高中数学函数的零点练习及答案

1、 答案】(1) f (x)x2 2x (2) m 2, n 00 有唯一的实根，求实数 a 的取值范围 .例29】若关于 x 的方程 0 有唯一的实根，求实数 a 的取值范围 .难度】3星题型】解答原方程等价于2 x2x20 x20 x y08x6O20 6x6a考点】二次函数的零点与方程 关键词】无 解析】 法 一20或 x 012x 6a 3 011 a 11 .211 a 11 .2的充要条件是：解得当163616361.21 时原方程有唯一解 .2法二原方程等价于 x220 x 8x 6a 3 x 20或x 0 令 f (x) =x2+12 x+6a+3 (1)若抛物线 y= f(x)

2、 与 x轴相切， 有 =1444(6 a +3)=0 即 a=将 a将 a= 11代入式 有 x = 6不满足式2(2)若抛物线 y= f(x) 与 x轴相交， 注意到其对称轴为 x=6， 故交点的横坐标有且仅有一个满足式f ( 20) 0 f (0)2y163320 6 Ox问题转化为：求实数 a 的取值范围，使直线 y 8x 6a 3 与抛物线 y x2 20 x x 20或x 0 有且只有一个公共点 虽然两个函数图象都明确，但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显， 可将变形为 x2+12x+3=6a(x0)， 再在同一坐标系中分别也作出抛物线 y= x2+12x+3 和直线 y=6

3、a，如图，显然当 3 6 a 163， 163 a 1时，62 直线 y = 6 a与抛物线有且只有一个公共点 .答案】163 1 a62题型三：函数的图像与方程例30】方程lgx x 0 在下列的哪个区间内有实数解（ ）A.10 ， A.10 ， 0.1 B. 0.1，1C. 1，10D.，0难度】 1 难度】 1 星 【题型】选择答案】B1例 31】 lg x 1 0 有解的区域是 （ ）xA (0, 1B(1, 10C (10, 100D (100,考点】函数的图象与方程【难度】 1 星【题型】选择关键词】无解析】 答案】 B例 32 】若 函数 f (x) 2|x 1 |m的图象与x

4、轴有交点，则实数 m 的取值范围是（A 0 m 1 考点】函数的图象与方程 关键词】无Bm 1 C m【难度】 1 星1或 m 0【题型】D m 1或 m 0 选择解析】令 f (x) 0 ，得： m(1)|x 1|， |x21| 0 ， 0(12)|x1|1 ，即 01答案】难度】 2 星【题型】选择例33】函数 f （x） 2x3 3x 难度】 2 星【题型】选择考点】函数的图象与方程关键词】无解析】答案】 3例 34 】当0 x 1 时，函数y ax a 1 的值有正值也有负值，则实数a的取值范围是（Aa1B a 1C a 或 a 12D 12 a考点】函数的图象与方程关键词】无解析】答

5、案】 D难度】2星题型】选择2910 a10 a答案】a 10例 36 】已知函数f (x)ax3bx2cxd 的图象如下，则(Bb (0,1)A b( , 0)b (2,考点】函数的图象与方程 关键词】无 解析】难度】2星题型】选择答案】2910 a10 a答案】a 10例 36 】已知函数f (x)ax3bx2cxd 的图象如下，则(Bb (0,1)A b( , 0)b (2,考点】函数的图象与方程 关键词】无 解析】难度】2星题型】选择答案】f(x) ax(x 当 x 2 时， 答案为 A A1)(x f (x)2)0，2ax ， b 2a 当 x 0 时， f(x) 0 ，ax3 3a

6、x20 ，故 b 0，例 37 】x0 是方程 axloga x (0a 1) 的解，则 x0, 1,a 这三个数的大小关系是考点】函数的图象与方程关键词】无难度】 2 星题型】选择例 35】关于 x 的方程 lg(ax 1)lg(x3)1有解，则 a 的取值范围是考点】函数的图象与方程【难度】2星【题型】选择关键词】无ax1 10(x3)解析】 显然有 x 3，原方程可化为ax10(10 a)x 293x30 x1a 10 3解析】可以看出： 可以看出： x0 1 ， loga x0答案】 a x0 1在同一坐标系中作出函数ax 和 y loga x 的图象，1， x0 a ， a x0 1

7、A1B2C3D4考点】函数的图象与方程【难度】2星【题型】选择关键词】无解析】 令 y 0， (x22x23)(x22x 3)02 x2x 302 x2x 30 ，解得x 1 或 x 3即方程f(x)0只有两个实数根答案】 B例 38】函 数 y (x2 2x)29 的图象与 x 轴交点的个数是()2a 3 有负根，则实数 a 的取值范围是5a【难度】 2 星【题型】填空例2a 3 有负根，则实数 a 的取值范围是5a【难度】 2 星【题型】填空考点】函数的图象与方程关键词】无解析】3a0 ，解得：5a5解析】3a0 ，解得：5a5由 2a 3 1 得：答案】 2 a 5 3例40】关于 x的

8、不等式 2 32x 3x a2 a 3 0，当 0 x 1时恒成立，则实数 a的取值范围为 考点】函数的图象与方程【难度】 2 星【题型】选择关键词】无解析】 设 t 3x ，则 t1，3， 原不等式可化为： a2 a 3 2t2 t, t 1, 3 ， 等价于 a2 a 3大于 f(t) 2t2 t, t 1, 3的最大值 f(t)在1，3上为减函数， f (t )max f (1) 1 a2 a 3 1 ，解得： a 2或a 1 y2 18k2|x| (k R,y2 18k2|x| (k R,且k 0)的公共点的个数为(A 1B2C3D4考点】函数的图象与方程【难度】2星【题型】选择关键词

9、】无解析】 将 y 2k代入 9k2x2 y2218k2 |x| 得： 9k2 x2224k2 18k2 | x|例41】直线 y 2k 与曲线 9k2x29|x|2 18|x| 4 0 ，显然该关于 | x|的方程有两正解， 故关于 x的方程有四解， 所以交点有4 个，答案 D答案】 例42】若方程2ax2 1 0在(0,1)内恰有一解 ,则实数 a的取值范围是考点】函数的图象与方程 【难度】 2 星 【题型】选择关键词】无解析】 设函数 f (x) 2ax2 1，由题意可知，函数 f ( x)在(0,1)内恰有一个零点 1 f (0)gf (1) 1 (2a 1) 0 ， 解得 a 1 .

10、2答案】 a 12例 43】试判断方程 2 x x2 2 的实数解的个数是多少 考点】函数的图象与方程 【难度】 2 星 【题型】选择 关键词】无解析】 本 题是一个超越方程， 对这类方程用解方程的办法无法求出方程的解 .可以构造函数， 直接用 数形结合看图象来得出结论令y 2 x，y x2 2 ，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图： 可以很明显的看到图象有两个交点 .所以原方程的实数解的个数为 2 个 .答案】 2例 44】试判断方程 | x2 9| a 2实根的个数 .考点】函数的图象与方程 【难度】 2 星 【题型】选择 关键词】无解析】 本 题利用先去根号，在讨论一元二次方程的根的

11、个数的方法也能做，但步骤较繁复，而且容 易出错，不如利用函数的图象简单明了 .令 y | x2 9|， y a 2 ，如下图所示在同一直角坐标系内画出两函数的图象： 由图可知：当 a 2 9 ，即 a 7 时，函数有两个交点，即方程有 2 个实根；当 a 2 9 ，即 a 7 时，函数有 3 个交点，即方程有 3 个实根；当 0 a 2 9 ，即 2 a 7时，函数有 4 个交点，即方程有 4 个实根；当 a 2 0，即a 2时，函数有 2个交点，即方程有 2 个实根；当 a 2 0 ，即 a 2 时，函数没有交点，即方程没有实数根；综上所述： 当 2 a 7时，方程有 4个实根；当 a 7时

12、，方程有 3个实根；当a 7或a 2 时，方程有 2 个实根；当 a 2 时，方程没有实根 .答案】 当 2 a 7时，方程有 4 个实根；当 a 7时，方程有 3 个实根；当 a 7或 a 2时，方程 有 2 个实根；当 a 2 时，方程没有实根 .例45】若 a为方程 2x x 0的解， b为不等式 log2x 1的解， c为方程 log1 x x的解，则a、b、c从 2小到大依次为 ； 考点】函数的图象与方程 【难度】 2 星 【题型】填空 关键词】无 解析】 a 0， b 2 ，在同一坐标系内作出函数 y log1 x和函数 y x 的图象，可以看出 0 c 1， 2答案为 a c b

13、 答案】 a c b例 46】设 x1, x2, x3依次是方程 log1 x 2 x ，log 2 ( x 2)x ，2x x 2的实数根，试比较 x1, x2, x32的大小 考点】函数的图象与方程 【难度】 2 星 【题型】解答 关键词】无解析】 在同一坐标内作出函数 y x 2 ，y log1x， y 2x的图象从图中可以看出， 0 x3 x1 又 x2 0 ，故 x2 x3 x1 答案】 x2 x3 x1例47】求证方程 3x 2 x 在(0,1)内必有一个实数根 .x1考点】函数的图象与方程 【难度】 2 星 【题型】选择 关键词】无f(x) 在 ( 1, ) 是减函数 .解析】

14、设函数 f(x) 3x 2 x f(x) 在 ( 1, ) 是减函数 .而 f(0) 30而 f(0) 30 21f(1) 3115220，即 f (0) gf (1) 0 ，说明函数 f(x) 在区间 (0,1)内有零点，且只有一个 . 所以方程 3x 2 x 在(0,1)内必有一个实数根 .x1点评：等价转化是高中数学解题中处理问题的一种重要思想，它是将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，每个问题的求解过程正是这样一种逐步的转化此题可变式为研究方程 悉的问题，每个问题的求解过程正是这样一种逐步的转化此题可变式为研究方程 3x 2 xx1的实根个数 .答案】设函数 f (x)2xx. 由函数的单调

15、性定义，可以证出函数1f(x) 在 ( 1, ) 是减函数 答案】设函数 f (x)2xx. 由函数的单调性定义，可以证出函数1f(x) 在 ( 1, ) 是减函数 .而 f(0) 3010 ， f(1) 31有零点，且只有一个. 所以方程 3122 x155 0，即 f (0) gf (1)2x 在 (0,1) 内必有一个实数根0 ，说明函数 f(x) 在区间 (0,1) 内例 48】三个同学对问题“关于 x的不等式 x225|x35x2 | ax在1，12上恒成立，求实数 a的取 值范围”提出各自的解题思路甲说： “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值 ”乙说： “把不等式变形为左边含

16、变量 x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值 ”丙说： “把不等式两边看成关于 x 的函数，作出函数图像 ” 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 a 的取值范围是 考点】函数的图象与方程 关键词】无【难度】 3 星【题型】填空解析】 1 x 12，原不等式可化为： x 25x2|x 5x| a当 x 5 时， x25 225和| x2 5x |同时取到最小值 x5，故 a 10 答案】a 10例 49 】已 知函数 y 2x1的图象与直线 y mx 只有一个公共点，求这个公共点的坐标1考点】函数的图象与方程【难度】 3 星【题型】选择关键词】无解析】 由 2x11 mx ，

17、得2mx (m 1)x 1 0,因为两个图象只有一个公共点，所以(m1)24m 0 ，解得： m 3 2 2当m3 2 2 时，x m 1 2 1，ymxm 1 2 1；2m2当m3 2 2 时，x 2 1, y 21.当m3 2 2 时，公共点的坐标是 (21, 21)；当 m 3 2 2 时，公共点的坐标是 ( 2 1, 2 1) 答案】 当 m 3 2 2 时，公共点的坐标是 ( 2 1, 2 1)；当 m 3 2 2 时，公共点的坐标是 ( 2 1, 2 1) 题型四：函数零点的应用【例50】若关于x的方程 22x 2xa a 1 0有实根，求实数 a的取值范围 【考点】函数的零点的应

18、用 【难度】 3 星 【题型】选择 【关键词】无【解析】 设 t 2x (t 0) ，则原方程可变为 t2 at a 1 0L L L 原方程有实根，即方程 有正根2令 f(t) t2 at a 12 a4(a 1) 0(1)方程有两个正实根 t1, t2 ，则 t1 t2a 0 解得 1 a2 2 2 ；t1 t2 a10(2)方程 有一个正实根和一个负实根，则f (0) a 1 0 ，解得：a 1 综上： a 2 2 2答案】 a 2 2 2m 的取值范围例 51】已知关于 x 的方程 32x 1 (m 1)(3x 1 1) (m 3) 3x 0m 的取值范围答案】 m答案】 m3 212

19、考点】函数的零点的应用【难度】3星【题型】解答关键词】无解析】 设 3x t(t 0) ，原方程化为： 3t 2(m 1)(3t1) (m3)t 0 ，即23t 2mt m 10 2m30原问题等价于方程有两个不同的正根，1m304m2 12(1 m) 0解得：3 21 m2例52】已知 f(t) log2t ，t 2 ，8，对于 f (t)值域内的所有实数 m，不等式 x2 mx 4 2m 4x恒 成立，求 x 的取值范围考点】函数的零点的应用 【难度】 3 星 【题型】解答关键词】无解析】 t 2，8， f (t)1，3， m1，3 22原题转化为：m(x 2) (x 2)20 恒成立，当

20、 x 2 时，不等式不成立 x 2，令 g(m) m(x 2) (x 2)2，m 1 ，3， 2则：1 x 2 则：1 x 2 2g(21) x2 2 (x 2)2 0解得： x 2或 x1g(3) 3(x 2) (x 2)2 0 x的取值范围为 ( , 1) U (2,) 答案】 ( , 1) U (2,)例 53】例 53】已 知函数 f(x) ax2 2ax 4 (0a 3), 若 x1 x2, x1 x2 1a, 则 f (x1) 与 f (x2) 的大小关系为 考点】函数的零点的应用 【难度】 3 星 【题型】选择 关键词】无 解析】 f(x) a(x 1)2 4 a 其图象是开口向

21、上的抛物线，对称轴为 x 1， 1 x1 x2 (1 a) ( 2, 1)， x1与 x2 的中点在 (1， )之间， x1 x2x2到对称轴的距离大于 x1到对称轴的距离， f(x1) f (x2 ) ，答案为 A答案】 f(x1) f (x2)例 54】 若 对于任意a 1,1，函数 f(x)2x(a4)x4 2a 的值恒大于零则 x 的取值范围是。考点】函数的零点的应用【难度】 3星题型】选择关键词】无解析】 设 g(a) (x2)a x24x 4 ，显然，x2g( 1) 22xx4x40 x3或x2，解得： x 3或 x 1则，即g(1) x2 x24x40 x2或x1答案】 ( ,

22、1) U (3, )例55】设函数 f(x) 对x R都满足 f(3 x) f(3 x),且方程 f(x) 0恰有 6 个不同的实数根，则这 6 个实根的和为( )A 0B9C 12D 18考点】函数的零点的应用 【难度】 3 星 【题型】选择 关键词】无解析】由f (3 x)f(3 x) 知 f (x) 的图象有对称轴 x3，方程 f(x) 0的6 个根在 x 轴上对应的点关于直线 x3对称，依次设为 3 t1,3 t2 ,3 t3,3t1 ,3 t2 ,3 t3 ，故6 个根的和为 18，答案为D答案】例 56 】已 知 5b c1，( a、b、 cR)，则有()5aA2b 4acB2b

23、4acC 2b 4ac2D b 4ac考点】函数的零点的应用 【难度】 3 星 【题型】选择关键词】无解析】 提 示一：依题设有 a 5 b 5 c 0 5 是实系数一元二次方程 ax2 bx c 0 的一个实根； b2 4ac 0 b2 4ac ，答案为 B提示二：去分母，移项，两边平方得：5b2 25a2 10ac c2 10ac 2 5a c20 ac b2 4ac ，答案为 B 答案】 B例57例57】已知函数 y f(x) (x R)满足 f(x 3)f(x 1)，且 x 1,1时， f(x) |x|，则 y f(x) 与A 3B4CA 3B4C5考点】函数的零点的应用 【难度】 3

24、 星D6 题型】选择关键词】无解析】 由 f(x 3) f (x 1)知 f(x 2) f(x) 故 f(x) 是周期为 2 的函数，在同一坐标系中作出 y f(x) 与 y log 5 x 的图象，可以看出，交点个数为 4答案】 B例58】关于x的方程 (x2 1)2 |x2 1| k 0 ，给出下列四个命题： 当 k 0 时，方程恰有 2 个不同的实根；当 k 0时，方程恰有 5 个不同的实根；1当 k 1 时，方程恰有 4 个不同的实根；41当 0 k 1 时，方程恰有 8 个不同的实根4其中假命题的个数是 ( )A 0 B 1C 2D3考点】函数的零点的应用 【难度】 3 星 【题型】

25、选择 关键词】无解析】 记 |x2 1| t ，则方程变为 t2 t k 0 ，1 4kk 0解析】 记 |x2 1| t ，则方程变为 t2 t k 0 ，1 4kk 0时， t1 0,t2 1 ，原方程有 5个解；k 0时，t1 0, t2 1，原方程有 2个解；1 1 10 k 4 时， t1 (0, 2), t2 (2, 1) ，原方程有 8 个解； 11k 时， t1 t2 ，原方程有 4 个解；421k 1 时，关于 t 的方程无解，原方程有 0 个解4答案】 A例 59】已知函数 f(x) ax x 2 (a 1)，x1求证：( 1)函数 f(x) 在 ( 1,) 上为增函数；考

26、点】函数的零点的应用 【难度】 3 星 关键词】无解析】2)方程 f (x) 0 没有负数根【题型】解答答案】( 1)设 1x1x2，则 f(x1)f (x2)ax1x12 ax2x22x11x21x1x2x12x22x1 x23(x1 x2) ，aa2a1 a 2x11x21(x1 1)(x2 1) 1 x1x2， x110， x210，x1x2 0 ， 3(x1 x2 ) 0；(x1 1)(x2 1) 1 x1x2，且a1， ax1ax2，ax1ax2 0 ， f (x1) f (x2) 0，即 f (x1)2)假设 x0 是方程 f (x)0 的负数根，且x01，则 ax0 x020，x

27、01即 ax0 2 x0 3 (x0 1)31L L Lx0 1x0 1x0 1当 1 x0 0时，0 x01，33， 3 1 2 ，而由 a 1知 ax0 x0 1x0 1 式不成立；当 x0 1 时， x0 1 0 ，30，31 1 ，而 ax0 0 ，x0 1x01 式不成立f(x2)，函数 f(x) 在( 1,)上为增函数；1，综上所述，方程 f (x) 0 没有负数根例 60】方 程 2ax2x 1 0(a 0，且 a 1) 在区间1,1 上有且仅有一个实根，求函数2y a 3x2 x 的单调区间 .考点】函数的零点的应用 关键词】无 解析】 令 f (x)难度】 3 星题型】解答2

28、2ax1)f( 1)2a 0，得 a 0，舍去；2)f(1)2a 20 ，得 a1，舍去；3)f ( 1)f (1) 00a综上： 0对于函数 ya 3 x2，令at ， t3x2x 3(x 1)26112则 y at 在 R 上为减函数，t在(, 1 上为增函数，在6116,) 上为减函数 .,61时， y a3x2是减函数；当 x 1, ) 时， y62a3x2 x是增函数 .答案】单调减区间1,61单调增区间116,例 61】已 知方程(x222x m)(x 2xn)0 的四个根组成一个首项为的等差数列,则 |mn| ( )A1考点】函数的零点的应用关键词】无3B4【难度】4星1C2【题

29、型】选择3 D8解析】由题意，等差数列的首项为 1 ，四项的和为44，设公差为d，则423d答案】例 62 】解得： d12 ，故该数列的四项为：解不等式 |2x 1| 2x 1考点】函数的零点的应用 关键词】无 解析】 此 不等式当然两边平方可用，但是利用图象来处理也是非常简便的，令难度】4星题型】选择y | 2x 1| ，y 2x 1 ，分别画出两个函数的图形很容易找到答案 令 y | 2x 1| ， y 2x 1 ，函数 y | 2x 1| 的图象比较容易画出，而 y 2x 1的函数图象是通过1x2 平移缩放等等变化得来的，可以不同考虑怎样平移缩放，因为函数 y 2x 1 与函数 y 数

30、 y 2x 1的几个特殊点，就可以准确无误的画出来. 如下图：y1x2 的图象相似，只要找函由上图可以看出，原不等式的解集为 0 x 3 2 答案】 x 0 x 3例 63】已知函数 f(x) 1 1 (a 0, x 0)ax(1)求证： f (x)在(0,+ 上)是增函数；(2)若 f(x) 2x在(0,+ 上)恒成立，求 a的取值范围；3)若 f(x) 在 m，n上的值域是 m，4星考点】函数的零点的应用 关键词】无 解析】 ( 1)任取 x1难度】n(mn)，求 a 的取值范围【题型】解答x2f(x1) f (x2)(1aa11x1 x2x1x2x1) (1a x1 ) x x x1a

31、x2 x2 x10，故 x1 x2 0 ， x1 x2 x1 2 f(x1) f (x2) 0，即 f(x1) f (x2)，x2 0f(x) 在 (0,+ 上)是增函数112) 1 1 2x 在(0,+)上恒成立， ax11在2xx0，+)上恒成立，a 0,令 g(x)12x 1x12 2x 124 ，当且仅当 2x(x 0) 即 x= 1 2 * 4 时取等号2要使 要使 amf(m), n故方程21xx a故只需要 ( (121f(n) ，即 m2 1m 1a0，1n1a0 有两个不相等的正根m，n，注意到 m n 1 ，4 0 , 由于 a 0 ，则 0答案】( 1)任取 x1ax2 0 xx1 x211f(x1) f (x2) ( )a x10， x1 x2(1 1 ) 1 1 x1 x2 a x2 x2 x1 x1x2 0， x1 x2 0， f(x1) f (x2) 0 ，f(x