC =j C=1j C . .UL = jLIL6. 7. u = Cdidtu = L didt8. 若 .U1 = .U2 ， 则 u1 = u2相量与频率无关，反求正弦量时必须知道。故相量表示的运算关系只能在同频的正弦量中使用。13 九月 202249例2：已知LuiLC15WiCiR-+iR0.02F4H求电源电流i(t)。 0o V 2u(t)=120cos(5t) V，解：电压源电压的相量为： U .=120C 1=50.021= 10WL = 54 = 2

33、0W IR .LUILC15WICIR-+IR-j10Wj20W . . . . .=R U .=12015= 8 A IC .=-j U .=wC 1-j10120= j12 A IL .= U .jwL=j20120= -j6 A I . IR .=+ IC .+ IL .= 8 + j12 -j6 A 13 九月 202250LuiLC15WiCiR-+iR0.02F4H36.9o ALUILC15WICIR-+IR-j10Wj20W . . . . . I .= 8 + j6= 10 i(t) =10 2cos(5t + 36.9o) A U . I . IC . IL .36.9o相

34、量图如下： I . IR .=+ IC .+ IL .= 8 + j12 -j6 A IR .例2：已知求电源电流i(t)。 2u(t)=120cos(5t) V，13 九月 202251 .UBC例3: 已知 UAB=50V， .UR = 30UAC=78V，问 UBC=30j40 +- .UAC .ICABjXL 解：+- .UR+- .UL1 .I , .UL1 = j40 . I .UAB = (30 + j40). UAB=(30I)2 + (40I)2 = 50II = 1A， UR= 30V，UL1= 40VUAC =(30)2 + (40 + UBC)2 = 78VUBC =(

35、78)2 - (30)2 = 32V- 4030I.j40I. .UAB .UBC .UAC设 . I= I0o A . I I则：13 九月 202252本章结束作业：8-6，8-78-10，8-1513 九月 202253第8章知识脉络相量法复数及其运算正弦量的表示时域表示两种表示的互换相量表示相位差参考相量 (和参考正弦量)函数式、波形图(三要素：振幅或有效值、频率或角频率、初相角)相量图电路元件VCR的相量形式 (R、L、C 等)振幅相量、有效值相量电路定律的相量形式 ( KCL、KVL )13 九月 202254快速回放191.复数的表示及其运算(1)正弦稳态电路分析时 常用的表示形

36、式代数形式 F = a + jb极坐标形式F = | F |q用于加减运算用于乘除运算(2)旋转因子ej = 1是一个模等于1，辐角为 的复数。j、-1也是旋转因子。复数乘以ej，模不变，辐角逆时针旋转 角。13 九月 2022552.关于正弦量(1)正弦量的时域表示i = Imcos(wt + fi)，u = Umcos(wt + fu)(2)正弦量的三要素振幅(或最大值)Im、UmI =T1Ti2(t) dt周期电流(压)的有效值oiw tp2p3pIm-ImI正弦量变化幅度的大小。 U =T10Tu2(t) dt均方根值正弦量的有效值I =Im2U =Um20回放结束Im=2 I13 九月 202256快速回放201.正弦量的三要素(续)角频率 (或 f、T )初相角计时起点不同 不同；若正最大值发生在计时起点左侧，则初相位为正，右侧为负。 = 2 ff = 1 / T指正弦量单位时间内变化的电角