常微分方程第三版答案

1、duduuedududududududududududududududu,e0,e,当,当时，两边同时积分得；,即。当时显然也是原方程的解。当时，代入式子得。解：,令,则,变量分离，得：:()(解：,令,则,变量分离，得：dududu两边积分得：)。：解：令解：令,则原方程化为：,分离变量得：,分离变量得：du)两边积分得：两边积分得：另外，也是方程的解。8:e8:e解：变量分离，得：两边积分得：.ee解：方程可变为：令,则有：解：方程可变为：令,则有：d代回原变量得：。：e解：变量分离ee两边积分ee解：由或是方程的解，当时，变量分离：)解：由或是方程的解，当时，变量分离两边积分,即,故原方

2、程的解为;eeeeeee,令令，则，原方程可变为变量分离，两边积分，代回变量解：方程组解：方程组的解为,令,则有令，则方程可化为：变量分离解：令,则,变量分离两边积分两边积分代回变量.解：方程化为，所以，令，所以，dududu，两边积分得，是原方程的解。()，令，则原方程化为)dudzdz.ddzddz,;,;.，从而方程（）化为，从而方程（）化为dzdzdzdzdzdzdtdtdt.时，即，是方程的解。得或是原方程的解dzdz，或，包含在其通解中，故原方程的解为(证明方程()经变换可化为变量分离方程，并由此求解下列方程证明方程()经变换可化为变量分离方程，并由此求解下列方程.（）).,所以证

3、明：因为,所以du得：得：解:当或是原方程的解，当时，方程化为令则方程化为),变量分离得：故此方程为此方程为变程。dudu两边同时积分得：两边同时积分得：,即,也包含在此通解中。,解令，则原方程化为(解令，则原方程化为()分离变量得du，两边积分得，这也就是方程的解。()试求函数()的一般表达式();();()得所以dteeee(ee)n()ee(e)dudududu解：解：,ee方程的通解为：y=ee=(x+1)(*(x+1)dx+c)=(x+1)=(x+1)解：则P(y)=,=y(*=即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。8.=x+yee方程的通解为：x=ee即x=+cy是方程的

4、通解，且y=0也是方程的解。,为常数ee方程的通解为：,为常数ee方程的通解为：y=eeP,1x+1dx+c)ee当时，方程的通解为y=eey=cx+xln/x/-1=*当，时，方程的通解为=方程的通解为：y=解：（,解：=x(xx方程的通解为：y=x+ln/x/+c当时，方程的通解为1xxx1y=cx+-41-x4dz,epeeepep2eeeee:dz,eedzdz()()eeeeedzedzdzdzeeeeedzdzeee(e)eeeedteeeeeee(ee)()eee()()dddt（2）若是（2.3）的非零解，而（2）若是（2.3）的非零解，而edd()d()P()()()dy()

5、P()()d(d()P()()()d(d()P()()ddp,p()e()e)eeeee()(ee/ee()()NN()()NNMC()()M()M()()(M()()()N()()()()N()()()(d()()d()()()d()()()()u)MNMMNd()d()d()CMMMNeeMNeeMNMeeeedddddddM,NMNMNNMMM,NM,NoNMNMeeeNeMddMM,N,MNMNNMMdMNMMdNddddzdzdzdNMNdzdzMNdNMdz()edzddzdzMNNMMNdddzdzdddzdzddddzdzdNMdzNMdNy()eNMdz,()eP,dg(g)

6、gg(g)ggg(g)(g)gg(g)gggggggggg(g)(g)MuMNMuM()g()uNMNMMNMN()g()()g()MN()g(),o;nndz,ePePePeP,M,N,.Ndy.,M,N,MMMMMMMMNNNMMMMNNM,N,NiMi,M,N,NiMi,M,N,M,N,ioiiiMNiidNNMMNNMMNNMMNNpMNMNdppdddtdtdtpppdpeppppeppepdpeppepdppppepeptgptgddpdddtdtdtdtduduuduuudduduuuuuuuuupppppppppppduduueueueueduduuduueduuuduuu)(

7、),()p,则p,两边对求导得ppdpdpp,则p,两边对求导得ppppppdpp()(),()(pppp)dp(pp)()dpp(p(pdpp或当p时,当时,p,()dd所以方程的解为（)另外由p得也是解。解：令p,则），,dpde)e)解：令则解：令则,方程为e)(e,(eeee,eeeee,(e),(e)所以方程的解为,所以方程有积分因子e,所以方程有积分因子eMNMNd所以方程的解为即d所以方程的解为即)d解：),两边同除以解：),两边同除以得,d所以方程的解为即（(),另外也是解。(),所以方程的解为.解：令解：令p,e由得e)eee解：令p则e由得解：令p则e由得e)ee所以方程的

8、解为：e，e)ee（)()e.解：解：,MN所以方程有积分因子e方程两边同乘e得edede所以方程的解为：eedududu=dudududueedudue)d()()d()()()dddd()(dddddddu()p,plddFmamFmmmFmmkkFFmdtmm(*)dtmm(*)eemdtemem(emmkem)emmmk(emmmk(),(*)(*)deeeeeeedzdzeeeeeedzdzdzdxzdue(e)(en()endzdzdeeenenen()dzdzdee(dzdzdeeee()()()dzdz)dee()()()bM()(,),()g()g()()g()g()g()g

9、()g()g()()g(r)g()()g(r)g()g(r)gg(r)g(r)g(r)7题,ppppdpdpppdppdppp,ppdpp,ppppp，（pppppdpdppppppppppppdpdppdpppppppppppppppdpdpppdpppppppppbbbbdtndtndndndtndtnndtnddtndtndnndtndtndtndtndndnndndtndndtnndndndtdtnnndndndtndtnndtndtndtndtndndnndde,edtdteddteeeeeeee,ddte;eeededtdtddtdtddtdtddtdtdteeeddtdteee,

10、eddte,ew,e,eddt,eeeeeee,ee,ee,eeeeeeeeee,ee,eei,wiiwwww,bwdtndtnii,dnidnidtnniiid中第行都乘以，加到最后一行为wwwwwwwdtw,www,b,bw,w,bw,w,(*),即:dee即：e取得：e,e又：e,b,n,n:iiiiiiiiiiiiiiiii,n进而有:nn(4)有根，eeeeee(5)eeii,ee(),eeee(4)eeeeeeii,ee,ee,eii,eeeeeeeeeeeeei()eee,o（）eee,eeewwwww()()()bbijnnnntt.nn.nn.nn.nnnndwwnnww()

11、.().)b则b证明：设nniiinbnin()()()()()()()()()()(),()()()()()()()()()()()()()()()()()()e()e()()()e()ee()()e()()()()ee()eeeeeeeeeeeeeee()eee()eeeeeeeeeeeeeee,W(),(e().e,eeee(),()eW),eeeeeeeeee,eee()时）。M,eeeeeeeeeeeeeMeeeeMeeM,()()eeMNeeM,()b()()()b,b()()()()(F(,()()()()()()F(,()()()()()()F(,()()()()()()F(,()()()F(,()()()()F(,()F(,()()()()()F(,()F(,()()()F(,()A+kkkA）（A）（kkk()-1()()（At）（-）（At）eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeebeeeee()e()eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee,e,b,epEeeeeeeeeeeeeee()eeeee