2021-2022学年江苏省无锡市达标名校高三第四次模拟考试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若函数为自然对数的底数)在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是( )ABCD2已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度3设是等差数列，且公差

2、不为零，其前项和为则“，”是“为递增数列”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4已知集合，集合，若，则（ ）ABCD5我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，则的概率是（ ）ABCD6已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中正确的是（ ）ABCD7已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点

3、，则（ ）ABCD8已知的值域为，当正数a，b满足时，则的最小值为（ ）AB5CD99已知的垂心为，且是的中点，则（ ）A14B12C10D810已知角的终边经过点P()，则sin()=ABCD11已知整数满足，记点的坐标为，则点满足的概率为（ ）ABCD12已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设定义域为的函数满足，则不等式的解集为_14已知实数，满足，则的最大值为_.15函数的定义域是_16若，且，则的最小值是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1

4、2分）已知函数，函数在点处的切线斜率为0.（1）试用含有的式子表示，并讨论的单调性；（2）对于函数图象上的不同两点，如果在函数图象上存在点，使得在点处的切线，则称存在“跟随切线”.特别地，当时，又称存在“中值跟随切线”.试问：函数上是否存在两点使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.18（12分）己知函数.（1）当时，求证：；（2）若函数，求证：函数存在极小值.19（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的最小值为，正实数、满足，求证：.20（12分）正项数列的前n项和Sn满足： (1)求数列的通项公式； (2)令，数列bn的前n项和为Tn，证明：对于任意的

5、nN*，都有Tn .21（12分）已知曲线：和：（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.（1）求曲线的直角坐标方程和的方程化为极坐标方程；（2）设与，轴交于，两点，且线段的中点为.若射线与，交于，两点，求，两点间的距离.22（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），直线经过点且倾斜角为.（1）求曲线的极坐标方程和直线的参数方程；（2）已知直线与曲线交于，满足为的中点，求.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解

6、析】求得的导函数，由此构造函数，根据题意可知在上有变号零点.由此令，利用分离常数法结合换元法，求得的取值范围.【详解】，设，要使在区间上不是单调函数，即在上有变号零点，令， 则，令，则问题即在上有零点，由于在上递增，所以的取值范围是.故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.2A【解析】由的最小正周期是，得，即，因此它的图象向左平移个单位可得到的图象故选A考点：函数的图象与性质【名师点睛】三角函数图象变换方法：3A【解析】根据等差数列的前项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】是等差数列，且公差

7、不为零，其前项和为，充分性：，则对任意的恒成立，则，若，则数列为单调递减数列，则必存在，使得当时，则，不合乎题意；若，由且数列为单调递增数列，则对任意的，合乎题意.所以，“，”“为递增数列”；必要性：设，当时，此时，但数列是递增数列.所以，“，”“为递增数列”.因此，“，”是“为递增数列”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前项和公式是解决本题的关键，属于中等题4A【解析】根据或，验证交集后求得的值.【详解】因为，所以或.当时，不符合题意，当时，.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.5B【解析】先列举出不超过的素

8、数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，满足”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】不超过的素数有：、，在不超过的素数中，随机选取个不同的素数，所有的基本事件有：、，共种情况，其中，事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，且”包含的基本事件有：、，共种情况，因此，所求事件的概率为.故选：B.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.6D【解析】根据面面垂直的判定定理可判断；根据空间面面平行的判定定理可判断；根据线面平行的判定定理可判断；根据面面垂直的判定定理可判断.【

9、详解】对于，若，两平面相交，但不一定垂直，故错误；对于，若，则，故正确；对于，若，当，则与不平行，故错误；对于，若，则，故正确；故选：D【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题.7A【解析】由已知可得，根据二倍角公式即可求解.【详解】角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则，.故选：A.【点睛】本题考查三角函数定义、二倍角公式，考查计算求解能力，属于基础题.8A【解析】利用的值域为,求出m,再变形,利用1的代换,即可求出的最小值.【详解】解：的值域为,当且仅当时取等号,的最小值为.故选：A.【点睛】本题主要考查了对数复合函数的值

10、域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题.9A【解析】由垂心的性质，得到，可转化，又即得解.【详解】因为为的垂心，所以，所以，而， 所以，因为是的中点，所以故选：A【点睛】本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.10A【解析】由题意可得三角函数的定义可知：，则：本题选择A选项.11D【解析】列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率.【详解】因为是整数，所以所有满足条件的点是位于圆（含边界）内的整数点，满足条件的整数点有共37个，满足的整数点有7个，则所求概率为.故选：.【点睛】本题考查了

11、古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.12D【解析】设，作为一个基底，表示向量，然后再用数量积公式求解.【详解】设，所以，所以.故选：D【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】根据条件构造函数F（x），求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论【详解】设F（x），则F（x），F（x）0，即函数F（x）在定义域上单调递增，即F（x）F（2x），即x1不等式的解为故答案为：【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键14【解析】画出不等式组表示的平面区域，将目标函数理解

12、为点与构成直线的斜率，数形结合即可求得.【详解】不等式组表示的平面区域如下所示：因为可以理解为点与构成直线的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点时，斜率取得最大值，故的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查目标函数为斜率型的规划问题，属基础题.15【解析】由，得，所以，所以原函数定义域为，故答案为.168【解析】利用的代换，将写成，然后根据基本不等式求解最小值.【详解】因为（即 取等号），所以最小值为.【点睛】已知，求解（ ）的最小值的处理方法：利用，得到，展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1），单调性见解析；（

13、2）不存在，理由见解析【解析】（1）由题意得，即可得；求出函数的导数，再根据、分类讨论，分别求出、的解集即可得解；（2）假设满足条件的、存在，不妨设，且，由题意得可得，令（），构造函数（），求导后证明即可得解.【详解】（1）由题可得函数的定义域为且，由，整理得.（）当时，易知，时.故在上单调递增，在上单调递减.（）当时，令，解得或，则当，即时，在上恒成立，则在上递增.当，即时，当时，；当时，.所以在上单调递增，单调递减，单调递增.当，即时，当时，；当时，.所以在上单调递增，单调递减，单调递增.综上，当时，在上单调递增，在单调递减.当时，在及上单调递增；在上单调递减.当时，在上递增.当时，在及上

14、单调递增；在上递减.（2）满足条件的、不存在，理由如下：假设满足条件的、存在，不妨设，且，则，又，由题可知，整理可得：，令（），构造函数（）.则，所以在上单调递增，从而，所以方程无解，即无解.综上，满足条件的A、B不存在.【点睛】本题考查了导数的应用，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题.18（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）求导得，由，且，得到，再利用函数在上单调递减论证.（2）根据题意，求导，令，易知； ，易知当时，；当时，函数单调递增，而，又，由零点存在定理得，使得，使得，有从而得证.【详解】（1）依题意，因为，且，故，故函数在上单调递减，故.（2）依题意，令，则；而，可

15、知当时，故函数在上单调递增，故当时，；当时，函数单调递增，而，又，故，使得，故，使得，即函数单调递增，即单调递增；故当时，故函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，函数有极小值.【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，还考查推理论证能力以及函数与方程思想，属于难题.19（1）；（2）见解析.【解析】（1）分、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求得函数的最小值为，进而可得出，再将代数式与相乘，利用基本不等式求得的最小值，进而可证得结论成立.【详解】（1）当时，由，得，即，解得，此时；当时，由，得，即，解得，此时；当时，由，得，即，解得，此时.综上所述，不等

16、式的解集为；（2），当且仅当时取等号，所以，.所以，当且仅当，即，时等号成立，所以.所以，即.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立，涉及绝对值三角不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.20（1）（2）见解析【解析】（1）因为数列的前项和满足：，所以当时，即解得或，因为数列都是正项，所以，因为，所以，解得或，因为数列都是正项，所以，当时，有，所以，解得，当时，符合所以数列的通项公式，;（2）因为，所以，所以数列的前项和为：，当时，有，所以，所以对于任意，数列的前项和.21（1），；（2）1.【解析】（1）利用正弦的和角公式，结合极坐标化为直角坐标的公式，即可求得曲线的直角坐标方程；先写出曲线的普通方程，再利用公式化简为极坐标即可；（2）先求出的直角坐标，据此求得中点的直角坐标，将其转化为极坐标，联立曲线的极坐标方程，即可求得两点的极坐标，则距离可解.【详解】（1）：可整理为，利用公式可得其直角坐标方程为：，：的普通方程为，利用公式可得其极坐标方程为（2）由（1）可得的直角坐标方程为，故容易得，的极坐标方程为，把代入得，.把代入得，.，即，两点间的距离为1.【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的转化，涉及参数方程转化为普通方程，以及在极坐标系中求两点之间的距离，属综合基础题.22（1），；（2）.【解析】（1）由曲线的参数方